1、8-2-2 感生电动势和感生电场 麦麦 克斯韦在克斯韦在18611861年提年提出了出了感生电场感生电场 的假设的假设变化磁场在周围空间变化磁场在周围空间将激发出感生电场。将激发出感生电场。kEtidd tIddtdd tBddi 8-2-2 感生电动势和感生电场 感生电动势感生电动势kElELKid 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 （1 1）变化的磁场能够激发电场）变化的磁场能够激发电场结结论论SiSBttddddd感生电场与变化磁场感生电场与变化磁场的关系的关系（2 2）感生电场的环流不等于零，表明感生电场为涡旋场）感生电场的环流不等于零，表明感生电场为涡旋场StBlESLKdd 感
2、应电场方向感应电场方向与磁场增量的方向成左手螺旋关系与磁场增量的方向成左手螺旋关系StBlESLKdd 区别区别（1）静电场由静止电荷产生，而感生电场由变化的磁）静电场由静止电荷产生，而感生电场由变化的磁场激发。场激发。（2）静电场是保守场，其环流为零）静电场是保守场，其环流为零,电场线起始于正电电场线起始于正电荷，终止于负电荷。而感生电场为非保守场，环流荷，终止于负电荷。而感生电场为非保守场，环流不等于零，且电场线为闭合曲线。不等于零，且电场线为闭合曲线。单元偶极子天线的电场线分布单元偶极子天线的电场线分布单元偶极子天线的电磁场分布单元偶极子天线的电磁场分布例例5.5.半径为半径为R R 的
3、圆柱形空间区域，充满着均匀磁场。的圆柱形空间区域，充满着均匀磁场。已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量。问在任意已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量。问在任意半径半径r r 处感生电场的大小以及棒处感生电场的大小以及棒ABAB上的感生电动势上的感生电动势解：（解：（1 1）AB时Rr 2rBBSLklEtdddrEtBrk22dd12kBErtddkEkEkE时Rr LklEtddd2RB rEtBRk 2dd2 tBrREkdd22ABkEkEkERrdxrlR4cos22LkixE0dcostBLRLdd2222LxrLRtBr022d4dd21ABkEkEkERrdx2.棒棒AB上的感生
4、电动势上的感生电动势方向 AB2222LRLBtBLRLtidd22dd22ABRoioBioA tBLRLtiABdd22dd22 电磁感应定律求解电磁感应定律求解o方向 AB（A）、电动势只在）、电动势只在AB直线中产生；直线中产生；（B）、电动势只在）、电动势只在AB曲线中产生；曲线中产生；（C）、电动势在）、电动势在AB直线和曲线中产生且大小相等；直线和曲线中产生且大小相等；（D）、）、AB中的电动势小于曲线中的电动势。中的电动势小于曲线中的电动势。AB（D）CtB lkl dE tBrEK 20 电子轨道真空室电子感应加速器电子感应加速器拓展拓展两极间产生交变的磁场，这交变磁场又激发
5、一感生电场两极间产生交变的磁场，这交变磁场又激发一感生电场电子受到两个力的作用：电子受到两个力的作用：切向感生电场和沿径向磁场力切向感生电场和沿径向磁场力电子能保持在环形真空室内不断地作圆周运动电子能保持在环形真空室内不断地作圆周运动iEBve vdtBd（1 1）电子感应加速器中，在磁场变化一个周期中，电子被加）电子感应加速器中，在磁场变化一个周期中，电子被加速的时间有多久？速的时间有多久？（2 2）要使电子维持在恒定的圆形轨道上加速，磁场的分布应）要使电子维持在恒定的圆形轨道上加速，磁场的分布应该满足什么条件？该满足什么条件？（3 3）若电子加速的时间是）若电子加速的时间是4.2ms4.2
6、ms，电子轨道内最大磁通量为，电子轨道内最大磁通量为1.8Wb1.8Wb，试求电子沿轨道绕行一周平均获得的能量。如果电，试求电子沿轨道绕行一周平均获得的能量。如果电子最后获得的能量为子最后获得的能量为100MeV100MeV，电子绕行了多少周？如果电子，电子绕行了多少周？如果电子轨道半径为轨道半径为84cm84cm，电子运行的路程是多少？，电子运行的路程是多少？解解(1)(1)在磁场变化一个周期中，只有在磁场变化一个周期中，只有1/41/4的周期内才能满的周期内才能满足磁场力为电子提供向心力和电子在圆轨道上被加速这足磁场力为电子提供向心力和电子在圆轨道上被加速这样两个基本要求。样两个基本要求。
7、iEBve vdtBd电子轨道真空室(2)(2)要维持电子在环形真空室的恒定圆形轨道上加速，应该要维持电子在环形真空室的恒定圆形轨道上加速，应该使向心力随电子的速率增加而相应增加，由此可以推导出磁使向心力随电子的速率增加而相应增加，由此可以推导出磁场分布情况所满足的条件。场分布情况所满足的条件。设半径为设半径为r r的圆周内磁感应强度平均值为的圆周内磁感应强度平均值为B则由电磁感应定律可知则由电磁感应定律可知22idBErrdt感生电场强度为感生电场强度为dtBdrEi2 另一方面，由动量定理另一方面，由动量定理 ，在，在dtdt时间内，电子动量增量为时间内，电子动量增量为iEBve vdtB
8、dBedrdteEmvdi2)(积分得积分得2Bermv )2(对于在半径为对于在半径为r r的轨道上运动的电子有的轨道上运动的电子有rvmevB2)3(由（由（2 2）（）（3 3）得）得2BB 电子能在一个稳定的轨道上运动，磁场分布满足的条件：电子能在一个稳定的轨道上运动，磁场分布满足的条件：iEBve vdtBd每一时刻轨道上磁感应强度的值必须等于轨道内磁感应强度每一时刻轨道上磁感应强度的值必须等于轨道内磁感应强度平均值的一半，这在设计电磁铁时所要求的。平均值的一半，这在设计电磁铁时所要求的。（3 3）31.84294.2 10Vt电子一周获得的平均动能电子一周获得的平均动能最后获得的动
9、能最后获得的动能100Mev,它运行的圈数为它运行的圈数为561033.242910100 N期间电子的路程为期间电子的路程为kmrNL12302 429kEeeViEBve vdtBd导体导体tBdd当大块导体放在变化的磁场中，当大块导体放在变化的磁场中，在导体内部会产生感应电流，在导体内部会产生感应电流，由于这种电流在导体内自成闭由于这种电流在导体内自成闭合回路故称为合回路故称为涡电流涡电流。8-2-3 8-2-3 涡电流与应用涡电流与应用 变压器中铁芯为什么不用整块材变压器中铁芯为什么不用整块材料料机场安全检测站的金属探测器会机场安全检测站的金属探测器会产生一个变化的磁场。这个变化产生一
10、个变化的磁场。这个变化的磁场会使被探测到的导体内产的磁场会使被探测到的导体内产生涡电流，涡电流反过来将产生生涡电流，涡电流反过来将产生一个变化的磁场，而这个磁场会一个变化的磁场，而这个磁场会被探测器接受到。被探测器接受到。机场安全检测电磁阻尼-涡流的阻尼作用电磁炉是一种新型的灶具，其应用了电磁炉是一种新型的灶具，其应用了“涡流效应涡流效应”，也，也就是交变磁场产生电场，处于电场中的导体就会产生电流，就是交变磁场产生电场，处于电场中的导体就会产生电流，把电能转化为热能。由于它采用的是电磁感应原理加热，把电能转化为热能。由于它采用的是电磁感应原理加热，减少了热量传递的中间环节，因而其热效率可达减少
11、了热量传递的中间环节，因而其热效率可达8080。电磁炉电磁炉电磁感应炉电磁感应炉涡电流与应用：涡电流与应用：2 2分分4848后后如图，将一个直径为如图，将一个直径为D，高为，高为h的圆柱形金属块放在高频的圆柱形金属块放在高频感应炉中加热。设感应炉线圈产生的磁场是均匀的，磁感应炉中加热。设感应炉线圈产生的磁场是均匀的，磁感应强度的方均根为感应强度的方均根为B*，频率为，频率为f。金属柱的轴平行于磁。金属柱的轴平行于磁场，其电导率为场，其电导率为。设金属是非磁性材料且涡电流产生的。设金属是非磁性材料且涡电流产生的磁场可以忽略。试证明在金属柱内产生的平均热功率磁场可以忽略。试证明在金属柱内产生的平
12、均热功率为3242*23hDBfP hDB高频感应加热功率高频感应加热功率hDBtBr cos02 解：考虑半径为解：考虑半径为r，厚度为，厚度为dr的一个薄圆筒，筒中的磁通量为的一个薄圆筒，筒中的磁通量为20sindr Btdt 该薄圆筒的电阻（沿圆周方向）为该薄圆筒的电阻（沿圆周方向）为hdrrdR 2 该薄圆筒内涡流产生的瞬时热功率为该薄圆筒内涡流产生的瞬时热功率为rtdrhBrdRdP 220322sin21 drthBrPD 2203220sin21 thBDf 220423sin321 平均功率平均功率tdthBDfTPT 2204230sin3211 dthBDfTT242303
13、211 2*423321hBDf tdtBTBT 22002*sin1 式中式中例、如图，在一半径为例、如图，在一半径为r r，质量为，质量为m m，可以无摩擦地自由转动的，可以无摩擦地自由转动的匀质绝缘圆盘中部装有一钢线螺线管，其半径为匀质绝缘圆盘中部装有一钢线螺线管，其半径为a,a,沿轴线方向沿轴线方向单位长度上绕有单位长度上绕有n n匝线圈。线圈中通以稳恒电流匝线圈。线圈中通以稳恒电流I I。在圆盘的边。在圆盘的边缘上均匀地嵌着缘上均匀地嵌着N N个等量正电荷个等量正电荷q q的小球。设开始时，螺的小球。设开始时，螺线线管中管中的电流为的电流为I I，圆盘静止，然后将电流切断。试求圆盘转
14、动的角速，圆盘静止，然后将电流切断。试求圆盘转动的角速度。度。)(ti解、设切断电流后，在解、设切断电流后，在 t时间内从时间内从I减少为零，在此过程中减少为零，在此过程中电流为电流为i(t),产生的磁场为：产生的磁场为：)(ti)()(0tnitB 产生的感应电场为：产生的感应电场为：dtdrtE 2)(dtBSd)(dtdinadtdBS02 dtdinratE022)(感应电流的方向与原电流方向一致感应电流的方向与原电流方向一致)(ti在半径为在半径为r的圆周上的的圆周上的N个小球所受的总的切向力为个小球所受的总的切向力为dtdinraNqtNqEtF022)()(它对转轴形成的力矩为它
15、对转轴形成的力矩为dtdinaNqrtFtM022)()(由刚体的角动量定理可得由刚体的角动量定理可得dtdJdtJddtdLtM )()(dttMJd)(dtdtdinNqadttMJI02021)(nNqIaJ0221 221mrJ 202mrnNqIa )(ti电磁感应习题课tidd l dBVBAi )(贝尔和他发明的电话贝尔和他发明的电话例例、如图所示，一电荷线密度为、如图所示，一电荷线密度为 的长直带电线的长直带电线(与一正方形与一正方形线圈共面并与其一对边平行）以变速度（线圈共面并与其一对边平行）以变速度（t）沿着长度）沿着长度方向运动。正方形线圈的总电阻为，求方向运动。正方形线
16、圈的总电阻为，求t 时刻正方形线圈中时刻正方形线圈中感应电流感应电流 I(t)（不计线圈自感）。（不计线圈自感）。aaa)(tV解解：tVI)(2ln22020 aIdrraIaam 2ln20dtdVadtdmi 00)1(idtdV 00)2(idtdV 顺时针顺时针逆时针逆时针drrr例、一长直电流导线与矩形回路共面且导线平行于例、一长直电流导线与矩形回路共面且导线平行于，如图所示，求下列情况下，中的感应电动势：，如图所示，求下列情况下，中的感应电动势：（）（）长直导线中电流恒定，以垂直于导线的速度长直导线中电流恒定，以垂直于导线的速度从图示初始位置远离导线移到任一位置时；从图示初始位置
17、远离导线移到任一位置时；（）长直导线中电流（）长直导线中电流0 sint,ABCD 不动；不动；（）（）长直导线中电流长直导线中电流0 sint,ABCD 以垂直以垂直于于导线的速度远离导线运动，初始位置也如图所示。导线的速度远离导线运动，初始位置也如图所示。VABCDbaI)11(20VtbaVtaIVli 方向方向 VABCDbIa+Vta+b+Vt解解 (1)abalIm ln20abatlIdtdmi lncos200 VABCDbI解解 (2)（）长直导线中电流（）长直导线中电流0 sint,ABCD 不动不动VtaVtbalIm ln20 VtaVtbatlI lncos200)1
18、1(20VtbaVtaIVli VABCDbIa+Vta+b+Vt解解 (3)例、一内外半径分别为例、一内外半径分别为和和的带电平面圆环，电荷面的带电平面圆环，电荷面密度为密度为,其中心有一半径为其中心有一半径为r的导体小环的导体小环(R1,R2 r)二者同二者同心共面如图，设带电圆环以变角速度心共面如图，设带电圆环以变角速度 （t）绕垂直于环面）绕垂直于环面中心轴旋转，导体小环中的感应电流中心轴旋转，导体小环中的感应电流 I 等于多少？方向如何？等于多少？方向如何？（已知小环的电阻为（已知小环的电阻为0 ）1R2Rxdx)(t解：在解：在和和之间取一宽之间取一宽度为度为dx的环带，环带内有电
19、流的环带，环带内有电流 dxxxdxdI 22dI在在o 点处产生的磁场为点处产生的磁场为00212 dxxdIdB 0120)(212121 RRdxBRR 012)(21RRB 选逆时针方向为小环回路的方向，则小选逆时针方向为小环回路的方向，则小环中的磁通量近似为环中的磁通量近似为2012)(21rRRm dtdmi dtdrRR 2012)(21 0dtd 方向为顺时针方向为顺时针0dtd 方向为逆时针方向为逆时针1R2Rxdx)(t例、无限长直导线，通以电流，有一与之共面的直角三角例、无限长直导线，通以电流，有一与之共面的直角三角形形 线圈如图。已知边长为线圈如图。已知边长为b,且与长
20、直线平行。且与长直线平行。边长为边长为a,若线圈以垂直导线方向的速度向右平移，当点若线圈以垂直导线方向的速度向右平移，当点与长直导线的距离为与长直导线的距离为d时，求线圈内的感应电动势的大时，求线圈内的感应电动势的大小和方向。小和方向。dABCbaIv0 BC)(20adIbVAC AC 解：解：dABCbaIvVBV dldx()ABdVBdlsinVBdl0sin2cosIVdxxdxtgxIV20 dadaIVbdxxIVaddAB ln2sincos200 AB)(20adIbV dadaIVbABCln20BCAB例、有一半径为例、有一半径为 r=10cm的多匝圆形线圈，置于的多匝圆
21、形线圈，置于均匀磁场均匀磁场(.5T)中，圆形线圈可通过圆心的轴中，圆形线圈可通过圆心的轴O1O2转动，转动，转速转速n=600r/min,求圆线圈自图示的初始位置转过求圆线圈自图示的初始位置转过90度时：度时：（）、线圈中的瞬时电流（线圈的电阻（）、线圈中的瞬时电流（线圈的电阻=100)，不计自感；，不计自感；（）、圆心处的磁感应强度。（）、圆心处的磁感应强度。解解 (1)(1)设线圈在任一位置时圆线圈法向与磁场方向的夹角为设线圈在任一位置时圆线圈法向与磁场方向的夹角为.则则ntt2 此时通过线圈平面的磁通量为此时通过线圈平面的磁通量为ntrBrBm2coscos22 ntnrBNdtdNm
22、i2sin22 ntRnrBNRdtdNRimi2sin222 2sinmItT222mBNr nIR0.9924mTtiIA（）、由线圈中的电流（）、由线圈中的电流I在圆心处激发的磁场为在圆心处激发的磁场为为点处的B方向竖直向下，此时O,0TrNIBm301062.02 TBBBB5.00220 的方向基本相同。的方向基本相同。B B的方向与的方向与B B0 0例例 在感电场中，电磁感应定律可写成：在感电场中，电磁感应定律可写成：dtdldEmlK 式中式中为感应电场强度，此式说明：为感应电场强度，此式说明：（）、闭合曲线（）、闭合曲线 l 上上处处相等；处处相等；（）、感应电场是保守力场（
23、）、感应电场是保守力场;（）、感应电场的电力线不闭合（）、感应电场的电力线不闭合;（）、在感应电场中不能像静电场中那样引进电势的概念。（）、在感应电场中不能像静电场中那样引进电势的概念。（）例、一导线被弯成如图所示的形状，、一导线被弯成如图所示的形状，acb为半径为的为半径为的3/4圆弧，圆弧，直线段直线段oa长为，若此导线放在匀强磁场中，磁场的方向垂长为，若此导线放在匀强磁场中，磁场的方向垂直图面向内，导线以角速度直图面向内，导线以角速度 在图面内绕在图面内绕 点匀速度转动，则点匀速度转动，则导线内的电动势为多少？，电势最高点是哪一点？导线内的电动势为多少？，电势最高点是哪一点？225RBo
24、b 225RBoacb 电势最高点为点电势最高点为点ob oacbR5 闭合回路的电动势为零闭合回路的电动势为零例、如图，例、如图，aoc为一折成为一折成 形的金属导线，位于平面中，磁形的金属导线，位于平面中，磁感应强度为的均匀磁场垂直平面，当感应强度为的均匀磁场垂直平面，当ao以速度沿轴以速度沿轴正方向运动时，导线上正方向运动时，导线上a,c两点间的电势差两点间的电势差ac;当当aoc以速度以速度沿轴正方向运动时，沿轴正方向运动时，a,c两点中是两点中是 点电势高。点电势高。aocBLVc 0 cos0BLVa )cos1(BLVcaLLxy sin a例、在磁感应强度为的磁场中，以速率切割
25、磁力线，运例、在磁感应强度为的磁场中，以速率切割磁力线，运动的长度为的金属棒，相当于动的长度为的金属棒，相当于 ,它的电动势它的电动势为为 ，产生此电动势的非静电性力是什么力？产生此电动势的非静电性力是什么力？例、如图一元限长薄壁圆筒，其表面上沿圆周方向均匀流着例、如图一元限长薄壁圆筒，其表面上沿圆周方向均匀流着一层随时间变化的面电流一层随时间变化的面电流i(t),i(t),则任意时刻通过圆筒内假想则任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量是多少的任一球面的磁通量是多少?)(ti均为零均为零一个电源一个电源BLV洛仑兹力洛仑兹力例、一闭合正方形线圈放在均匀磁场中，例、一闭合正方形线圈放在均匀磁
26、场中，绕绕通过其中心且与通过其中心且与一边平行的轴转动，转动轴与磁场垂直，转动角速一边平行的轴转动，转动轴与磁场垂直，转动角速度为度为,如图所示，用下述哪种方法可以使线圈中感应电流振如图所示，用下述哪种方法可以使线圈中感应电流振幅增加到原来的幅增加到原来的 2 2倍倍(导线的电阻不能忽略导线的电阻不能忽略)?)?(A)(A)把线圈的匝数增加把线圈的匝数增加2 2倍；倍；()把线圈的面积增加把线圈的面积增加2 2倍，而形状不变；倍，而形状不变；()把线圈切割磁力线的两条边增长到原来的把线圈切割磁力线的两条边增长到原来的2 2倍；倍；()把线圈的角速度增大到原来的把线圈的角速度增大到原来的2 2倍
27、；倍；(D )(D )tNBSisin RtNBSRIisin o1o2B例、例、半径为的均匀圆盘，绕通过中心半径为的均匀圆盘，绕通过中心o o的垂直轴转动，角速的垂直轴转动，角速度为度为,盘面与均匀磁场垂直，如图：盘面与均匀磁场垂直，如图：（）、在图上标出（）、在图上标出oaoa线段上动生电动势的方向；线段上动生电动势的方向；（）、填写下列电（）、填写下列电 势差的值：势差的值：0 ba )2(21dLdBCa 221BLoa 2)(21LdBoC 例、如图，导体棒在均匀磁场中绕通过点的例、如图，导体棒在均匀磁场中绕通过点的垂直于棒且沿磁场方向的轴转动，的垂直于棒且沿磁场方向的轴转动，的长度
28、为棒长的长度为棒长的 1 1。有稳恒电流从有稳恒电流从 )()()()(DCBABABABA 221ACBCA 221BCBCB BA (A)例、如图所示，直角三角形金属架例、如图所示，直角三角形金属架abc放在均匀磁场中，磁放在均匀磁场中，磁场场B平行于平行于ab边，边，bc的长度为的长度为l。当金属框绕。当金属框绕ab边以匀角速边以匀角速度度 转动时，转动时，abc回路的感应电动势回路的感应电动势,和和a,c两点间的电势差两点间的电势差Ua-Uc为为221,0)(lBUUAca 221,0)(lBUUBca 2221,)(lBUUlBCca 2221,)(lBUUlBDca (B)如果使磁
29、铁所产生的磁场垂直地通过金属圆盘如果使磁铁所产生的磁场垂直地通过金属圆盘,则则当磁铁转动时当磁铁转动时,将因电磁感应而驱使金属圆盘作同将因电磁感应而驱使金属圆盘作同方向转动方向转动.同样同样,若磁场相对于金属线框作平行于若磁场相对于金属线框作平行于线框平面的移动线框平面的移动,也将驱使金属线框沿同方向的移也将驱使金属线框沿同方向的移动动.以上现象称为电磁驱动以上现象称为电磁驱动.以金属线框驱动为例以金属线框驱动为例说明异步驱动的原理说明异步驱动的原理.电磁异步驱动电磁异步驱动如图如图,设矩形线框设矩形线框abcd质量为质量为m,其回路电阻为其回路电阻为R,在在t=0时刻时刻,线框一边线框一边a
30、d与磁场边界重合与磁场边界重合,ad边长度为边长度为L,磁场向右移动速率为磁场向右移动速率为Vb,试求线框移动速度为试求线框移动速度为V,并并说明说明VVb.abdcx电磁异步驱动电磁异步驱动解:设线框ad边与磁场边界重合时为计时零点,经时间t,磁场向右移动距离 Vbt,线框向右移动距离为x,则在时刻t,通过线框的磁通量为lxtVBbm)(则电磁感应定律,感应电动势的数值为)(dtdxVBldtdbm )(vVBlb 感应电流)(RvVBlib 安培力方向向右RvVlBBilFb)(22 线圈运动满足动力学方程dtdvmRvVlBb )(22mRvVlBdtdvb)(22 )1(Atbevv mRlBA22 bvv 考虑初始条件对上式积分得
