1、(人教版课件)导数的运算法则一、导数的四则运算一、导数的四则运算).0)()()()()()(/)()()3();()()()(/)()()2();()(/)()()1(0020000000000000 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxxxxxx注意注意 一般地说一般地说,乘积的导数乘积的导数=导数的乘积导数的乘积;商的导数商的导数=导数的商导数的商.定理定理处也可导，并且处也可导，并且在点在点积、商积、商则它们的和、差、则它们的和、差、处可导处可导在点在点、如果如果 )(,)()(00 xxxxvxu不为零时不为零时 分母在分母在0 0证证(3)(3
2、)：,)0)(,)()()(0 xvxvxuxf记记xxfxxfxfx )()(lim)(0000则则xxvxxvxxvxuxvxxux )()()()()()(lim0000000 xxvxuxxvxxux )()()()(lim00000 xxvxxvxvxxvxuxvxuxxux )()()()()()()()(lim000000000)()()()()()()()(lim000000000 xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxux 200000)()()()()(xvxvxuxvxu .)3()(0成成立立处处可可导导且且在在 xxf证毕证毕推论推论);()()1(xfCxf C
3、).()()()()2(xvbxuaxvbxua 例例1 1,sin)(cos ,cos)in(xxxxs 由由定定义义得得)cossin()(tan xxx cos)sin(sin coscos2xxxxx ,sec cos122xx ,csc)cot(2xx 同同理理可可得得 ,tansec)(sec xxx .cot csc)(csc xxx ,sec tan2xx ）（例例2 2.0 sin2)(23时时的的导导数数在在求求 xxxxxf解解)(sin)(2)()(23 xxxxf例例3 3.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxlncos(cos2
4、 xxxln)sin(sin )1cossinxxx .2sin1ln2cos2xxxx 23x x4.cos x xxxylncos)(sin2 xxxln)(cossin )(lncossin xxx.1)0(f例例4 4.)(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解xxf )(,0 时时当当 x,0 时时当当 xxxxxxfx )1ln()1ln(lim)(0)11ln(1lim0 xxxx ;11x ;1 xxxxxx 10)11ln(lim11,0 时时当当 x01lnlim)0(0 xxfx,1 01ln)1ln(lim)0(0 xxfx,1.1)0(f.0,110,
5、1)(xxxxf二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则定理定理(复合函数导数的复合函数导数的链式法则链式法则).()()()()(,)(,)()(,)(0)(00000000000 xxfxufxfdxdududydxdyxxfyxuufyxxuxxxxxxxuuxx ）（）（即即且且可可导导在在点点则则可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.*证证可可导导在在 )(0 xxgu 连连续续在在0)(xxgxyxgfxxx 0lim)(0，时时
6、，有有00 ux证证毕毕)(lim0 xuuyx xuuyxx 00limlim).()(00 xguf xuuyxu 00limlim推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则 有有何何不不同同？问问：00)(,)(),(,)(,)(),(00 xxxxxxxxxx 例例5 5.cos的的导导数数求求xy 解解 ),(-)2sin(cos为为 xxxy dxdududydxdyx )(cos )2()(sin xu,2 sin复复合合与与 xuuyucos.sin)2cos(xxx 还还原原例例6 6.0)(的导数的导数求
7、求 xy解解的的复复合合，、与与为为 ln e eln xvvuyxyux )(ln)()e(dddddd)e()(ln xvxvvuuyxux xu1e xx1e ln 还原还原xx1 .0)(1 xx )(e)(ln xx 即即)(ln)ln()(e ln ln ln xxxxx ).(0,1e1-ln xxxx 注注 熟练地掌握了复合函数的分解熟练地掌握了复合函数的分解 及链式法则后，可及链式法则后，可以不写出中间变量（符号），采用以不写出中间变量（符号），采用逐层求导逐层求导的方式计的方式计算复合函数的导数（这样可省去还原这一步）。算复合函数的导数（这样可省去还原这一步）。例例7 7.
8、arcsin22 222的导数的导数求求axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy加加法法)1)(11(2 )2()(21(21 221212222aaxaxxaxxa 导导数数公公式式、链链式式法法则则.22xa 整理整理)0(a现在我们可以利用现在我们可以利用基本初等函数的导数基本初等函数的导数及及常数的导数常数的导数公式公式、导数的四则运算法则导数的四则运算法则及及复合函数导数的链式法复合函数导数的链式法则则）求出）求出所有所有初等函数的导数。初等函数的导数。)(arcsin2)()(2122222 axaxaxxax乘乘法法、数数乘乘例例8 8.)2(21ln3
9、2的的导导数数求求 xxxy解解)21()21(ln32213232 xxxxyxx23323223)2()2(12)1(12 xxxxxxx2313123121223)2(1)2(31122)1(2112 xxxxxxxx.)2(3112 xxx整整理理例例9 9.)2(21ln32的导数的导数求求 xxxy另解另解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy.)2(3112 xxx例例1010解解)1(sine1sin xyx)1(1cose1sin xxx.1cose11sin2xxx .e1sin的的导导数数求求xy 例例1111.0)()ln(的的导导数数
10、求求 xxy )()(ln(-xxyx 1)(1 x.1x xxxxxx )ln()ln(lim )(ln(0另另解解：xxxxxxxxxxx1)1ln(lim1)1ln(1lim00?解解.1 )|ln(xx 三、反函数的导数三、反函数的导数定理定理.),(,dd1dd ,)(1)()(,)(0)()(000001100 xxxyyyxIxxfyxyyxxfyfIyfxxfIxfy 其其中中即即且且内内也也可可导导在在则则，内内单单调调、可可导导且且在在如如果果即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.*证证,)(内内单单调调、可可导导在在xIxfy ,00
11、 xy，有有于于是是，对对内内单单调调、连连续续。在在 )(1yIyfx 证证毕毕，得得时时，有有且且00 xy limdd00yxyxyyy .dd10 xxxy 1lim0 xyx y y=f(x)x=f-1(y)Iy y0 (x0,y0)y x O x0 x Ix(f-1)(y0)=tan y=cot x=1/tan x=1/f (x0).arcsin的导数的导数求求xy ,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在 xIxy,0cos)(sin xx且且内内有有在在 )1,1(yI)(sin1)(arcsin xyxcos1 x2sin11 211y 即即解解.11)(arccos2x
12、x 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc)(arcsin x.112x 我们我们知道了所有知道了所有基本初等函数基本初等函数的导数的导数。例例1111*例例1212.log的的导导数数再再求求xya,0ln)(aaayy且且,),0(内内有有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 四、常数和基本初等函数的导数公式四、常数和基本初等函数的导数公式;0)()1(C;cos)(sin )3(xx ;sin)(cos )4(xx ;sec)(tan )5(2xx ;csc)(cot )6(2xx );0()()2(1 xx;tan sec)(sec )7(xxx ;cot csc)(csc )8(xxx ;ln)()9(aaaxx ;)()10(xxee ;ln1)(log )11(axxa ;1)(ln )12(xx ;11)(arcsin )13(2xx ;11)(arccos )14(2xx ;11)(arctan )15(2xx .11)cotarc()16(2xx
