1、October,2004Infinitesimal and Infinity1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大October,2004一、无穷小一、无穷小 (Infinitesimal)lim()f xA()(0)f xA lim()0f xAim0(l)f xA 即，每一个有极限的函数即，每一个有极限的函数 f(x)都与一个趋于都与一个趋于 0 的的函数函数 f(x)-A 联系着。联系着。因此，因此，以以 0 为极限的函数为极限的函数在极限理论和极限的计在极限理论和极限的计算中扮演着特殊而重要的角色。算中扮演着特殊而重要的角色。(lim0)x()()xf xAOctober,2004定义定
2、义 1无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0为极限的函数（或变量）。为极限的函数（或变量）。0lim()0 xxf x若0()f xxx则是 时的无穷小lim()0 xf x若()f xx 则是 时的无穷小无穷小一般用希腊字母无穷小一般用希腊字母,等表示等表示October,20040lim()0 xxx0()xxx是 时的无穷小00,0:0()xxxx无穷小的无穷小的-定义定义October,2004无穷小的例子无穷小的例子2(1)x(1)x 下列函数何时为无穷小？下列函数何时为无穷小？21lim(1)0 xx1x()x 1lim0 xxxe()x
3、lim0 xxexyeOctober,2004下列函数何时为无穷小下列函数何时为无穷小？12x(0)x0 x1x10lim 20 xx学习指导学习指导p.2112xy with(plots):A:=plot(2(1/x),x=-5.-0.1,y=-0.3.2,scaling=constrained,color=red,thickness=3):B:=plot(2(1/x),x=0.01.5,y=-0.3.10,scaling=constrained,color=red,thickness=3):display(B,A);October,2004下列函数何时为无穷小？下列函数何时为无穷小？210
4、1nn()n210lim01nnnOctober,2004注意：注意：(1)任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小，如是无穷小，如 0.01,0.0000023。(2)0 是唯一的无穷小常数。是唯一的无穷小常数。(3)无穷小必须与自变量的变化过程联系起来，无穷小必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷小。不能孤立地说一个变量是无穷小。详见详见学习指导学习指导p.15,问问1.15如如2(1)x(1)x 是无穷小是无穷小但但2(1)x(0)x 不是无穷小不是无穷小October,2004定理定理 1（函数极限与无穷小的关系）（函数极
5、限与无穷小的关系）lim()f xA()f xAx(lim0)x证证 以极限以极限 为例。为例。0lim()xxf xAOctober,20040lim()xxf xA0,(0,)0:0 xxxf xA00,),:0(0 xxxx()()xf xA0(im0)lxxx()()xf xA是无穷小是无穷小()()f xAx(x)是无穷小是无穷小October,2004此定理表明：在自变量的某个变化过程中，此定理表明：在自变量的某个变化过程中，lim()f xA若()f xA则无穷小()f xA若无穷小lim()f xA则这就是讨论无穷小的意义之一。这就是讨论无穷小的意义之一。(见学习指导p.16,
6、问1.16:讨论无穷小有什么意义？)lim()f xA()f xAx(lim0)x定理定理 1（函数极限与无穷小的关系）（函数极限与无穷小的关系）October,2004二、无穷大二、无穷大 (Infinity)例例 考察当考察当 x0 时，时，1/x 的变化趋势。的变化趋势。1x当当 x0 时，时，可以大于任何正数可以大于任何正数 M例如例如1100 x要 1100 x 只要 11000 x要 11000 x 只要 October,20040M1Mx要 1xM只要 0M 1M使得，当使得，当00 x时，就有时，就有1Mx称称 1/x 为为 x0 时的无穷大，时的无穷大，记记01limxx O
7、ctober,2004所以所以0lim()xxf x 的刻划需要两个正数：的刻划需要两个正数：M 用来表示函数值用来表示函数值 f(x)的绝对值可以任意大的绝对值可以任意大:|f(x)|M。用来表示当自变量用来表示当自变量 x 与与 x0 的距离充分接近时的距离充分接近时(|x-x0|)，就能保证，就能保证 f(x)的绝对值大于事先的绝对值大于事先任意给定的任意给定的 M。October,2004定义定义 2无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的函数（或变量）。无限增大的函数（或变量）。0lim()xxf x 的定义：的定义：00lim()0
8、,0:0()xxxxf xMxxfM 0M0使得，当使得，当00 xx就有就有()f xMM定义October,2004严格地说，严格地说，0lim()xxf x 表明极限表明极限0lim()xxf x不存在。但为了方便，我们说函数的极限是不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无穷大。无穷大。注意：注意：(1)任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无穷大。穷大。(2)无穷大必须与自变量的变化过程联系起来，无穷大必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷大。不能孤立地说一个变量是无穷大。October,2004例例2 证明：证明：11lim1x
9、xx 分析分析0M11xMx要要1?x只要只要11xx211xM要要只要只要211x211xM得得211Mx211xM所以所以October,2004证明：证明：11lim1xxx 0M11xx211xM要要证证211xM只要只要0M21M使得，当使得，当01x时，就有时，就有11xxM11lim1xxx 所以所以October,200411lim11xxx11xyx1y with(plots):A:=plot(x+1)/(x-1),x=-10.0.95.1,y=-6.7):B:=plot(x+1)/(x-1),x=1.05.10,y=-6.7):C:=plot(1,x=-10.10,y=-6
10、.7,color=blue,linestyle=2):display(A,B,C,scaling=constrained,thickness=3);1x 铅直渐近线铅直渐近线水平渐近线水平渐近线October,20040lim()xxf x Vertical Asymptote若若则则 x=x0 为为 y=f(x)的的铅直渐近线铅直渐近线0 xx0 x()yf xOctober,200400lim()0,0:0()xxxxf xMxxfM 问：如何定义问：如何定义lim()?xf x lim()xf x 以上定义如何修改？0M，0X，:()xXMxfxlim()xf x 的的 M-X 定义定义
11、October,2004问：如何定义问：如何定义lim()?xf x lim()xf x 以上定义如何修改？0M，0X，:()xXMxfxlim()xf x 0M，0X，:()xXMxfx见见 p.41,题题 5October,2004定理定理 2（无穷大与无穷小的关系）（无穷大与无穷小的关系）无穷大与无穷小有倒数关系。无穷大与无穷小有倒数关系。lim()f x 1lim0()f xlim()0f x()0f x 1lim()f x 证明证明（自学）（自学）October,2004例如例如1limln0 xx11limlnxx 0lim lnxx 01lim0lnxxlim0 xxe1limxxe()()lnyxxye
