1、第五节第五节 函数的极值函数的极值 与最大值最小值与最大值最小值一、函数的极值以及求法一、函数的极值以及求法二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题0()(,),(,),f xa bxa b 设设函函数数在在区区间间内内有有定定义义1.极值的定义极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.一、函数的极值以及求法一、函数的极值以及求法0 xoxy 0 xf 0()()f xf x 极极小小值值 00,xxx 如如果果存存在在U U当当U U时时，0()(),f xf x 有有 0()()f xf x就就称称是是
2、函函数数的的一一个个极极大大值值.aboxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x2.函数极值的求法函数极值的求法观察极值点处函数的特征：观察极值点处函数的特征：定理定理1 1(必要条件必要条件)驻点驻点:使导数使导数为零的点为零的点(),f x可可导导函函数数的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻点点例如例如,3xy ,00 xy0.x 但但不不是是极极值值点点oxy.但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定是是极极值值点点 于是，对于可导函数于是，对于可导函数,可以可以先求出驻点，再确定其是否先求出驻点，再确定其是否为极值点为极值点.的极值存在吗？的极值存在吗？()f xx 存在极小值
3、存在极小值.0)0(f但但 在在 处不可导处不可导.xxf)(0 x于是于是,函数在它的导数不存在的点处也可能函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值取得极值.怎样怎样判定判定函数在函数在驻点驻点或或不可导点不可导点处是否处是否取得极值？取得极值？xyo可能的极值点：可能的极值点：驻点驻点或或不可导点不可导点xyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)0 x(不是极值点情形不是极值点情形)0 x设设 是驻点是驻点,观察其左右两旁的函数增减：观察其左右两旁的函数增减：0 x 怎样怎样判定判定函数在函数在驻点驻点或或不可导点不可导点处是否处是否取得极值？取得极值
4、？则则 f(x)在在 处取得极小值处取得极小值.0 x则则 f(x)在在 处取得极大值处取得极大值.0 x有有),(00 xxx ()0,fx (2)如果如果0 x()fx)(xf符号相同符号相同,则则在在处无极值处无极值.定理定理2(第一充分条件第一充分条件)00(,),xxx ()0,fx 而而有有),(00 xxx ),(00 xxx (3)如果当如果当及及时时,()0;fx 00(,),xxx 而而有有),(00 xxx ()0;fx (1)如果如果有有设设 f(x)在在 处连续处连续,且在且在 内可导，内可导，0 x 0,x U U求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤:(1)()
5、;fx 求求导导数数0(2)()0;xfx 求求驻驻点点，即即方方程程的的根根0(3)(),;fxx 检检查查在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号判判断断极极值值点点0(4)().f x求求出出极极值值例例1解解32()395.f xxxx 求求出出函函数数的的极极值值963)(2 xxxf()0fx 令令，121,3.xx 得得驻驻点点列表讨论：列表讨论：x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值(3)f极极小小值值.22 (1)f 极极大大值值,10)3)(1(3 xx593)(23 xxxxf图形如下：图形如下：1f 3fxyo1 3定理定理3(第
6、二充分条件第二充分条件)设设 在在 处具有二阶导数处具有二阶导数,且且)(xf0 x0()0,fx 0()0,fx (2)当当 时时,函数函数 在在 处取得处取得0()0fx )(xf0 x那么那么极小值极小值.时时,函数函数 在在 处取得处取得0()0fx )(xf0 x(1)当当极大值；极大值；()6(1)fxx(1)120,f (1)10f(3)120,f(3)22f 2()369,f xxx 是极小值，是极小值，是极大值是极大值.32()395f xxxx 上例上例 求求的极值的极值.121,3.xx 得得驻驻点点又又 由极值的第二充分条件由极值的第二充分条件,可以根据驻点处可以根据驻
7、点处二阶导数的符号二阶导数的符号来来判定判定函数是否有极值函数是否有极值.证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 00()()fxxfxx 故故与与异异号号，0 x 当当时时，00()()fxxfx 有有,0 0 x 当当时时，00()()fxxfx 有有,0(2)同理可证同理可证.000()(),0fxxfxxx 有有邻邻域域U,U,使使，在在 处取得极大值处取得极大值)(xf0 x 函数函数由第一充分条件由第一充分条件(1),知知例例2解解23()(1)1.f xx求求出出函函数数的的极极值值22()6(1)fxx x()0fx 令令，1231,0,1.xxx 得得驻
8、驻点点22()6(1)(51),fxxx(0)f 60,(1)10,ff(0)0.f故故取取得得极极小小值值3故故用用定定理理 无无法法判判别别.再用定理再用定理2(第一充分条件第一充分条件)来判别：来判别：注意注意:00()0,(),2(.fxf xx 时时在在点点处处不不一一定定取取得得极极值值要要用用定定理理第第一一充充分分条条件件)来来判判定定()fx 因因的的符符号号没没有有改改变变，1()0;xfx 当当时时，10()0,xfx 当当-时时，1.fxx 所所以以在在处处没没有有极极值值 1.fxx 同同理理，在在处处也也没没有有极极值值xy1122()6(1)fxx x 例例3解解
9、23()1(2).f xx求求出出函函数数的的极极值值)2()2(32)(31 xxxf2,().xfx 当当时时不不存存在在2x 当当时时，;0)(xf2x 当当时时，.0)(xf(2)1().ff x 为为的的极极大大值值().f x但但函函数数在在该该点点连连续续 2f 连续函数的不可导点连续函数的不可导点,也可能是也可能是函数的极值点函数的极值点注意注意:xyo2二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 (),f xa b若若函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点()f x(,)a b12,mxxx(2)最大
10、值最大值 max M 1(),f x2(),f x,(),mf x(),f a()f b最小值最小值 min m 则其最大则其最大(小小)值只能在值只能在极值点极值点或或端点端点处达到处达到.1(),f x2(),f x,(),mf x(),f a()f b特别地特别地 当当 在在 内只有内只有一个一个极值可疑点时极值可疑点时,()f x,a b 当当 在在 上上单调单调时时,最值必在端点处最值必在端点处达到达到.()f x,a b若在此点取极大若在此点取极大 值值,则也是最大则也是最大 值值.(小小)对于应用问题对于应用问题,有时可根据有时可根据实际意义实际意义判别判别求出的可疑点是否为最大
11、值点或最小值点求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小小)例例4 4 求函数求函数32()2912f xxxx 在闭区间在闭区间520,上的最大值和最小值上的最大值和最小值 .520 x 520 x解解52()0,f xC 32()2912,f xxxx 2()61812fxxx 52()0,:f x 在在内内有有极极值值可可疑疑点点121,2,xx6(1)(2),xx(0)0,f(1)5,f 且且5()52f 故函数在故函数在0 x 取最小值取最小值 0;515.2xx在在和和取取得得最最大大值值端点函数值端点函数值(2)4.f 52120yx x5()0,:2f x在在内内有有极极值值可
12、可疑疑点点121,2,xx例例5 铁路上铁路上AB 段的距离为段的距离为100 km,工厂工厂C 距距A处处20Km,ACAB,要在要在 AB 线上选定线上选定每公里货运价之比为每公里货运价之比为3:5,为使货物从为使货物从B 运到运到工厂工厂C 的运费最省的运费最省,问问D 点应如何选取点应如何选取?20AB100CxD一点一点DD向工厂修一条公路向工厂修一条公路,已知铁路与公路已知铁路与公路20100C解解x则则2220,CDx 225203(100)y xkxkx(0100)x25(3),400 xykx 3224005(400)ykx 令令0,y 得得 15,x 150,xy 又又15
13、x 所所以以为为唯唯一一的的极极小小值值点点，故故AD=15 km 时运费最省时运费最省.总运费总运费从而为最小点从而为最小点,ABD目目标标函函数数(km),ADx 设设例例6 把一根直径为把一根直径为d 的圆木锯成矩形梁的圆木锯成矩形梁,解解 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为为hbd21()6w bbh 221(),6b db(0,)bd 问矩形截面的高问矩形截面的高h和和b应如何选择才能使梁应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大的抗弯截面模量最大?222hdb目目标标函函数数221(3)6wdb 令令0,13bd 得得:3:2:1d h b 即即22hdb
14、从从而而有有23d 由实际意义可知由实际意义可知,所求最值存在所求最值存在,又驻点惟一又驻点惟一,故所求结果故所求结果使梁的抗弯截面模量最大，使梁的抗弯截面模量最大，221()(),6w bb db(0,)bd 目目标标函函数数求解求解即即为最好的选择为最好的选择 .1.1.连续函数的极值连续函数的极值(1)极值可疑点极值可疑点:驻点或不存在的点驻点或不存在的点(2)极值的判定法极值的判定法()fx 过过0 x由由正正变变负负0()f x为极为极大大值值()fx 过过0 x由由负负变变正正0()f x为极为极小小值值00()0,()0fxfx0()f x为极为极大大值值0()f x为极为极小小
15、值值00()0,()0fxfx小小 结结(注意使用条件注意使用条件)第一充分条件第一充分条件第二充分条件第二充分条件2.连续函数的最大值和最小值连续函数的最大值和最小值最值点在最值点在极值点极值点或或边界点边界点取得；取得；应用题可根据问题的实际意义判别应用题可根据问题的实际意义判别最大值和最小值最大值和最小值.（3）极值是函数的局部性概念）极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.思考题思考题1.1.下列命题正确吗？下列命题正确吗？()()A f x的导数存在的导数存在,()0;fa 且且()()B f x取得极大值取得极大值
16、;()()Cf x取得极小值取得极小值;()()D f x的导数不存在的导数不存在.提示提示:利用极限的保号性利用极限的保号性.2.设设2()()lim1,()xaf xf axa 则在点则在点 处处().().aB思考题解答思考题解答1.1.不正确不正确例例 0,20),1sin2(2)(2xxxxxf )0()(fxf)1sin2(2xx 0 当当 时，时，0 x0 x)(xf于是于是 为为的极小值点的极小值点,0)1sin2(2 xxx1cos在在11和和1 1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)(当当 时，时，0 x当当 时，时，0 x)(xf0
17、 x因而因而在在的两侧都不单调的两侧都不单调.()()A f x的导数存在的导数存在,()0;fa 且且()()B f x取得极大值取得极大值;()()Cf x取得极小值取得极小值;()()D f x的导数不存在的导数不存在.提示提示:利用极限的保号性利用极限的保号性.2.设设2()()lim1,()xaf xf axa 则在点则在点 处处().().aB2.选选B.2()()lim10()xaf xf axa ,xU a 当当时时，2()(),0()f xf aaxa 有有邻邻域域U,U,使使，()()0,f xf a从从而而()(),f xf a()().f xf a即即取取得得极极大大值
18、值由极限的保号性由极限的保号性 ，作作 业业习题习题351.(3);(8);(10);3;5;7;9;15.一、一、填空题：填空题：1 1、极值反映的是函数的极值反映的是函数的 _性质性质.2 2、若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导，则它在点可导，则它在点0 x处到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._.3 3、函 数函 数32)1(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _；31)1(23 xy的极值为的极值为_._.4 4、已知函数已知函数 0,10,)(3xxxxxfx当当_ x时，时，为极为极_ y小值；当小值；当时时_ x，为极为极_ y大值大值.练练 习
19、习 题题1附录附录 2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)(xf，则则0 x为为)(xf的的极极值值点点.一、一、1 1、局部；、局部；2 2、0)(0 xf；3 3、(1,2),(1,2),无；无；4 4、1,0,)1(,13eee;二、二、1 1、极大值、极大值 keky2422)24(,极小值极小值 ),2,1,0(22)12(4()12(4 kekyk；2 2、极大值、极大值eeey1)(；3 3、极小值、极小值1)0(y；4 4、极小值、极小值0)0(y.练习题答案练习题答案一、一、填空题：填空题：1 1、最值可、最值可_处取得处取得.2 2、函
20、数、函数2332xxy (41 x)的最大值为的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.3 3、函数函数2100 xy 在在0,80,8上的最大值为上的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.4 4、设有重量为设有重量为 5kg5kg 的物体，置于水平面上，受力的物体，置于水平面上，受力f的作用而开始移动，摩擦系数的作用而开始移动，摩擦系数=0.25=0.25，问力，问力f与与水平线的交角水平线的交角 为为_时，才可使力时，才可使力f的大小为的大小为最小，则此问题的目标函数为最小，则此问题的目标函数为_，讨论区间为讨论区间为_._.练练 习习 题题25 5、从一块半径为从一块半径为
21、R的圆缺片上挖去一个扇形做成一个的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为漏斗，问留下的扇形的中心角为_时，做时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为_考察区间为考察区间为_._.二、二、求函数求函数xxy542 (0 x)的最值的最值.三、三、求数列求数列 nn210的最大项的最大项.四、四、要造一圆柱形油灌，体积为要造一圆柱形油灌，体积为V，问底半径，问底半径r和高和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？高的比是多少？五、由五、由2xy ,0 y,ax (0 a)围
22、成一曲边三角形围成一曲边三角形OAB，在曲线弧，在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲上求一点，使得过此点所作曲线线2xy 的切线与的切线与OA，OB围成的三角形面积最大围成的三角形面积最大.一、一、1 1、区间端点及极值点；、区间端点及极值点；2 2、最大值、最大值80)4(y,最小值最小值5)1(y；3 3、10,610,6；4 4、)2,0,sincos,arctan pf；5 5、38,)2,0(,42464223 RV.二、二、3 x时函数有最小值时函数有最小值 27.27.三、三、14.14.四、四、.1:1:;22,233 hdvhvr五、五、)94,32(2aa.练习题答案练习题答案
