1、第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X-X-射线衍射射线衍射总总 结结v 晶体的特征晶体的特征v 晶体结构及其描述晶体结构及其描述v 晶体的对称性晶体的对称性v 倒格倒格v 晶体晶体X射线衍射射线衍射晶体的特征1.微观特征固体分类固体分类(按结构按结构)晶体：晶体：非晶体：非晶体：准晶体：准晶体：长程有序长程有序不具有长程序的特点，短程有序。不具有长程序的特点，短程有序。有长程取向性有长程取向性,而没有长程的平移对称性。而没有长程的平移对称性。单晶体单晶体多晶体多晶体至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。长程有序长程有序：晶体的宏观特性是由晶体内部结构的
2、周期性决晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的，即晶体的宏观特性是微观特性的反映。定的，即晶体的宏观特性是微观特性的反映。自限性、晶面角守恒、解理性、均匀性、自限性、晶面角守恒、解理性、均匀性、晶体的各向异性、对称性、固定的熔点。晶体的各向异性、对称性、固定的熔点。2.宏观特征 一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重复排列而成的。所有复排列而成的。所有晶体结构晶体结构可以用可以用晶格晶格来描述，这种晶格的来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元基元,基元基元
3、在空间周期性重复排列就形成晶体结构。在空间周期性重复排列就形成晶体结构。1.晶格+基元=晶体结构 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做规则地做周期性无限分布，这些点子的总体称为分布，这些点子的总体称为晶格晶格。(1)(1)晶格晶格晶体结构及其描述一、晶体结构 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点格点。一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。以代表基元中任意的点子。在晶体中适当选取某
4、些原子作为一个基本结构单元，这个在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基本结构单元称为基元基元。基元在空间周期性重复排列就形成晶。基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。体结构。(2)基元(3)格点晶格晶格+基元基元=晶体结构晶体结构),(321332211取取整整数数nnnanananR 用矢量表示为：用矢量表示为：所对应的点的排列。所对应的点的排列。晶格是晶体结构周期性的数学抽象。基矢：固体物理学原胞基矢通常用基矢：固体物理学原胞基矢通常用 表示。表示。321,aaa 321aaa 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格特点：格点只在平行六面体的顶角
5、上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含点，平均每个固体物理学原胞包含1 1个格点。它反映了晶体结个格点。它反映了晶体结构的周期性。构的周期性。1.固体物理学原胞(简称原胞)构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。学原胞。体积：体积：二、原胞的分类2.结晶学原胞（单胞、晶胞、惯用晶胞）构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。它具有明显的对称性和周期性。
6、它具有明显的对称性和周期性。基矢：结晶学原胞的基矢一般用基矢：结晶学原胞的基矢一般用 表示。表示。c,b,a ncbav 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积：体积：特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个个格点。格点。3.维格纳-塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连线的中垂构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连线的中垂面面(或中垂线或中垂线
7、)，由这些中垂面，由这些中垂面(或中垂线或中垂线)所围成的最小体积所围成的最小体积(或或面积面积)即为即为W-S原胞。原胞。体积：与固体物理学原胞体积相同。体积：与固体物理学原胞体积相同。通过晶格中任意两个格点连一条直线称为通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列晶列，晶列的取晶列的取向称为向称为晶向晶向，描写晶向的一组数称为描写晶向的一组数称为晶向指数晶向指数(或或晶列指数晶列指数)。在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为称为晶面晶面，描写晶面方位的一组数称为，描写晶面方位的一组数称为晶面指数晶面指数。三、晶列及晶面1.晶
8、列及晶列指数 321lll若遇负数，则在该数上方加一横线若遇负数，则在该数上方加一横线 。321lll2.晶面及晶面指数 321hhh 321hhh若遇负数，则在该数上方加一横线若遇负数，则在该数上方加一横线 。晶面指数晶面指数(h1h2h3)表示的意义是：表示的意义是：(3)(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。(2)(2)以以 为各轴的为各轴的长度单位长度单位所求得的晶面在坐标轴上所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；的截距倒数的互质比；321,a,aa (1)(1)基矢基矢 被平行的晶面等间距的分割成被平行的晶面等间距的分割成h1 1、h2
9、 2、h3 3 等份；等份；321,aaa 以布拉维原胞基矢以布拉维原胞基矢 为坐标轴来表示的晶面指数称为为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数密勒指数，用，用(hkl)表示。表示。cba,四、配位数、密堆积、致密度 一个粒子周围最近邻的粒子数称为一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数配位数。它可以描述晶。它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。1.配位数2.密堆积可能的配位数有：可能的配位数有：12、8、6、4、3、2 。如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆
10、球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积密堆积。密堆积的。密堆积的配位数最大，为配位数最大，为12 。密堆积有六角密积和立方密积。六角密积排列方式为六角密积排列方式为ABAB立方密积立方密积ABCABC 如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度致密度(堆积比率或堆积比率或最大空间利用率最大空间利用率)。
11、3.致密度Vv 平均每个布拉维平均每个布拉维原胞包含原胞包含4个格点。个格点。332141aaaa 2.体心立方 kjiaakjiaakjiaa 222321 平均每个布拉维原平均每个布拉维原胞包含胞包含2个格点。个格点。332121aaaa 1.面心立方 jiaakiaakjaa 2223211a3a2aiajakai ajaka1a3a2a五、典型的晶体结构(Cu)(Cu)面心立方面心立方(W)(W)体心体心立方立方简立方简立方典型的晶体结构 结构型结构型单胞中的单胞中的 原子个数原子个数原子在单胞原子在单胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距离配位数配位数fcc4(000)(000)021
12、21()21210()21021(2abcc2(000)(000)212121(23aCsClCs+1Cl-1)212121(000)(000)23a1288面心立方面心立方面心立方面心立方典型的晶体结构结构型结构型单胞中的单胞中的 原子个数原子个数原子在单胞原子在单胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距离配位数配位数8(000)(000)02121()21210()21021(43a)212121(2a4 4金刚石金刚石)414141()414343()434143()434341(NaClNa+4Cl-4(000)02121()21210()21021()0021()0210()2100(6
13、1、2、3、4、6 度旋转对称操作。度旋转对称操作。1、2、3、4、6度旋转反演对称操作。度旋转反演对称操作。3.3.中心反映：中心反映：i 4.4.镜象反映：镜象反映：m独立的对称操作独立的对称操作(8(8种种):):C1 1、C2 2、C3 3、C4 4、C6 6、i、m、S4 4。2.2.旋转反演对称操作：旋转反演对称操作：1.1.旋转对称操作：旋转对称操作：晶体的对称性 6.6.滑移反映面。滑移反映面。由由1、2、3、4组成组成32种点群，加上种点群，加上5、6组成组成230种空间群。种空间群。根据对称性，晶体可分为根据对称性，晶体可分为7大晶系，大晶系，14种布拉维晶格。种布拉维晶格
14、。5.5.n度螺旋轴度螺旋轴;1.1.三斜晶系三斜晶系:,cba 090cba2.2.单斜晶系单斜晶系:3.3.三角晶系三角晶系:0012090 cba简单三斜简单三斜(1)简单单斜简单单斜(2)底心单斜底心单斜(3)三角三角(4)4.4.正交晶系正交晶系:090 cba简单正交简单正交(5)，底心正交，底心正交(6)体心正交体心正交(7)，面心正交，面心正交(8)5.5.四角系四角系:(正方晶系正方晶系)090 cba简单四角简单四角(9)，体心四角，体心四角(10)6.6.六角晶系六角晶系:0012090 cba六角六角(11)7.7.立方晶系立方晶系:090 cba简立方简立方(12)，
15、体心立方，体心立方(13)，面心立方面心立方(14)简单三斜简单三斜(1)简单单斜简单单斜(2)底心单斜底心单斜(3)三角三角(4)简单正交简单正交(5)底心正交底心正交(6)体心正交体心正交(7)面心正交面心正交(8)简单四角简单四角(9)体心四角体心四角(10)六角六角(11)简立方简立方(12)体心立方体心立方(13)面心立方面心立方(14)倒格1.1.ijjiba2)ji(2 ji 02.2.KRhl2 3.3.*32 3213212hhhhhhdK 332211bhbhbhKh(h1 1h2 2h3 3)4.4.213132321222aabaabaab 321aaa 其中其中 是正
16、格基矢，是正格基矢，是固体物理学原胞体积。是固体物理学原胞体积。321,aaa与与 332211bhbhbhKn ),(321为为整整数数hhh 所联系的各点的列阵即为所联系的各点的列阵即为倒格倒格。晶体结构晶体结构 正格正格 倒格倒格332211anananRn 1.1.332211bhbhbhKn 1.2.与晶体中原子位置与晶体中原子位置 相对应；相对应；2.与晶体中一族晶面相与晶体中一族晶面相对应；对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性傅里叶空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长
17、度长度4.线度量纲为线度量纲为长度长度-1 )(0为整数为整数 SSRl 20 kkRl ndhhh sin2321hKnkk 0X射线衍射，电子衍射和中子衍射。射线衍射，电子衍射和中子衍射。劳厄法，转动单晶法，粉末法。劳厄法，转动单晶法，粉末法。3.劳厄衍射公式和布拉格反射公式晶体X射线衍射1.晶体衍射：2.X射线衍射的实验方法：第二章第二章 晶体中原子的结合晶体中原子的结合总总 结结v晶体结合能的普遍规律晶体结合能的普遍规律v五种基本结合类型五种基本结合类型v元素和化合物结合的规律元素和化合物结合的规律 晶体的结合能就是将自由的原子晶体的结合能就是将自由的原子(离子或分子离子或分子)结合成
18、晶体结合成晶体时所释放的能量。时所释放的能量。0EEENb 1.晶体的结合能 E0 0是晶体的总能量，是晶体的总能量，EN是组成该晶体的是组成该晶体的N个原子在自由状态个原子在自由状态时的总能量，时的总能量，Eb即为晶体的结合能。即为晶体的结合能。2.原子间相互作用势能其中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。其中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。A、B、m、n00晶体结合能的普遍规律吸引力吸引力-库仑引力；库仑引力；排斥力排斥力库仑斥力库仑斥力泡利不相容原理泡利不相容原理3.N个原子组成的晶体相互作用势能 其中其中ui、u(rij)为第为第i个原子与其他所有原子间的相互作用个原子与其他所有原
19、子间的相互作用势能及第势能及第i个原子与第个原子与第j个原子间的相互作用势能。个原子间的相互作用势能。NjijiruNuNrU1)(22)(0)(220VVUVK mvm)vu(f 4.由相互作用势能可以求的几个参量mv3RNV 设由设由N个原子组成的晶体的体积为个原子组成的晶体的体积为00)(91220220RVRURNVUVK r0a(晶格常量晶格常量)0|)(0 rrrrU(1)(1)(VPVK (2)(2)0)()(22 mmvvvuvf(3)(3)体积弹性模量体积弹性模量五种基本结合类型离子晶体一定是复式晶格。离子晶体一定是复式晶格。(2)结合力：结合力：离子键。离子键。(3)配位数
20、；配位数；最大为最大为8。)4(202nRBRqNU Njja1(1)结构：结构：负电性相差较大的原子负电性相差较大的原子+库仑作用力。库仑作用力。(4)互作用势能：互作用势能：1.离子晶体)1(724002 nRqK (5)体积弹性模量体积弹性模量马德隆常数马德隆常数)11(8002nRqNEb (6)结合能结合能SZCR 1C：由外层电子主量子数决定的一个常数；：由外层电子主量子数决定的一个常数；S：屏蔽系数；：屏蔽系数；Z：原子序数。：原子序数。多价离子半径多价离子半径)1(21 nRR R：多价离子半径；：多价离子半径；n：玻恩指数；：玻恩指数；：离子的价数。：离子的价数。(7)(7)
21、离子半径离子半径单价离子半径：单价离子半径：2.非极性分子晶体(3)配位数：配位数：(2)结合力：结合力：通常取密堆积通常取密堆积,配位数为配位数为12。范德瓦尔斯范德瓦尔斯-伦敦力。伦敦力。6612122)(RARANRU 具有饱和电结构的原子或分子具有饱和电结构的原子或分子+范德瓦尔斯范德瓦尔斯-伦敦力。伦敦力。(1)(1)结构：结构：(4)互作用势能：互作用势能：式中式中BAAB4;261 126,AA是仅与晶体结构有关的常数。是仅与晶体结构有关的常数。NjjaA12121 NjjaA6613.原子晶体、金属晶体和氢键晶体 结构：第结构：第族、第族、第族、第族、第族、第族、第族元素都可以
22、形成族元素都可以形成原子晶体。原子晶体。结合力：结合力：共价键共价键饱和性饱和性方向性方向性(1)原子晶体原子晶体 结构：第结构：第族、第族、第族及过渡元素晶体都是典型的金属晶体。族及过渡元素晶体都是典型的金属晶体。多采取配位数为多采取配位数为12的密堆积，少数金属为体心立方结构，的密堆积，少数金属为体心立方结构，配位数为配位数为8。(2)(2)金属晶体金属晶体结合力：金属键。结合力：金属键。结构：氢原子同时与两个负电性较大，而原子半径较小结构：氢原子同时与两个负电性较大，而原子半径较小的原子的原子(O、F、N等等)结合，构成氢键。结合，构成氢键。ABH氢键具有饱和性。氢键具有饱和性。共价键共
23、价键(3)(3)氢键晶体氢键晶体 中性原子失去中性原子失去1个电子成为个电子成为+1价离子时所需要的能量为第一电价离子时所需要的能量为第一电离能，从离能，从+1价离子再移去一个电子所需能量为第二电离能。价离子再移去一个电子所需能量为第二电离能。元素和化合物结合的规律1.电离能：中性原子获得电子成为中性原子获得电子成为-1-1价离子时所放出的能量。价离子时所放出的能量。负电性负电性=0.18(电离能电离能+亲和能亲和能)2.电子亲和能3.负电性：原子的负电性的大小表示原子得失电子能力的强弱。原子的负电性的大小表示原子得失电子能力的强弱。IA、IIA、IIIB负电性低的元素对电子束缚较弱，价电子负
24、电性低的元素对电子束缚较弱，价电子易于摆脱原子束缚成为共有化电子，因此在形成晶体时便采取易于摆脱原子束缚成为共有化电子，因此在形成晶体时便采取典型的金属结合。典型的金属结合。IVB、VB具有较强的负电性，它们束缚电子的能力较强，具有较强的负电性，它们束缚电子的能力较强，适于形成共价结合。适于形成共价结合。周期表左端的元素负电性弱，易于失去电子；而右端的元周期表左端的元素负电性弱，易于失去电子；而右端的元素负电性强，易于获得电子，因此它们形成离子晶体。素负电性强，易于获得电子，因此它们形成离子晶体。+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+选取绿色正方形为选取绿色正方
25、形为埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞:棱上棱上4个正离子对晶胞的贡献为个正离子对晶胞的贡献为,214 它们对参考离子库仑能的贡献为它们对参考离子库仑能的贡献为,11214 顶角上顶角上4个负离子对晶胞的贡献为个负离子对晶胞的贡献为,414 它们对参考离子库仑能的贡献为它们对参考离子库仑能的贡献为,21414 jRaqU024马德隆常数的求法马德隆常数的求法21414112141 1.293 8141451218212142141142 607.1+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+同理当选取红色正方形为同理当选取红色正方形为埃夫琴晶胞时埃夫琴晶胞时:解解:由题知每个原子由
26、题知每个原子(离子离子)平均所占的体积为平均所占的体积为:3R 晶胞的体积晶胞的体积3RnV 3nRV n为晶胞所包含的原子为晶胞所包含的原子(离子离子)个数。个数。氯化钠结构氯化钠结构:Ra2 例：由例：由N个原子个原子(或离子或离子)组成的晶体体积组成的晶体体积V可以写成可以写成3RNNvV 其中其中 为每个原子为每个原子(离子离子)平均所占的体积，平均所占的体积，R为原子为原子(离子离子)间的最短距离，间的最短距离，是和晶体结构有关的常数。是和晶体结构有关的常数。v试求氯化钠型结构的试求氯化钠型结构的 值。值。18)2(333 RRnRV cefinnnnn814121 88112416
27、211 8 用中性组合法求氯化钠三维离子晶体的马德隆常数（一级近用中性组合法求氯化钠三维离子晶体的马德隆常数（一级近似）似）解：解：Cl1186482112144 Na电中性电中性面心：面心：Na(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)ai=1顶角：顶角：Cl(1,1,0)ai=2Na(1,1,1)ai=311111161281.457214823 第三章补充第四章总结第四章总结晶体缺陷晶体缺陷 结果缺陷结果缺陷 化学缺陷化学缺陷点缺陷点缺陷 空位空位 热缺陷热缺陷 弗仑克尔缺陷弗仑克尔缺陷 填隙原子填隙原子 肖特基缺陷肖特基缺陷 杂质原子杂质原子 替代式杂质替代式杂质 填隙式杂质填隙式杂质
28、线缺陷线缺陷 刃位错刃位错 螺旋位错螺旋位错面缺陷面缺陷 晶界缺陷晶界缺陷 堆垛缺陷堆垛缺陷体缺陷体缺陷色心：能吸收可见光的晶体缺陷，色心：能吸收可见光的晶体缺陷，典型典型 F心心极化子：一个携带着周围的晶格极化子：一个携带着周围的晶格畸变而运动的电子，可看做一个畸变而运动的电子，可看做一个准粒子（电子准粒子（电子+晶格的畸变）晶格的畸变）晶体的扩散晶体的扩散 外来杂质原子在晶体中的扩散外来杂质原子在晶体中的扩散（通过点缺陷实现）（通过点缺陷实现）基质原子在晶体中的扩散，即自扩散基质原子在晶体中的扩散，即自扩散菲克第一定律菲克第一定律菲克第二定律菲克第二定律jD C 2CDCt本章应掌握的内容
29、本章应掌握的内容自由电子气的概念及模型：特鲁德模型与索自由电子气的概念及模型：特鲁德模型与索末菲模型；末菲模型；自由电子气模型的电子密度自由电子气模型的电子密度n n、费米能量、费米能量E EF F、费米温度费米温度T TF F、费米波矢、费米波矢k kF F、费米速度、费米速度V VF F、费、费米面上电子的平均自由程米面上电子的平均自由程l lF F；1.1.自由电子气模型运用：自由电子气模型运用：比热、电导率、欧比热、电导率、欧姆定律、姆定律、热导率、热导率、霍尔效应、功函数和接触霍尔效应、功函数和接触势差。势差。自由电子气的概念及模型：特鲁德模型与索末菲模型自由电子气的概念及模型：特鲁
30、德模型与索末菲模型特鲁德模型（假设）特鲁德模型（假设）1.独立电子假设独立电子假设2.自由电子假设自由电子假设3.碰撞假设碰撞假设4.弛豫时间近似弛豫时间近似5.经典统计经典统计:使用使用麦克斯韦麦克斯韦-玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计索末菲索末菲模型（假设）模型（假设）两种模型的用途及不足两种模型的用途及不足1.独立电子假设独立电子假设2.自由电子假设自由电子假设3.碰撞假设碰撞假设4.弛豫时间近似弛豫时间近似5.量子统计量子统计:使用使用费米费米-狄拉克统计狄拉克统计自由电子气模型的自由电子气模型的电子密度电子密度n费米能量费米能量EF费米温度费米温度TF TF=EF/kB 费米波矢费米波矢kF
31、费米速度费米速度VF vF=kF/me费米面上电子的平均自由程费米面上电子的平均自由程FZMZNMnmAm231002.62nemvveeFFmkE222323nkF周期场近似周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。多粒子系统多粒子系统 多电子系统多电子系统 单电子系统单电子系统 自洽场Fockhatree原子核静止绝热近似绝热近似单电子近似单电子近似布洛赫定理布洛赫定理第六章总结第六章总结布洛赫定理布洛赫定理:在周期场中运动的单电子的波函数在周期场中运动的单电
32、子的波函数(r)(r)是调是调幅平面波，其振幅按晶体的周期而周期变化，即：幅平面波，其振幅按晶体的周期而周期变化，即：具有该形式的波函数称为具有该形式的波函数称为布洛赫函数布洛赫函数或或布洛赫波布洛赫波。用这种用这种波函数描述的电子叫波函数描述的电子叫布洛赫电子布洛赫电子。用用r+Rn代替上式中的代替上式中的r，得到：，得到：这是布洛赫定理另一形式，这是布洛赫定理另一形式，它表明在它表明在不同原胞的对应点上，波不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子函数相差一个位相因子，位相因子不影响波函数模的大小，所，位相因子不影响波函数模的大小，所以不同原胞对应点上，电子出现的以不同原胞对应点上，电子出
33、现的eikRn几率是相同的。几率是相同的。)()(rrrkkikue)()(nRrrkkuu其中振幅其中振幅)()(rRrRknkikne)()(ruerkrikk)()(nkkRruru)()(reRrmRk im 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者 具有相同的本征函数具有相同的本征函数 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式电子波函数的形式 布洛赫布洛赫(Bloch)定理的证明定理的证明 势场的周期性反映了晶格的平移对称性势场的周期性反映了晶格的平移对称
34、性晶格平移任意矢量晶格平移任意矢量 势场不变势场不变 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符321,TTT平移任意晶格矢量平移任意晶格矢量对应的平移算符对应的平移算符)()()()(332211321aTaTaTRTmmmm 1 12233mRm am am a()()T f rf ra1,2,3112233mRm am am a 引入矢量引入矢量333222111bNlbNlbNlk 倒格子基矢倒格子基矢满足满足ijjiba2平移算符的本征值平移算符的本征值321321,ak iak iak ieee将将 作用于电子波函数作用于电子波函数)()()()(
35、332211321aTaTaTRTmmmm1 12 23 3()()ikm am am aer)()(reRrmRk im 布洛赫定理布洛赫定理123,bbb312112233()()()()mmmmT RTa Ta Ta()()()mmT RrrR312112233()()()()mmmTa Ta Tar312123()()mmmmrRr 近自由电子近似模型的基本思想：认为金属中价电子在一个很弱的周期场模型的基本思想：认为金属中价电子在一个很弱的周期场中运动中运动(如下图如下图)，价电子的行为很接近于自由电子，价电子的行为很接近于自由电子(故叫故叫近近电子自由近似电子自由近似)，又与自由电子
36、不同。这里的弱周期场设，又与自由电子不同。这里的弱周期场设为为V(x)，可以当作微扰来处理，即：，可以当作微扰来处理，即：零级近似时，用势场平均值零级近似时，用势场平均值 代替弱周期场代替弱周期场V(x)；所谓弱周期场是指比较小的周期起伏所谓弱周期场是指比较小的周期起伏V(x)-=V(x)做为做为微扰处理微扰处理。r()V r单电子的周期性势场单电子的周期性势场V零级近似零级近似一级修正一级修正二级修正二级修正220(1)2(2)000(1)00021()()()kkkkkkikxkkkkkkkEVmEkVkkVkEEExeLkVkxxEE 电电子子波波函函数数一级修正一级修正零级近似零级近似
37、微扰理论重要公式微扰理论重要公式能能量量本本征征值值根据量子力学的微扰理论，可以知道：根据量子力学的微扰理论，可以知道：二维和三维能带结构与一维能带结构的对比二维和三维能带结构与一维能带结构的对比共同点：共同点：每个布里渊区内所代表的电子态构成能量准连续的每个布里渊区内所代表的电子态构成能量准连续的能级，称为能带。能带中的能级近似为修正的自由电子能级，称为能带。能带中的能级近似为修正的自由电子能谱能谱E E(0)(0)k k，越接近布里渊区边界，能量修正越大。在布，越接近布里渊区边界，能量修正越大。在布里渊区边界能量发生跳变。里渊区边界能量发生跳变。不同点：不同点：一维情况下，在布里渊区边界能
38、量发生跳变，必然一维情况下，在布里渊区边界能量发生跳变，必然出现禁带。但在二维和三维情况下就不一定。因为不同出现禁带。但在二维和三维情况下就不一定。因为不同能带在能量上不一定分隔开，可能发生能带之间的交叠。能带在能量上不一定分隔开，可能发生能带之间的交叠。导体、半导体和绝缘体的能带论解释导体、半导体和绝缘体的能带论解释例例6.2-2 电子在周期场中的势能函数电子在周期场中的势能函数且且a=4b，是常数。是常数。1)画出此势能曲线，并计算势能的平均值；画出此势能曲线，并计算势能的平均值；2)用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙宽度宽度 22
39、21()()20(1)mbx nana b x na bV xna b x na b 2221()()20(1)mbxnanabxnabV xnabxnab 势能的平均值势能的平均值011()LikxikxVeV xedxLLLNa222111()2na bikxikxna bVNembxnae dxLL势能的平均值势能的平均值令令222111()2na bikxikxna bVNembxnae dxLL222()2na bna bNVmbxnadxLxna2221()2bbVmbda2296aVm在近自由电子近似模型中，势能函数的第在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数 2221()()2V xmbxnanabxnab201()()nxiLaV neV x dxL2222()()2inbabmV nebdaxna第一个带隙宽度第一个带隙宽度第二个带隙宽度第二个带隙宽度3221182bmVEg222222bmVEg2222()()2inbabmV nebda22221()2ibabmVebda42222()2ibabmVebda
