1、下页上页主页下页上页主页 反三角函数反三角函数下页上页主页(1)什么样的函数有反函数什么样的函数有反函数?一一对应函数有反函数一一对应函数有反函数没有没有,因为他不是一一对应函数因为他不是一一对应函数(2)互为反函数图象之间有什么关系互为反函数图象之间有什么关系关于直线关于直线y=x对称对称(4)正弦函数y=sinx在 上有反函数吗？(3)正弦函数正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗在定义域上有反函数吗?余弦函数y=cosx在0，上有反函数吗？正切函数y=tanx在 上有反函数吗？,2 2(,)2 2 下页上页主页xyo-2-2 3 4 1-1
2、正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？)(sinRxxy22 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？)(sinRxxysin(,)2 2yx x 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。下页上页主页一、反正弦函数一、反正弦函数 1、定义：、定义：正弦函数正弦函数 的反函的反函数数sin(,)2 2yx x 叫反正弦函数，记作叫反正弦函数，记作 (本义反函数本
3、义反函数)arcsinxyarcsinyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数)1,1,2 2xy 1,1,arcsin,xaya 若有下页上页主页理解和掌握 符号arcsin(1)a a（1）、）、表示一个角表示一个角（2）、这个角的范围是）、这个角的范围是,2 2（3）、这个角的正弦值是）、这个角的正弦值是即即,aarcsinaarcsin,.2 2a 即sin(arcsin)(1,1)aa a(4)arcsin(sin),.2 2aa a 下页上页主页21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-1123221-1sin,1,12 2yx xy arcsin,1,1,2 2yx
4、 xy 2、反正弦函数、反正弦函数y=arcsinx,x-1，1的图象与性质：的图象与性质：yxyx22(1)定义域定义域:-1，1。(2)值域值域:,2 2(3)奇偶性奇偶性:是奇函数，是奇函数，其图象关于坐标原点对称，其图象关于坐标原点对称，arcsin()arcsin 1,1.xxx (4)单调性单调性:是增函数是增函数。o下页上页主页(1)arcsin1 _(2)arcsin(1)_1(3)arcsin0_(4)arcsin_212(5)arcsin()_(6)arcsin_2223(7)arcsin()_(8)arcsin_223(9)arcsin()_2 3、熟记特殊值的反正弦函数
5、值、熟记特殊值的反正弦函数值220646433下页上页主页2-2-22O1EF22 只有正弦函数主值区间只有正弦函数主值区间 上的角才能用上的角才能用反正弦表示反正弦表示ax=?arcsinax1x2x1=-arcsinax2=2+arcsina4、已知三角函数值求角、已知三角函数值求角2,2,sinxxy3x4x3arcsinxa 42arcsinxa sin,1,(1)arcsin()kx a ax Rx kak z ,2 2 下页上页主页你想学习例题讲解吗？你想学习例题讲解吗？例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。3(1)arcsin233(2)arcsin32(3)arcsin12(
6、)2kkZ(4)arcsin()arcsin33(5)sin(arcsin2)222(6)sin(arcsin)1010对错13错错13 错21对例例2、求下列各式的值：、求下列各式的值：21(1)sin arcsin(2)sin arcsin322(1)1,1,322sin arcsin33 1(2)1,1,211sin arcsin22 解：解：例例3、求下列各式的值：、求下列各式的值：34(1)tan arcsin(2)cos arcsin253(3)cos arcsin,1,1(4)sin 2arcsin5xx 3(1)tan arcsin2tan33,cos0,2 2 23cos1
7、sin,543cos arcsin55解：解：4(2)arcsin5设设4sin5则则例例3、求下列各式的值：、求下列各式的值：34(1)tan arcsin(2)cos arcsin253(3)cos arcsin,1,1(4)sin 2arcsin5xx,cos0,2 2 22cos1 sin1,x24cos arcsin15x(3)arcsin,x设设sinx则则例例3、求下列各式的值：、求下列各式的值：34(1)tan arcsin(2)cos arcsin253(3)cos arcsin,1,1(4)sin 2arcsin5xx 333(4)sin 2arcsin2sin arcsi
8、ncos arcsin5552332155342552425例例4、求下列各式的值：、求下列各式的值：2(1)arcsin sin(2)arcsin sin43(1)arcsin sin42arcsin242(2)arcsin sin33arcsin23下页上页主页251arcsin.251arccos.215arcsin.215arccos._1419983DCBA其最小内角为的正弦值成等比数列，一个直角三角形三内角）年全国，理、（Ba故应选（舍）或解得成等比数列，则，解：设215arcsin215sin215sinsinsin11cos,sin2下页上页主页你想学习反余弦函数吗？你想学习反
9、余弦函数吗？下页上页主页xyo-2-2 3 4 1-1 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？cos()yx xRcos(0,)yx x 余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。下页上页主页二、反余弦函数二、反余弦函数 1、定义：、定义：余弦函数余弦函数 的反函的反函数数cos(0,)yx x 叫反余弦函数，记作叫反余弦函数，记作 (本义反函数本义反函数)arc
10、cosxyarccosyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数)1,1,0,xy 1,1,arccos,xaya 若有下页上页主页理解和掌握 符号arccos(1)a（1）、）、表示一个角表示一个角（2）、这个角的范围是）、这个角的范围是0,（3）、这个角的余弦值是）、这个角的余弦值是即即,aarccosaarccos0,.即cos(arccos)(1,1)aa a(4)arccos(cos),0,.aa a下页上页主页54.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234y=cosx,x0，y-1，1y=arccosx,x-1，1y0，-112、反余弦函数、反余弦
11、函数y=arccosx,x-1，1的图的图象与性质象与性质oxyyx(1)定义域：定义域：-1，1。(2)值域值域:0，。(3)奇偶性奇偶性:非奇非偶函数非奇非偶函数(4)单调性单调性:是减函数。是减函数。arccos()arccos 1,1.xxx 下页上页主页arccos()arccos(1,1).xx x 证明：证明：11,x11,x cos(arccos)cos(arccos),xxxarccos0,arccos0,xx arccos()arccos(1,1).xx x 证明：证明：下页上页主页(1)arccos1 _(2)arccos(1)_1(3)arccos0_(4)arccos
12、_212(5)arccos()_(6)arccos_2223(7)arccos()_(8)arccos_223(9)arccos()_2 3、熟记特殊值的反正弦函数值、熟记特殊值的反正弦函数值20342334656下页上页主页只有余弦函数主值区间0，上的角才能用反余弦表示2-2-22O1 EFaxarccosax1x2x3-arccosa2-arccosa2+arccosa,0,cosxxy4、已知三角函数值求角、已知三角函数值求角cos,1,2arcsin()x a ax Rxkak z 下页上页主页你想学习例题讲解吗？你想学习例题讲解吗？例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。1(1)ar
13、ccos231(2)arccos32(3)arccos02()2kkZ(4)arccos()arccos33(5)cos(arccos2)222(6)cos(arccos)1010对错13错错13 错21对例例2、求下列各式的值：、求下列各式的值：211(1)cos arccos(2)arccos cos362(1)1,1,322cos arccos33 11(2)arccos cos63arccos26解：解：2cos(arcsin)1xx的过程是求，证明原式的过程就看成一个角分析：可以把cosarcsin x222221arcsincos1sin1cos0cos1sincos2,2,sin
14、arcsinxxxxx所以所以又因为的三角函数值关系利用同角则由反正弦的定义知证明：令例例3、证明：、证明：例例4、求下列各式的值：、求下列各式的值：4(1)sin arccos5(2)tan arccos,1,1,045(3)cos arccosarccos513xxx 4(1)arccos,54cos5 0,sin0,23sin1 cos,543sin arccos55设设则则例例4、求下列各式的值：、求下列各式的值：4(1)sin arccos5(2)tan arccos,1,1,045(3)cos arccosarccos513xxx(2)arccos0,sin(arccos)0 xx
15、sin(arccos)tan(arccos)cos(arccos)xxx21 cos(arccos)cos(arccos)xx21xx例例4、求下列各式的值：、求下列各式的值：4(1)sin arccos5(2)tan arccos,1,1,045(3)cos arccosarccos513xxx 45cos arccoscos arccos51345sin arccossin arccos5134531256.51351365 45(3)cos arccosarccos513下页上页主页你想学习反正切函数吗？你想学习反正切函数吗？下页上页主页tan(,)2yx xkkz 没有没有,因为他不是
16、一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？tan,(,)2 2yx x 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。22下页上页主页三、反正切函数三、反正切函数 1、定义：、定义：正切函数正切函数 的反函的反函数数tan(,)2 2yx x 叫反正切函数，记作叫反正切函数，记作 (本义反函数本义反函数)arctanxyarctanyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数),(,)2
17、2xR y ,arctan,xaRya 若有下页上页主页理解和掌握 符号arctan()a aR（1）、）、表示一个角表示一个角（2）、这个角的范围是）、这个角的范围是(,)2 2（3）、这个角的正切值是）、这个角的正切值是即即,aarctanaarctan(,).2 2a 即tan(arctan)()aa aR(4)arctan(tan),(,).2 2aa a 下页上页主页32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-4-3-2-112342、反正切函数、反正切函数y=arctanx,xR的图象与性质的图象与性质22Ryxxy)2,2(,tan22)2,2(,arctany
18、Rxxy(1)定义域定义域R(2)值域值域:(,)22(3)奇偶性奇偶性:是奇函数是奇函数arctan(-x)=-arctanx(xR)其图象关于坐标原点对称。(4)单调性单调性:是增函数是增函数yx下页上页主页(1)arctan1 _(2)arctan(1)_(3)arctan0_(4)arctan 3_3(5)arctan(3)_(6)arctan_33(7)arctan()_3 3、熟记特殊值的反正切函数值、熟记特殊值的反正切函数值3044636下页上页主页只有正切函数主值区间 上的角才能 用反正切表示22axx=arctana2323x1x2x1=arctana-x2=arctana+
19、)2,2(,tanxxy4、已知三角函数值求角、已知三角函数值求角tan,arcsin()x aa Rx kak z (,)2 2 下页上页主页你想学习例题讲解吗？你想学习例题讲解吗？下页上页主页例例1、求下列各式的值：、求下列各式的值：211(1)tan arctan(2)arctan tan362(1),322tan arctan33R 11(2)arctan tan63arctan36 解：解：下页上页主页例例2、已知、已知tan2(1)0,),2若则则则则则则3(2)(,)22若(3),2kkz 若arctan2arctan2arctan2()kkz作业：请同学们预习第三章：直线与方程3.1的练习和习题的练习和习题
