(电磁场)第一章静电场课件.ppt

1、第第 一一 章章静静 电电 场场第一章 静电场Steady Electric Field基本方程、分界面上的衔接条件边值问题、惟一性问题镜像法和电轴法电容静电场的应用环路定律、高斯定律电场强度和电位序第第 一一 章章静静 电电 场场1.0 序 静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。本章要求 深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、电容、能量、力的各种计算方法。Introduct

2、ion第第 一一 章章静静 电电 场场1.1 电场强度和电位基本概念：1、试体：电场用另一电荷的受力来描述其特性，另一电荷就称为试体。试体应是一个电量很小的点电荷（电荷与体积都尽可能小）2、两类点：均用坐标及矢量表示源点：引起电场的点场点：电场中需要确定场量的点3、距离向量：原点到源点的距离向量原点到场点的距离向量源点到场点的距离向量 点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看成是一个体积很小，总电量不变的带电小球体。第第 一一 章章静静 电电 场场1.1.1 库仑定律(Coulombs Low)212021214RqqeFN(牛顿)1221FF适用条件：库仑定律图1.1.1 两点电荷间的作用力

3、两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;真空中的介电常数120108.85F/m第第 一一 章章静静 电电 场场推论：多个点电荷对q0的作用力：连续分布电荷对q0的作用力，dq看作点电荷：0120001200310004.4)(.4knkkkknkkkkkknkRRqqRRqqrrrrqqfdqrrrrqf dfV300004库仑定律说明：在电荷的周围存在电场。第第 一一 章章静静 电电 场场1.1.2 电场强度 (Electric Intensity)tqqzyxzyxt),(),(lim0FEV/m (N/C)定义：电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力F（a）单个点电荷产生的电场强度

4、RtpRqqReFE204)(V/m4)(20rrrrrrrEqp)(430rrrrq图1.1.2 点电荷的电场一般表达式为第第 一一 章章静静 电电 场场（b)n个点电荷产生的电场强度(矢量叠加原理)（c)连续分布电荷产生的电场强度（根据物质结构理论，电荷的分布实际上是不连续的，但当考察电的宏观现象时，可以把电荷的离散分布近似的用它的连续分布代替而得到令人满意的结果）kNkkkRqerE12041)(图1.1.3 矢量叠加原理Nkkkkq130)(41rrrr第第 一一 章章静静 电电 场场RRqeE204dd图1.1.4 体电荷的电场元电荷产生的电场SdldVqdd，体电荷体电荷，面电荷面

5、电荷，线电荷线电荷第第 一一 章章静静 电电 场场RSRSeE20d41RlRleE20d 41线电荷分布lqdd体电荷分布VqddSqdd面电荷分布RVRVeE20d41第第 一一 章章静静 电电 场场 例1-1 真空中有无限长均匀带电直导线，电荷线密度为 ,试求P 点的电场。例1-2 求电荷面密度为 ，半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。第第 一一 章章静静 电电 场场矢量恒等式FFFCCC)(1)(1333rrrrrrrrrrrr0)(3)(133rrrrrrrrrr故0)(rE静电场是无旋场1.静电场的旋度1.1.3 旋度和环路定律(Curl and Circuital Law)3

6、04)(rrrrrEq点电荷电场304)(rrrrrEq取旋度0第第 一一 章章静静 电电 场场2.静电场的环路定律电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。由Stokes定理，静电场在任一闭合环路的环量slSElEd)(d0说明l0dlE即第第 一一 章章静静 电电 场场1.1.4 电位（无限大真空）（无限大真空）)(tPQtPQPQqAqAUQQtPQPPQPtPtQQPqE dAUE dqUdqE一、电压的定义：P，Q两点之间电压为从从P点到点到Q点点移动单位正电荷电场力正电荷电场力所作的功。（注意：起点与终点的方起点与终点的方向顺序向顺序，也即：为积分顺序为积分顺序。）PQU1、

7、的计算：（由电场力作功公式推出），电压单位为：伏特（V）第第 一一 章章静静 电电 场场即：P.Q两点间的电压只与P，Q两点的位置有关，与路径无关。推论：,可见功与能量守恒，即：静电场为守静电场为守恒场恒场。2、电压与路径的关系：以点电荷q为例，而任意分布的电荷可看成点电荷dq的叠加，因而结果具有普遍性。0E d二、电位：在整个电场选定唯一且固定的一个点Q作为参考点，空间任一点P与参考点之间的电压定义为P点的电位。1、参考点选择：理论上：无穷远处为参考点，未注明以后参考点均指无穷远。实际工程中：大地为为参考点。第第 一一 章章静静 电电 场场2、电位计算：单个点电荷q：q 放在坐标原点：rqd

8、rrqdEQPPP020440044PqqRrrq 放在任意位置：多个点电荷：先求点电荷的电位再求和求和。nkkknkkkPrrqRq101044第第 一一 章章静静 电电 场场连续分布：dqdq为点电荷，先求点电荷的电位再积分（也积分（也可看作求和）可看作求和）。00004444dVrrdSrrdrrrrdqVSP第第 一一 章章静静 电电 场场 负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。在直角坐标系中1.E 与 的微分关系,0E矢量恒等式0由zyxezeyexE根据E与 的微分关系，试问静电场中的某一点()()00E?00E?E所以二、电位与电场强度的关系第第 一一 章章静静 电电 场场2

9、.已知电荷求电位144)(030rrrrrrrEqqCqNiii1041)(rrr点电荷群CdqV041)(rrr连续分布电荷以点电荷为例)(40rrrqCq4)(0rrrlSVqd ,d ,d d式中相应的积分原域。,lSV第第 一一 章章静静 电电 场场3.与 E 的积分关系图1.1.6 E 与 的积分关系线积分00ddPPPPllE式中)ddd()(dzyxzyxzyxzyxeeeeeelddddzzyyxx设P0为电位参考点，即 ，则P点电位为00P0dPPPlE000ddPPPPPPlE所以第第 一一 章章静静 电电 场场4.电位参考点例如：点电荷产生的电位：Crq0400rC0rr

10、q040C点电荷所在处不能作为参考点0RrRqrq0044RqC04场中任意两点之间的电位差与参考点无关。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。第第 一一 章章静静 电电 场场电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。第第 一一 章章静静 电电 场场5)电力线与等位线（面）0d lEE 线微分方程zEyExEzyxddd直角坐标系当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线(面)。Czyx),(等位线(面)方程曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E 的方向。电位相等的点连成的曲面称为等位面。1

11、.1.7 电力线方程第第 一一 章章静静 电电 场场电力线与等位线（面）的性质：图1.1.10 点电荷与接地导体的电场图1.1.11 点电荷与不接地导体的电场E 线不能相交,等 线不能相交；E 线起始于正电荷，终止于负电荷;等位等位线愈密处，场强愈大;E 线与等位线（面）正交；第第 一一 章章静静 电电 场场4)(20rrrrrrrEqp)(430rrrrqSdldVqdd，体电荷体电荷，面电荷面电荷，线电荷线电荷Cq4)(0rrrE0dPPPlE第第 一一 章章静静 电电 场场例1-3 真空中xy平面上一半径为a的圆形线电荷（线电荷密度为 ）。试确定轴线上离圆心z处的 P点的电位及场强。例1

12、-4 求面电荷密度为 ，半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电位和电场强度。例1-5 正六 边椎体底面六个定点各有点电荷q，底边的边长为a，棱长与底面正六边形的对角线相等，求椎体顶点的电场强度。第第 一一 章章静静 电电 场场 1.2 高斯通量定理高斯通量定理前面讨论了E 的环路线积分:静电场为守恒场DE,本节讨论 的闭合面积分:高斯通量定理第第 一一 章章静静 电电 场场SqSdE010nkkSqE dSSqSdE01.2.1 真空中的高斯通量定理：1、点电荷：任意闭合面结果相同2、多个点电荷：（q为闭合面S内所有电荷)3、连续分布：0VSdqE dS第第 一一 章章静静 电电 场场1.2.2.电

13、介质中的高斯定律一.静电场中导体导体内电场强度 E 为零，静电平衡；导体是等位体，导体表面为等位面；导体表面的电场强度垂直于导体表面；接地导体都不带电。（）一导体的电位为零，则该导体不带电。（）任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（）导体：内部有大量自由电子，静电平衡条件下没有自由电子的运动导体如带电，则电荷分布在导体表面。第第 一一 章章静静 电电 场场二.静电场中的电介质电介质：存在束缚电荷，束缚电荷形成电偶极子1、特点：电介质对电场的影响可看成极化电荷在真空中所产生的效应；电介质不处在电场中，呈电中性；处于电场中，会呈现+、-极性，也即：极化效应。2、概念：电偶极子:电偶极子

14、电偶极子：相距近近、符号反反、电量等等的两个电荷（相对于观察者）。电偶极矩电偶极矩(注意：小写):dqpp:第第 一一 章章静静 电电 场场 媒质术语：本书讨论各向同性，线性煤质。均匀媒质均匀媒质：媒质的特性不因空间坐标而变化；各向同性媒质各向同性媒质：媒质的特性不因场量的方向而变化；线性媒质线性媒质：媒质的特性不因场量的量值而变化。电介质的分子类型：非极性分子非极性分子：分子的正、负电荷的作用中心重合。极性分子极性分子：分子的正、负电荷的作用中心不重合，因而形成电偶极子。第第 一一 章章静静 电电 场场无极性分子有极性分子图1.2.3 电介质的极化电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；

15、电介质内部和表面产生极化电荷；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。E E第第 一一 章章静静 电电 场场 极化强度P(polarization intensity)表示电介质的极化程度，即VVpPlim0C/m2电偶极矩体密度 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中EP0e 电介质的极化率e 各向同性媒质 媒质特性不随电场的方向改变,反之，称为各向异性媒质；线性媒质 媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；均匀媒质 媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为非均匀媒质。第第 一一 章章静静 电电 场场Pp极化电荷体密度neP p极化电荷面密度三.极化强度与极化电荷的关系记忆体密度和面

16、密度公式：第第 一一 章章静静 电电 场场 极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子产生的电位2020414cosRRqdRep体积 V 内电偶极子产生的电位d)()(4130VPVrrrrr图1.2.4 电偶极子产生的电位第第 一一 章章静静 电电 场场d)(4120VRVRerPRRRR112ed1)(410VRVrPd)(41d)(4100VRVRVVrPrP矢量恒等式：uuuFFF)(图1.2.5 体积 V 内电偶极矩产生的电位第第 一一 章章静静 电电 场场d)(41d)(41 n00SRVRSVerPrP令Pp极化电荷体密度neP p极化电荷面密度d)(41d)(41)(00S

17、RVRSpVprrrd)(41d)(41 00VRVRVVrPrP第第 一一 章章静静 电电 场场电介质的强度（或：击穿场强）：某种材料能承受最大能承受最大场强而不至于击穿场强而不至于击穿的这个场强为其电介质的强度，电力产品的性能处决于其绝缘材料的电介质强度。常见绝缘材料的电介质强度。材料空气云母橡胶玻璃电介质强度（伏/米）6109610361040610100第第 一一 章章静静 电电 场场330d)(d)(41)(VSpfpfSVrrrrrrrrrE0ddnVSSVePP0d)()(41)(VSpfpfSdVrrrrr思考根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零。0p电介质均匀极化时，极化电荷

18、体密度 有电介质时，场量为第第 一一 章章静静 电电 场场四.电介质中的高斯定律fff)(000p0PEPE定义PED0 电位移矢量，又叫电通量密度所以 D高斯定律的微分形式取体积分VVVVddD有SqSD d高斯定律的积分形式第第 一一 章章静静 电电 场场在各向同性介质中ED介电常数 F/mr0其中 相对介电常数，无量纲量。er1EEEEPED0000re构成方程第第 一一 章章静静 电电 场场例1.2.1 平板电容器中有一块介质,画出D、E 和 P 线分布。图1.2.6 D、E 与 P 三者之间的关系D线E线P线D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E 线由正电荷出发，终止于负电

19、荷；P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。第第 一一 章章静静 电电 场场 D高斯定律的微分形式SqSD d高斯定律的积分形式EEDr0第第 一一 章章静静 电电 场场 在静电场中（不问在真空还是介质中，也不问在静电场中（不问在真空还是介质中，也不问介质均匀与否），由任意闭合面穿出的介质均匀与否），由任意闭合面穿出的D D通量的面通量的面积分等于该面内积分等于该面内自由电荷自由电荷的代数和。这就是高斯通的代数和。这就是高斯通量定理的内容。量定理的内容。五.高斯定律的文字表述第第 一一 章章静静 电电 场场计算技巧：a）分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律 求解。b）选择适当的闭合面作

20、为高斯面，使 中的 D 可作为常数提出积分号外。SSD d 高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。六.高斯定律的应用第第 一一 章章静静 电电 场场 例1-6 试求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。解:分析场分布,取圆柱坐标系,dqSSD由reDr2reDEr2001ddSSSDSDLLLDr2得图1.2.8 无限长均匀带电体第第 一一 章章静静 电电 场场球壳内的电场qrDS24dSDrrqeD24球壳外的电场qrDS24dSDrrqeD24例1-7 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？图1.2.10 q分别在金属球内外图1.2.9 q在金属球壳内第第 一一 章章静

21、静 电电 场场 例1-8 真空中有两个金属球，外球壳带电 内球壳带电 ，求2q1q1）内球壳外表面，外球壳 内、外表面的带电量；2）场中各处的电场强度及电位。比较场强叠加原理和高斯定律两种解法，用高斯定律比较简单，因此，能用高斯定律时，尽量不用其他方法。用高斯定律求场强分布，关键是对称性分析。它只是在电场 的对称性已做出分析的基础上可以求出场强的大小，而E的方向是在分析场分布的空间对称时就已经得出的。第第 一一 章章静静 电电 场场 试求半径为a，电荷面密度为 的均匀带电球面的电场。试求半径为a，电荷体密度为 的均匀带电球体的电场。第第 一一 章章静静 电电 场场 例1-9 一长直圆柱电容器，

22、其长度L远大于截面半径。已知内外导体的半径为 ,中间介质的介电常数为 ，求 21RR和介质中的电场强度与两导体电压之间的关系。第第 一一 章章静静 电电 场场 例1-10 三个半径分别为 ,带电量分别为 ，求）（，321321RRRRRR1）各球壳的电位321,qqq2）当外球壳接地，其他球壳不接地时，其他球壳的电位3）当内球壳接地，其他球壳不接地时，其他球壳的电位第第 一一 章章静静 电电 场场 试求半径为a，电荷面密度为 的均匀带电球面的电场。试求半径为a，电荷体密度为 的均匀带电球体的电场。第第 一一 章章静静 电电 场场1.3 基本方程、分界面上的衔接条件1.3.1 基本方程(Basi

23、c Equation)静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。Basic Equation and Boundary Condition静电场的基本方程为0 E D微分形式0d llEqSSDd积分形式构成方程ED第第 一一 章章静静 电电 场场zyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(0矢量 A 可以表示一个静电场。例1.3.1 已知 试判断它能否表示静电场？，zyxzyxeeeA543解:根据静电场的旋度恒等于零的性质,第第 一一 章章静静 电电 场场包围点 P 作高斯面()。0L1.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Cond

24、ition)1.D 的衔接条件SSDSDn2n1则有qSSDd根据图1.3.1 介质分界面n1n2DDD 的法向分量不连续当 时，D 的法向分量连续。0n2n1DD是分界面上的自由电荷面密度是分界面上的自由电荷面密度第第 一一 章章静静 电电 场场2.E 的衔接条件围绕点 P 作一矩形回路()。02LttEE12 E 的切向分量连续。0dllE根据01t21t1lElE则有3.折射定理当交界面上 时，02121tantan折射定律 n2n1DD t 2t 1EE 222111coscosEE2211sinsinEE图1.3.2 介质分界面第第 一一 章章静静 电电 场场0dlim0021ddl

25、E3、的衔接条件设 P1 与 P2 位于分界面两侧，0dnEDnED22n22n211n11n1,21因此电位连续nn2211得电位的法向导数不连续由 ，其中n1n2DD图1.3.3 电位的衔接条件第第 一一 章章静静 电电 场场用 表示边界条件：电位连续，电位的法向分量约束。分界面电位连续：（能量连续）12电位法向分量约束。nn2211金属与介质分界面：即：导体（第一种介质）与电介质（第二种介质）分界面的边界条件：1222n 第第 一一 章章静静 电电 场场小结：分界面的边界条件：（没有特别说明情况下，认为介质分界面无面电荷 ）1、边界条件：由积分形式基本方程推导出，切线分量：，法线分量：折

26、射定律：ttEE21nnDD122121tgtg折射定律适应于无自由电荷分布的两种电介质分界面。第第 一一 章章静静 电电 场场说明（1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；图1.3.4 导体与电介质分界面例例1.3.2 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。解:分界面衔接条件t2t 1n1n2 EEDD，nn221121 ，n0 ,const0 tnED，导体中 E0，分界面介质侧（2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。第第 一一 章章静静 电电 场场解：忽略边缘效应1221021ddUE1221012ddUE1121EE22110SSq图(a)

27、图(b)02211qSS2211 例例1.3.3 试求两个平行板电容器的电场强度。试求两个平行板电容器的电场强度。2211EE02211UdEdE图1.3.5 平行板电容器第第 一一 章章静静 电电 场场1.4 边值问题、惟一性定理1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation)2泊松方程E0EEEE2222222zyx2拉普拉斯算子 DBoundary Value Problem and Uniqueness Theorem02拉普拉斯方程当=0时第第 一一 章章静静 电电 场场1.4.2 边值问题（Boundary Pr

28、oblem)边值问题微分方程边界条件初始条件场域边界条件(待讲）分界面衔 接条件 强制边界条件 有限值lim0r自然边界条件 有限值rrlim泊松方程/2拉普拉斯方程0221nn2211第第 一一 章章静静 电电 场场场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的电位)(|1sfs已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或电力线)，求导体电位及场中电位的分布；)(2sfnS)()3sfnS（下 页上 页返 回求电场中电位 的分布混合边值问题：已知一些导体的

29、电位 和另一些导体的表面电荷分布密度 ，求整个电场分布。第第 一一 章章静静 电电 场场2、泊松方程与拉普拉斯方程的应用条件：各向同性、线性、均匀介质。3、泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题：第一类边值问题，又名：第里赫列问题已知导体电位，求电场中电位的分布；第二类边值问题，又名：聂以曼问题已知导体表面电荷分布密度 ，求导体电位 及场中电位 的分布；混合边值问题：已知一些导体的电位 和另一些导体的表面电荷分布密度 ，求整个电场分布。二、唯一性定理：只要满足给定的边值，则泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的（证明从略）有兴趣的同学自己看，参考矢量分析与场论。第第 一一 章章静静 电电 场场有限差分法

30、有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法边值问题第第 一一 章章静静 电电 场场例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。解：解：根据场分布的对称性根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题确定计算场域，边值问题022222yx（阴影区域）（阴影区域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx0),0(aybxx0),0(axbyy图1.4.1 缆心为正方形的同轴电缆第第 一一 章章静静 电电 场场0)dd(dd122222rrrr)(ra通解43221021)(16)(CrCrCrCrr

31、例1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。解：采用球坐标系,分区域建立方程边界条件arar21ararrr2010有限值01 r参考电位02r012212)dd(dd1rrrr)(ar图1.4.2 体电荷分布的球体 222222sin1sinsin11urrrurrr22第第 一一 章章静静 电电 场场电场强度（球坐标梯度公式）：11)(rErararrreerE2022223)(得到rarararrar03222013)(0)3(6)(图1.4.3 随r变化曲线E，errrsin11eerarrrrr0301ee第第 一一 章章静静 电电 场场1.4.3 惟一性定理（Uniqueness T

32、heorem)也即：只要满足给定的边值，则泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的（证明从略）有兴趣的同学自己看，参考矢量分析与场论。惟一性定理惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。分方程的解是惟一的。第第 一一 章章静静 电电 场场201.xdU A答案:（C）例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？002.UxdU B003.UxdU C图1.4.4 平板电容器外加电源U0第第 一一 章章静静 电电 场场第第 一一 章章静静 电电 场场第第 一一 章章静静 电电 场场第第 一一 章章静静 电电 场场1.7 镜像法与电轴

33、法镜像法和电轴法的理论依据都是静电场的唯一性定理。镜像法和电轴法的理论依据都是静电场的唯一性定理。因此熟练地确定点电荷与接地导体（电介质）平面问题因此熟练地确定点电荷与接地导体（电介质）平面问题的镜像电荷的大小和位置、点电荷与接地导体球问题的的镜像电荷的大小和位置、点电荷与接地导体球问题的镜像电荷的大小和位置，两平行圆柱导体问题的电轴的镜像电荷的大小和位置，两平行圆柱导体问题的电轴的位置和电量的大小都是本章的重点。掌握镜像电荷的求位置和电量的大小都是本章的重点。掌握镜像电荷的求法及镜像法的有效区域是本节的难点。法及镜像法的有效区域是本节的难点。第第 一一 章章静静 电电 场场镜像法处理问题的特

34、点在于不直接去求解电位所满足的镜像法处理问题的特点在于不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提下，用假象的简单电荷分布（镜像电荷）来等效的前提下，用假象的简单电荷分布（镜像电荷）来等效地取代导体面（或电介质分界面）上复杂的感应（极化）地取代导体面（或电介质分界面）上复杂的感应（极化）电荷对电位的贡献电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。，从而使问题的求解过程大为简化。1.7.1 镜像法镜象法镜象法分区均匀媒质看作均匀媒质分区均匀媒质看作均匀媒质用简单的虚设电用简单的虚设电荷代替实际复杂的边界分布电荷

35、荷代替实际复杂的边界分布电荷,只要边界条件相同，就只要边界条件相同，就可用虚拟电荷计算待研究区域的电场。可用虚拟电荷计算待研究区域的电场。第第 一一 章章静静 电电 场场一.无限大导电平板的镜象法：（第一类边值问题）图1.7.1 平面导体的镜像 方程相同，边界条件相同，解惟一。空气中除点电荷外0导板qSSD d，02a02上半场域除点电荷外b04400rqrqqSSD d平板撤去，+q的镜象位置放一个-q的点电荷，整个空间充满的 介质，上半空间也可满足上述方程和上述边界条件。第第 一一 章章静静 电电 场场地面上感应电荷的总量为（方向指向地面）EEE204cos2rqE2/3220)(2xhq

36、h2/3220)(2xhqhEDnpxxxhqhSSpd2)(2d02/322q例 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。解：设点电荷 q 镜像后图1.7.2 地面电荷分布第第 一一 章章静静 电电 场场（一般了解）推广：改为60的夹角，如下图：则有：个镜象电荷。132323606000n23600思考题：（n为整数），镜象电荷的个数为多少个？答案为：2n-1个。060q-qq-qq-q第第 一一 章章静静 电电 场场10:12二、两种介质中的镜象法：1、方程：介质 中 （除点电荷所在点外）20:22介质 中 2、边界条件：nnttDDEE21213、处理方法：中的电场计算：空间充满

37、 的介质，利用 及 计算；中的电场计算：空间充满 的介质，利用 计算。2211qq q第第 一一 章章静静 电电 场场代入边界条件则有：22212112121112122222212sinsinsin444coscoscos4244ttnnqqqqqqEErrrDDqqqqqqrqqqrrq4、推广：,q第第 一一 章章静静 电电 场场图1.7.10 电场分布图试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置。思考题：中的电场由 q 与 q 共同产生，q等效替代极化电荷的影响。1 中的电场由 q”决定，q”等效替代自由电荷与极化电荷的作用。2图1.7.11 点电荷 q1 与 q2 分别置于 与 区域中12

38、思考提示第第 一一 章章静静 电电 场场二.球面导体的镜像1、点电荷位于接地导体球外的边值问题（除q点外的空间)002球面r0442010rqrqpcos2cos222222221RbRbrRdRdr设镜像电荷 如图，球面电位 q图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场0cos)(2)()(22222222bqdqRRdqRbq将 r1,r2 代入方程 ，得012rqrq00)()(22222222bqdqRdqRbq联立求解得到qdRqdbqdRb2镜像电荷位置镜像电荷大小第第 一一 章章静静 电电 场场球外任一点 P 的电位与电场为201044rqrqp212

39、2021044rrPrdqRrqeeE图1.7.5 球外的电场分布镜像电荷放在当前求解的场域外。镜像电荷等于负的感应电荷总量。图1.7.4 球外的电场计算第第 一一 章章静静 电电 场场2、不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。则dRbqdRq2 ,)dd1(421222120rrrrRrRrqeeeE任一点场强解：边值问题0d const02SSSD（除q点外的空间)通量为零（大小相等）-,qq球面等位（位于球心）q思路图1.7.6 不接地金属球的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场 用镜像法求解下列问题，试确定镜像电荷的个数，大小与位置。图1.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图任一

40、点电位)dd1(4210rRrRrqdq04球面电位思考图1.7.8 点电荷对导体球面的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场例 1-11 参阅附图，求（1）点电荷所受之力（2）区域2中，镜像电荷所在处的电场强度及电位（3）点电荷与边界距离一半处的电位第第 一一 章章静静 电电 场场例 1-12 两种理想介质的交界面为极大的平面，介质1中有点电荷+q，试求介质2中P(0,-h,0)点的电位。第第 一一 章章静静 电电 场场例1-13 有半径为a的接地导体球，在球的附近有一点电荷q，若电荷到球心的距离为d，（1）计算球到任意点P处的电位（2）计算球上感应电荷面密度（3）计算球上感应电荷的总量（4）

41、计算球受到的库仑力（5）如果导体不接地，则P的电位应如何计算，数值是多少？第第 一一 章章静静 电电 场场例1-14 如图所示 ，放入介质 中，求 所受力的作用。21,qq21,21,qq第第 一一 章章静静 电电 场场例1-15 一个半径为R的导体球上带有电量为Q的电荷，在距球心d（）处有一点电荷，求Rd（1）空间电位分布（2）导体球对点电荷q的力。第第 一一 章章静静 电电 场场如何求解，很长的平行带电圆柱导体的电场。1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）电轴法是用两根假想的带等量异号电荷的无限长直线（电轴）来代替两个带电柱形导体，这样就把求解电荷分布不均匀的带电圆

42、柱产生的电场问题，变成了求解两电轴在所考虑区域内产生的电场问题。如果代替以后，仍然保持圆柱体上的边界条件不变，根据唯一性定理，用线电荷算出的周围空间的电位就是两圆柱体周围空间的电位。这个方法的关键是寻找两根线电荷（即电轴）的位置。第第 一一 章章静静 电电 场场(导线以外的空间)02constB导体S电荷分布不均,dSDS电荷分布不均匀,dSDconstA导体能否用高斯定律求解？思考边值问题1.7.12 长直平行双传输线第第 一一 章章静静 电电 场场11001ln2d21CQCP12021ln22202ln2C图1.7.13 两根带电细导线一、两根平行的无限长的线电荷的电场：在P点产生的电位

43、在P点产生的电位在P点的总电位第第 一一 章章静静 电电 场场以 y 轴为参考电位，可令C=0，则P点的电位22220120)()(ln2ln2ybxybxP令：C，等位线方程P22222)()(Kybxybx图1.7.13 两根带电细导线第第 一一 章章静静 电电 场场K 取不同值时，得到一族偏心圆。a、h、b满足关系22ba 222222)12()11(KbKybKKx整理后，等位线方程0,h圆心坐标圆半径122KbKa)(222bhbhbha图1.7.14 两根细导线的等位线bKKh1122222)12(bKbK222)11(bKK2h第第 一一 章章静静 电电 场场xyEExydd4)

44、2(212212KbKyx 根据 ，得到 Ex 和 Ey 分量E图1.7.15 两细导线的场图E 线方程思考 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？第第 一一 章章静静 电电 场场二.电轴法平行带电长圆柱形导体的电场1、等效电轴：带电细导线理解为圆柱形导体的作用中心线，故称为等效电轴。2、电轴法：求解两带电的平行圆柱形导体的电场，只需确定它们的等效电轴的位置即可，这种求解方法称为电轴法。第第 一一 章章静静 电电 场场)11(221021eeEP(以 y 轴为参考电位)例1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。b)圆柱导线间的电场与电位 解：a)取圆柱坐标系

45、120ln2p22ahb电轴位置图1.7.16 平行传输线电场的计算第第 一一 章章静静 电电 场场例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。212222221212hhdahbahb图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置21,hhb确定解：第第 一一 章章静静 电电 场场1）参考电位的位置；2）有效区域。21122222222121,hhbdhhbahbah解：确定例1.7.5 试确定图示偏心电缆的电轴位置。注意：图1.7.18 偏心电缆电轴位置第第 一一 章章静静 电电 场场例1.7.6 已知平行传输线之间电压为U0,试求电位分布。22)2(adb)()(ln)()(ln2

46、00ahbahbahbahbUhdahb2222解：确定电轴的位置120ln2120ln)()(ln2ahbahbU所以设电轴线电荷 ，任一点电位图1.7.19 电压为U0的传输线 第第 一一 章章静静 电电 场场镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的理论基础是：镜像法（电轴法）的实质是：镜像法（电轴法）的关键是：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区 域。叠加时，要注意场的适用区域。用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场惟一性定理；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；应用镜像法（电轴法）解题时，注意：第第 一一 章章静静 电电 场场1.8 电容

47、UQC 定义：pFF,F,单位：电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。工程上的电容器：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。电容的计算思路：UQCUQl d lEE设第第 一一 章章静静 电电 场场QC 一、单个导体的电容：孤立导体与无限远处另一导体间一、单个导体的电容：孤立导体与无限远处另一导体间的电容的电容例例1：半径为：半径为R的球形导体的电容计算。的球形导体的电容计算。二、两导体之间的电容：二、两导体之间的电容：UQC 例例2：两无限长，半径为：两无限长，半径为a的圆柱形导线，单位长度的电的圆柱形导线，单位长度的电容的计算。容的计算。0yxbbhah第第 一一 章章静静

48、电电 场场解：设内导体的电荷为 q，则qSdSDrrrqrqeEeD2024,4)11(4d0baqUbarE同心球壳间的电压ababUqC04球形电容器的电容aC04当 时b（孤立导体球的电容）例1.8.1 试求同心球壳电容器的电容。图1.8.1 同心球壳电容器第第 一一 章章静静 电电 场场（1）电位分布（2）单位长度上导线之间的电容例1.8.2 半径为a1,a2的两平行导体圆柱的轴间距离为d，设它们单位长度上所带的电量分别为 ，求第第 一一 章章静静 电电 场场 掌握：1 利用电场强度和电位的定义计算电场 2 利用电场强度和电位的关系计算电场 3 根据泊松方程和拉普拉斯方程计算电场 4

49、根据高斯通量定理计算对称的电场 5 利用唯一性定理及其方法电轴法、镜像法计算电场 6 静电场的基本方程，两种媒质的分界条件 7 静电场中的导体与电介质的特点 8 电容的计算 难点：1、电位参考点的选择2、镜象法3、电轴法第第 一一 章章静静 电电 场场作业：1-21-61-121-161-19第第 一一 章章静静 电电 场场对称场源高斯面的选取 球、轴、面对称场源的高斯面 球对称分布：如均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。轴对称分布：如无限长均匀带电的细线，圆柱体，圆柱壳等。无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平板有厚度的带电平板等。返 回第第 一一 章章静静 电电 场场4)(20rrrrrr

50、rEqp)(430rrrrqSdldVqdd，体电荷体电荷，面电荷面电荷，线电荷线电荷Cq4)(0rrrE0dPPPlE求解电场：直接法和间接法第第 一一 章章静静 电电 场场 D高斯定律的微分形式SqSD d高斯定律的积分形式ED构成方程或辅助方程或场量的关系方程第第 一一 章章静静 电电 场场静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。静电场的基本方程为0 E D微分形式0d llEqSSDd积分形式构成方程ED第第 一一 章章静静 电电 场场惟一性定理惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。位微分方程的解是惟一的。2泊松方程E0E