1、The Advanced AlgebraDr.Zhi hui LiThe Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li引理引理1 1 设设A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数的特征值皆为实数12nxxx 证：设证：设 是是A的任意一个特征值，则有非零向量的任意一个特征值，则有非零向量0 满足满足0.A The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li,AAAA 其中其中 为为 的共轭复数，的共轭复数，iixx12,nxxx 令令0 ()A ()A 又由又由A实对称实对称，有有0()AA()A 0()()A ()A 0()0 The Advance
2、d AlgebraDr.Zhi hui Li12120nnx xx xx x 由于由于是非零复向量，必有是非零复向量，必有 故故 00.0.R 考察等式考察等式，00 The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li引理引理2 2 设设A是实对称矩阵是实对称矩阵，在在 n 维欧氏空间上维欧氏空间上nR(),nAR 定义一个线性变换定义一个线性变换如下如下：(),(),则对任意则对任意有有,nR 或或()().AA The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li1210001,.,0001n 1212(,.,)(,.,)nnA 证证：取取 的一组标准正交基的
3、一组标准正交基，nR则则在基在基 下的矩阵为下的矩阵为A，即即 12,.,n 任取任取1122,nnnxyxyRxyThe Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li1 122.nnyyy1 122.nnxxx即即 (),()AX Y ()XAY 12(,.,),nX 12(,.,),nY 于是于是1212()(,.,)(,.,),nnXAX 1212()(,.,)(,.,),nnYAY 又又 是标准正交基，是标准正交基，12,.,n X AY ()X A Y ,()The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li ,()().A 即有即有 (),()A ()
4、,又注意到在又注意到在 中中 ,XYnR1 1定义定义 (),(),V 则称则称为为对称变换对称变换 设设为欧氏空间为欧氏空间V中的线性变换，中的线性变换，如果满足如果满足 The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li1）n维欧氏空间维欧氏空间V的对称变换与的对称变换与n级实对称矩阵在级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：标准正交基下是相互确定的：2 2基本性质基本性质 实对称矩阵可确定一个对称变换实对称矩阵可确定一个对称变换 一组标准正交基一组标准正交基11(,.)(,.)nnA 事实上，设事实上，设,n nARAA 12,.,n 为为V的的定义定义V的线性变换：的线
5、性变换：则即为则即为V的对称变换的对称变换 The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵()n nijAaR 12,n 为为V的一组标准正交基，的一组标准正交基，事实上，设为事实上，设为n维欧氏空间维欧氏空间V上的对称变换，上的对称变换，为为在这组基下的矩阵，即在这组基下的矩阵，即 1212(,)(,)nnA 或或1122()iiininaaa 1,1,2,nkikkain The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li于是于是 1(),nijkikjka 1(,)nki
6、kjka (,)jijja jia 1,(),nijikjkka 1(,)nkjikka (,)ijiia ija,1,2,ijjii jn即即所以所以A为对称矩阵为对称矩阵由是对称变换，有由是对称变换，有 (),()ijij The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li2）（）（引理引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间它的不变子空间对对 ,W ,W 任取任取即即(),W ().W 证明证明：设设是对称变换是对称变换，W为为的不变子空间的不变子空间 要证要证(),W 即证即证().W (),W 由由W是是 子空间，有子空间
7、，有 (),()0 因此因此故故 也为也为的不变子空间的不变子空间W The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li1.1.(引理引理4 4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于分别是属于 的特征向量的特征向量,则则(),A 是正交的是正交的 正交基下的矩阵，正交基下的矩阵，证证：设实对称矩阵设实对称矩阵A为为 上对称变换上对称变换的在标准的在标准nR,是是A的两个不同特征值的两个不同特征值，(),A 由由 (),()The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li又又,(,)0 即即 正交正交,(定理定理7 7
8、)对对 总有正交矩阵总有正交矩阵T，使使,n nARAA 112(,).nT ATTATdiag (,)(,),有有(,)(,).即即The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li证证：设设A为为 上对称变换上对称变换在标准正交基下的矩阵在标准正交基下的矩阵nR 由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有有n个特征向量作成的标准正交基即可个特征向量作成的标准正交基即可 n=1时，结论是显然的时，结论是显然的 对对 的维数的维数n用归纳法用归纳法 nR有一单位特征向量有一单位特征向量 ，其相应的特征值为其相应的特征值为 ，即，即
9、1 1 1111(),|1 假设假设n1时结论成立时结论成立,对对 设其上的对称变换设其上的对称变换,nRThe Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li设子空间设子空间1(),LW 显然显然W是是 子空间子空间，,dim1nWWRWn (),(),W 则则 也是也是 子空间，且子空间，且 W 又对又对有有,W ,(),()W 所以所以是是 上的对称变换上的对称变换WW 由归纳假设知由归纳假设知 有有n1 个特征向量个特征向量W 23,n 构成构成 的一组标准正交基的一组标准正交基W The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li从而从而就是就是 的一组标
10、准正交基，的一组标准正交基，123,n nR又都是又都是 的特征向量的特征向量nR即结论成立即结论成立3实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设设,n nARAA (i)求出求出A的所有不同的特征值的所有不同的特征值：12,rR 其重数其重数 必满足必满足 ;12,rn nn1riinn (ii)对每个对每个 ，解齐次线性方程组解齐次线性方程组 i()0iEA X The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li求出它的一个基础解系求出它的一个基础解系：12,iiin它是它是A的属于特征值的属于特征值 的特征子空间的特征子空间 的一组基的一组基i i
11、V 正交基正交基12,.iiin把它们按把它们按 正交化过程化成正交化过程化成 的一组标准的一组标准SchmidtiV(iii)因为因为 互不相同，互不相同，12,.r 且且1dim,iriWn 11112112,rnrrrn就是就是V的一组的一组标准正交基标准正交基()ijVVij所以所以The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li则则T是正交矩阵是正交矩阵，且且11112112,rnrrrn将将的分量依次作的分量依次作矩阵矩阵T的第的第1，2，n列列，使使 为对角形为对角形1T ATTAT 例例1设设 0111101 111 011 110A 求一正交矩阵求一正交矩阵
12、T使使 成对角形成对角形T AT The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li解解：先求先求A的特征值的特征值11 1111|1 11111EA 211 1101011 3(1)(3)A的特征值为的特征值为 （三重三重）,11 23.2011 101010011111 31 11(1)1 010 11 The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li其次求属于其次求属于 的特征向量，即求解方程组的特征向量，即求解方程组11 ()0EA X111 11 1111 111111 1EA得其基础解得其基础解 123(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,
13、0,1)111 10 00 00 00 00 00 0The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li把它正交化，得把它正交化，得 11(1,1,0,0)2122111(,)11(,1,0)(,)22 313233121122(,)(,)1 1 1(,1)(,)(,)3 3 3 再单位化，得再单位化，得The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li111111(,0,0)|22 2221112(,0)|666 33311113(,)|12121212 这是特征值这是特征值 (三重三重)的三个单位正交特征向量，的三个单位正交特征向量，11 也即是特征子空间也
14、即是特征子空间 的一组标准正交基的一组标准正交基1V The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li再求属于再求属于 的特征向量，即解方程组的特征向量，即解方程组23 311 1131131 1311113EA1111022002200202 30EA X444413111 13111131 0 010 1 0 10 0 1 10 0 0 0 得其基础解得其基础解 4(1,1,1,1),The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li再单位化得再单位化得 4111 1(,)222 2 这样这样 构成构成 的一组标准正交基，它们的一组标准正交基，它们1234
15、,4R都是都是A的特征向量，正交矩阵的特征向量，正交矩阵 1234111122612111122612(,)211026123100212T The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li使得使得 11.13T AT 成立的正交矩阵不是唯一的成立的正交矩阵不是唯一的 对于实对称矩阵对于实对称矩阵A，使使12(,)nT ATdiag 而且对于正交矩阵而且对于正交矩阵T,还可进一步要求还可进一步要求1.T The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T12(,),1nT ATdiagT
16、 取正交矩阵取正交矩阵(1,1,1),Sdiag则则 是正交矩阵且是正交矩阵且1TTS 11,TT S同时有同时有11()()()T ATTS A TSS T AT S12111111n 12(,)ndiag The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li 如果不计较主对角线上元素的如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与排列的次序，与实对称矩阵实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的正交相似的对角矩阵是唯一确定的 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性
17、：设设 为实对称矩阵为实对称矩阵A的所有特征值的所有特征值12n(i)A为正定的为正定的0n(ii)A为半正定的为半正定的0n(iii)A为负定（半负定）的为负定（半负定）的 110(0)The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li(iv)A为不定的为不定的10 且且 0n 实对称矩阵实对称矩阵A的正的正、负惯性指数分别为正负惯性指数分别为正、负特负特特征值的个数特征值的个数（重根按重数计重根按重数计）n秩秩(A)是是0为为A的特征值的重数的特征值的重数.The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li1解析几何中主轴问题解析几何中主轴问题将将 上有心上
18、有心 二次曲线或二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标上有心二次曲面通过坐标2R3R的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.2任意任意n元实二次型的正交线性替换化标准形元实二次型的正交线性替换化标准形1）正交线性替换正交线性替换如果线性替换如果线性替换X=CY的矩阵的矩阵C是正交矩阵，则称之为是正交矩阵，则称之为正交线性替换正交线性替换.The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li1211(,),nnnijijijjiijf x xxx xi j2）任一任一n元实二次型元实二次型 都可以通过正交的线性替换都可以通过正交的线性替换
19、变成平方和变成平方和 XCY 221122.nnnyyy其中平方项的系数其中平方项的系数 为为A的全部特征值的全部特征值12,n The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li例例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 222112233121323222a xa ya za xya xza yz1232220b xb yb zd（1）20.X AXB Xd（2）则则（1）式可以写成式可以写成 令令 111213121222323313233,aaabxAaaaBbXyzbaaa The Advanced AlgebraDr.Zhi h
20、ui Li对对（2）中的中的 有正交矩阵有正交矩阵C（且且 ）3 3AAR 1C 确定的坐标变换公式确定的坐标变换公式 111213121222311313233cccxxycccyzzccc 123(,),C ACdiag 曲面曲面（1）的方程化成的方程化成 这样由这样由（2）知道经过由知道经过由 的坐标轴旋转，的坐标轴旋转，1XCX 222*11213 11121312220 xyzb xb yb zd或或1XCX The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li其中其中 *123123,bbbb b bC 这时，再按这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的是否为零，作适当的坐标轴的123,平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程如当如当全不为零时，作平移全不为零时，作平移 123,*1121*2122*3123bxxbyybzz The Advanced AlgebraDr.Zhi hui Li曲面方程曲面方程（1）可以化为可以化为 222*12223 20,xyzd*312123.bbbdd其中其中
