1、9.1 投资者参与风险资产的条件投资者组合配置优化问题u投资者拥有初始财富w0，a投资于风险资产（r），剩余的w0-a投资于无风险资产（rf），期末投资者的财富为u投资者通过选择风险资产上的投资量a来最大化他的期望效用u优化问题一阶条件 a*是使期望效用最大的风险资产投资量1(9.1)9.1 投资者参与风险资产的条件投资者参与风险资产的条件u命题命题9.1：如果a*是优化一阶条件(9.1)式的解，投资者风险厌恶且其效用函数可导（u()0当且仅当Errf(ii)a*=0当且仅当Er=rf(iii)a*0当且仅当Errf u证明：定义值函数如下 投资者最优化的一阶条件又可以写为 由于投资者是风险厌
2、恶的，所以必然有u()0时才会有a*0。因为如果V(0)0，就必须要有 这样，就证明了等价关系(i)。另两个等价关系类似可证。命题得证。39.1 投资者参与风险资产的条件命题9.1背后的直觉u对一个之前完全持有无风险资产的投资者来说，把一些财富a重新分配到风险资产上的行为会对投资者效用带来两方面的影响一方面，由于风险资产的期望回报率会高于无风险利率，所以消费者的效用会因为其总投资期望回报率的上升而上升效用上升幅度与a成正比（Arrow-Pratt近似）另一方面，由于风险资产的回报存在不确定性，所以投资者效用会因为这种不确定性的上升而下降效用下降幅度与a2成正比（Arrow-Pratt近似）u当
3、a很小的时候，期望回报率上升带来的正面效应总是压倒不确定性上升带来的负面效应u所以，只要风险资产的期望回报率高于无风险利率，投资者就一定会在风险资产上投入一些财富 49.2 风险资产上的投资量风险资产投资量与绝对风险厌恶系数之关系u命题命题9.2：如果a*是优化一阶条件(9.1)式的解，Errf，投资者风险厌恶且其效用函数二阶可导（u()0当且仅当RA()0（DARA）(ii)a*(w0)=0当且仅当RA()=0（CARA）(iii)a*(w0)0（IARA）u投资者的绝对风险厌恶系数随初始财富的增加而下降（上升）时，初始财富越大，投资者投资于风险资产上的财富量越多（越少）钱越多越不怕风险的话
4、，钱越多、投在风险资产上的钱也越多 59.2 风险资产上的投资量命题9.2（i）必要性部分之证明u证明：证明：证明DARA（RA(w0)0）情形的必要性。消费者优化问题之一阶条件为 其中 一阶条件式左右两边对w0求导，并注意到a*本身是w0的函数，可得由于da*/dw0不是随机变量（因为a*在一开始就会被确定下来），所以可以从期望符号中提出来。因此可以解出u由于u()0，所以如果rnrf，则必有wnw0(1+rf)。考虑到DARA的性质，因而必然有RA(wn)RA(w0(1+rf)。因此，必然有RA(wn)(rn-rf)RA(w0(1+rf)(rn-rf)rnrf的情形。此时必有wnw0(1+
5、rf)，以及RA(wn)RA(w0(1+rf)。由于此时rn-rf0，从而da*/dw00。这样便证明了DARA情形下的必要性结论。CARA与IARA情形类似可证。89.3 风险资产投资占总财富的比重u定义a*对初始财富的弹性为e(w0)u命题命题9.3：如果a*是优化一阶条件（9.1）式的解，Errf，投资者风险厌恶且其效用函数二阶可导（u()1当且仅当RR()0（DRRA）(ii)e(w0)=1当且仅当RR()=0（CRRA）(iii)e(w0)0（IRRA）uCRRA与现实世界更相符当投资者是相对风险厌恶程度不变时（CRRA），其投资在风险资产上的财富比例不随财富的变化而变化，是一个常数
6、在现实世界的持续经济增长中（财富随之持续增长），投资在风险资产上的财富比例大致保持不变，与CRRA的结论更相近99.4 风险中性投资者的特例u风险中性投资者具有线性的效用函数：u(c)=c，u()=，u()=0u风险中性投资者的组合优化问题u只要E(r)rf，风险中性投资者会尽可能多地买入风险资产u如果风险中性投资者可以以无风险利率随意借贷，那就会借入尽可能多的钱投入到风险资产上。在这种情况下，风险中性投资者会承担社会中所有的风险，而给其他风险厌恶的投资者提供无风险资产的供给109.5 风险与储蓄确定性情况u消费者的优化问题u一阶条件u左右两边同时对R求导，并注意到s是R的函数 导数的符号由分
7、子的符号决定uRR(sR)1）时，ds/dR0（0）139.5 风险与储蓄不确定状况下的储蓄（续）u可以计算u定义绝对审慎系数绝对审慎系数PA(y)与相对审慎系数相对审慎系数PR(y)为 有u命题命题9.4：令RA与RB是两个随机收益，且RB是RA的保均展形（RB风险更高）。若sA与sB分别是初始财富为w的风险厌恶投资者分别在面对RA与RB两种情况时做出的储蓄，那么有以下三个等价关系成立：(i)sAsB，当且仅当PR(sR)2；(ii)sA=sB，当且仅当PR(sR)=2；(iii)sA2；149.5 风险与储蓄CRRA效用函数的情形uCRRA效用函数u可以计算u对CRRA型效用函数，相对风险规避系数和绝对审慎系数都是常数15
