1、8.1 拉普拉斯变换定义定义8.1 设函数f(t)当 时有定义，而且积分 在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的函数记为 F(s)=Lf(s)=.称为函数的f(t)的拉普拉斯变换式拉普拉斯变换式，F(s)称为f(t)的拉拉普拉斯变换普拉斯变换(或称为象函数象函数).0t 0()edstf tt0()edstf tt 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的拉拉普拉斯逆变换普拉斯逆变换(或称为原象函数原象函数)，记作f(t)=L-1 F(t).例8.1 求阶跃函数u(t)=的拉普拉斯变换.1,0;0,0tt解：Lu(s)=00e1()edststf ttss 例8.2
2、 求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换，其中a是复常数.解：当Re(s)Re(a)时，Lf(s)=()0011e edeatsts atsasa即 Leatu(t)(s)=,Re(s)Re(a)1sa例8.3 求函数tn的拉普拉斯变换，其中n是正整数.解：Ltn(s)=0ednsttt用分部积分法，得11000edeedednnststnstnsttnnttttttsss 所以有 Ltn=Ltn-1.当n=1时 Lt(s)=21s当n=2时，有 Lt2(s)=32sLtn(s)=1!nns定理8.1若函数f(t)满足下列条件：(1)在t0的任意有限区间上分段连续；(2)存在常数M0与00，使得
3、即当t时，函数f(t)的增长速度不超过某一个指数函数，0称为函数f(t)的增长指数.则函数f(t)的拉普拉斯变换在半平面Re(s)0上存在，右端的积分在闭区域Re(s)0 上绝对收敛且一致收敛，并且在半平面Re(s)0 内，F(s)为解析函数.0()e,0tf tMt0()()edstF sf tt证明：设=Re(s),，则由条件(2)有000()()e()eeestttf tf tMM 所以00()eedsttMf tMt00()()edstF sf tt在Re(s)上存在.00d()ed()eddststf tttf tts 右端积分在Re(s)上也是绝对且一致收敛.00()00()ede
4、dtsttf ttM tt 0edtM tt2M积分与微分的次序可以交换，于是有0dd()()edddstF sf ttss0d()eddstf tts0()()edstt f tt由拉普拉斯变换的定义，得()L()()()F st f ts所以，在 上可导.()F s0Re()s由的任意性知,在 上存在，且为解析函数.定理得证.()F s0Re()s例8.4 求正弦函数sinkt的拉普拉斯变换，其中k为实数.解：当 时，有 Re()0s 0sin()sinedstktskttL220e(sincos)stsktkktsk 22ksk余弦函数coskt的拉普拉斯变换22cos()sktsskL
5、Re()0s 例8.5 求周期为2a的函数的拉普拉斯变换.,0;()2,2,ttaf tatata 解：由拉普拉斯变换的定义，有 0()()edstfsf ttL2(1)2460242()e()ed()ed()edkaaaaststststaakaf tdtf ttf ttf tt2(1)02()edkastkkaf tt 令 ，则有2tuka2(1)2(2)20()ed(2)edkaasts ukakaf ttf ukau220e()edakassuf uu根据函数的定义，有22000()eded(2)edaaasususuf uuuufauu221(1 e)ass所以，2200()()ed
6、akassukfsef uuL2200()edeasukaskf uu记 .当 时，有Re()s022ee1asa因此有2201e1 ekasask故有2201()()()ed1 easuasfsf usL22211(1 e)1 easass221(1e)(1e)(1e)asasass21 1 e1 easass21tanh2ass单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换 0()()eststdtL例8.6 求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换.解：0()()edstfsttL()edsttt0e1stt8.2 拉普拉斯变换的性质定理8.2 对函数的拉普拉斯变换有下列性质成立.(1)（线性性质）设，为常
7、数，记 ，则有 或有(2)（延迟性质）若 ，则对 ，有 或有(3)（位移性质）记 .对常数s0，若 ，则有()()F sfsL()()G sgsL()()()fgsF sG sL1()()()fgtF tG tL()()fsF sL00t 00()()e()stf ttsF sL010e()()stFtf ttL()()fsF sL00Re()ss00e()()s tfsF ssL证明：性质1说明函数的线性组合的拉普拉斯变换等于各函数的拉普拉斯变换的线性组合.证明性质2 当t0时，上式左端第二个积分的极限为零，即1lim()e d02iRstRF ss故有i1i1()e dRe()e2ikns
8、tsts skF sssF s 例8.18 求函数 的拉普拉斯逆变换.1)(2sssF解：函数F(s)有两个单极点 和 is is i2i21Rese,ie121Rese,ie12sttsttssssss 所以，当t0时，有ii1()(ee)cos2ttf tt例8.20 求函数 的拉普拉斯逆变换.22()45sF sss解：由拉普拉斯逆变换公式，有112222()()().45(2)1ssf tttsssLL由拉普拉斯变换的位移性质，有00e()(),s tfsF ssL所以0110()()e()(),s tF sstF stLL因此121222()e().(2)11tssttssLL*8.
9、4 拉普拉斯变换的应用例8.22 求初值问题 在区间 上的解.()()sindf tf ttt(0)0,f0,解：记 .在第一式两边取拉普拉斯变换，得()()fsF sL22()()sF sF ss解代数方程，有22221(),1(1)()F sssss312(),1iiF ssss其中 123222ii,12(1)2(1)求拉普拉斯逆变换，得2()(esincos).1tf ttt应用拉普拉斯变换求常系数线性微分方程问题的主要步骤有：1.对方程两边取拉普拉斯变换，利用初值条件得到关于像函数F(s)的代数方程；2.求解关于F(s)的代数方程，得到F(s)的表达式；3.对F(s)的表达式取拉普拉
10、斯逆变换，求出f(t)，得微分方程的解.例8.23 求方程组满足初始条件 的解.2,22tyxxyeyxyxt(0)(0)0,(0)(0)0yyxx解：记 .对方程组两边取拉普拉斯变换，并考虑初始条件，则有 ()(),()()ysY sxsX sLL2222212()()()(),112()()2()().s Y ss X ssX sY ssss Y ss X ssY sX ss 将方程组整理化简得222(1)()(),(1)12()(1)().(1)ssY ssX ss ssY ssX sss 解代数方程组，得2221(),(1)21().(1)Y ss ssX sssY(s)的原像函数()1 e(1)ty tt p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will Be写在最后谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
