1、1.6三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用例例1 如图如图,某地一天从某地一天从614时的温度变化曲线近时的温度变化曲线近似满足函数似满足函数y=Asin(x+)+b (1)求这一天求这一天614时时的最大温差的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式写出这段曲线的函数解析式.6 10 14y T/xt/h102030O探究一：根据图象建立三角函数关系探究一：根据图象建立三角函数关系解解:(1)最大温差是最大温差是20(2)从从614时的图象是函数时的图象是函数y=Asin(x+)+b的的半个周期的图象半个周期的图象6 10 14y T/xt/h102030O130 10102A 13
2、0 10202b 1214628将将x=6,y=10代入上式代入上式,解得解得34310sin20,6,1484yxx所求出的函数模型只能所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段近似刻画这天某个时段温度变化温度变化,因此应当特别因此应当特别注意自变量的变化范围注意自变量的变化范围所以所以题型总结：题型总结：maxminmaxmin1 1A=f x-f xA=f x-f x2 2 maxminmaxmin1 1b=f x+f xb=f x+f x2 2利利用用求求得得2 2 T T=，利利用用最最低低点点或或最最高高点点在在图图象象上上该该点点的的坐坐标标满满足足函函数数解解析析式式可可求求得得
3、,也可以利用函数的零值点来求也可以利用函数的零值点来求f求函数的方法：(x)=Asin(x+)+b(x)=Asin(x+)+b例例2 画出函数画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期的图象并观察其周期.xy-11O2222y=|sinx|解解周期为周期为验证验证:|sin(x+)|=|-sinx|=|sinx|利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法。显然，函数y=|sinx|与正弦函数有紧密的联系，你能利用这种联系说说它的图象的作法吗？正弦函数正弦函数y=sinx的图象保留的图象保留x轴上方部分，将轴上方部分，将x轴下方部分翻折到轴下方部分翻折到
4、x轴上方，得到轴上方，得到y=|sinx|的图象的图象例例3 3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时为此时太阳直射纬度，太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是关系是 9090|.|.当地夏半年当地夏半年 取正值，冬半年取正值，冬半年 取负值取负值.太阳太阳光光将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型探究二：建立三角函数模型求临界值探究二：建立三角函数模型求临界值 如图，设地球表面某地如图，设地球表面某地纬度值为纬度值为 ，正午太阳，正午太阳高度角为高度角为，此
5、时太阳，此时太阳直射纬度为直射纬度为 ，那么，那么这三个量之间的关系这三个量之间的关系是是 。当地。当地夏半年夏半年取正值，冬半取正值，冬半年年取负值。取负值。90|o太阳光太阳光90|地心地心北半球北半球南半球南半球太阳高度角的定义太阳高度角的定义太阳光太阳光90 90|90|o地心地心太阳光直射南半球太阳光直射南半球分析：分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南，北回归线之间的地带南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知画出图形如下，由画图易知A B CH 如果在北京地区（纬度数约为北纬如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为）的一
6、幢高为H的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离前面的楼房遮挡，两楼的距离应应不小于多少？不小于多少？解：解：如图，如图，A A、B B、C C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为况考虑，此时的太阳直射纬度为-23-232626，依题意两楼的间，依题意两
7、楼的间距应不小于距应不小于MC.MC.根据太阳高度角的定义，有根据太阳高度角的定义，有C=90C=90-|40-|40-(-23-(-2326)|=2626)|=263434所以，所以，2.000tantan26 34HHMCHC 即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距楼高两倍的间距.将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:理解题意理解题意建立三角建立三角函数模型函数模型求解求解还原解答还原解答例例4 4 海水受日月的引力海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象在一定的时候发生涨落的现
8、象叫潮叫潮.一般地一般地,早潮叫潮早潮叫潮,晚潮叫汐晚潮叫汐.在通常情况下在通常情况下,船在船在涨潮时驶进航道涨潮时驶进航道,靠近码头靠近码头;卸货后卸货后,在落潮时返回海洋在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻时刻水深水深/米米时刻时刻水深水深/米米时刻时刻水深水深/米米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0探究三：探究三：根据相关数据进行三角函数拟合根据相关数据进行三角函数拟合(1)(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深
9、与时间的函数关系选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值给出整点时的水深的近似数值(精确到精确到0.001).0.001).(2)(2)一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度(船底与水面的距离船底与水面的距离)为为4 4米米,安全条例规安全条例规定至少要有定至少要有1.51.5米的安全间隙米的安全间隙 (船底与洋底的距离船底与洋底的距离),),该船何时能该船何时能进入港口进入港口?在港口能呆多久在港口能呆多久?(3)(3)若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为4 4米米.安全间隙为安全间隙为1.51.5米米,该船在该船在2:002:00开始开始卸货卸货,吃水
10、深度以每小时吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少米的速度减少,那么该船在什么时间那么该船在什么时间必须停止卸货必须停止卸货,将船驶向较深的水域将船驶向较深的水域?课件演示3 6 9 12 15 18 21 24Oxy642所以所以,港口的水深与时间的关系可用港口的水深与时间的关系可用近似描述近似描述.56sin5.2xy时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:00 10:00 11:00水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754时刻 12:00 13:0
11、0 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.75456sin5.2xy由由得到港口在整点时水深的近似值得到港口在整点时水深的近似值:(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y5.5时就可以进港.5.556sin5.2x2.06sinx由计算器可得SHIFTsin-1MODEMODE20.2=0.201357920.2014ABCDy=5.5yOx5101524682.
12、5sin56yx因此有两个交点的图象与直线函数内在区间B,A,5.556sin5.2,0,12yxy2014.06-,2014.06或x6152.5,3848.0BAxx6152.176152.512,3848.123848.012:DCxx由函数的周期性易得因此因此,货船可以在货船可以在0 0时时3030分左右进港分左右进港,早晨早晨5 5时时3030分左右出港分左右出港;或或在中午在中午1212时时3030分左右进港分左右进港,下午下午1717时时3030分左右出港分左右出港.每次可以每次可以在港口停留在港口停留5 5小时左右小时左右.O 2 4 6 8 10 xy86422.5sin56
13、yx5.50.32yxP(3)设在时刻设在时刻x货船的安全水深为货船的安全水深为y,那么那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同在同一坐标系内作出这两个函数一坐标系内作出这两个函数,可以看到在可以看到在67时之间两个函时之间两个函数图象有一个交点数图象有一个交点.通过计算通过计算.在在6 6时的水深约为时的水深约为5 5米米,此时货船的安全水深约为此时货船的安全水深约为4.34.3米米.6.5.6.5时的水深约为时的水深约为4.24.2米米,此此时货船的安全水深约为时货船的安全水深约为4.14.1米米;7;7时的水深约为时的水深约为3.83.8米米,而货船的而货船的安全水深约为安全水深约
14、为4 4米米.因此为了安因此为了安全全,货船最好在货船最好在6.56.5时之前停止时之前停止卸货卸货,将船驶向较深的水域将船驶向较深的水域.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型型,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥十分重要的作用。测其未来等方面都发挥十分重要的作用。具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函
15、数模型来解决得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。相应的实际问题。课堂练习课本课本7474页练习页练习1,31,3解决实际问题的步聚解决实际问题的步聚:实际问题实际问题读懂问题读懂问题抽象慨括抽象慨括数学建模数学建模推理推理演算演算数学模型的解数学模型的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解读懂概念丶字母读懂概念丶字母读出相关制约读出相关制约.在抽象、简化、明确变在抽象、简化、明确变量和参数的基础上建立量和参数的基础上建立一个明确的数学关系一个明确的数学关系.审题审题 关键关键课堂小结课堂小结:小结小结实际问题实际问题函数模型函数模型函数拟合函数拟合“散点图散点图”数据数据解决解决
