1、 本章是全课的重点！本章是全课的重点！基本概念：基本概念：地震作用与地震作用效应地震作用与地震作用效应地震作用：是指地面震动在结构上产生动力荷地震作用：是指地面震动在结构上产生动力荷载，俗称为地震荷载。载，俗称为地震荷载。注意：是间接作用注意：是间接作用地震作用效应：地震作用产生结构的内力和变地震作用效应：地震作用产生结构的内力和变形形结构动力特性结构动力特性 结构的自振周期、阻尼、振型等。结构的自振周期、阻尼、振型等。地震作用简化为三个方向：两个水平方向，地震作用简化为三个方向：两个水平方向，一个竖向。一个竖向。地震作用的简化：地震作用的简化：一般分别计算三个方向的一般分别计算三个方向的地震
2、作用。地震作用。是结构地震作用的计算方法是结构地震作用的计算方法 （应属于结构（应属于结构动力学的范畴）动力学的范畴）结构的地震反应：结构的地震反应：结构的地震反应分析结构的地震反应分析：结构的结构的 位移、速度、加速度位移、速度、加速度 及内力和变形及内力和变形 。等等 效效 静静 力力 法法简简 化化 的的 底底 部部 剪剪 力力 法法振振 型型 分分 解解 反反 应应 谱谱 法法反反 应应 谱谱 理理 论论静静 态态 分分 析析（最最 不不 利利 状状 态态 分分 析析）弹弹 性性 全全 过过 程程 分分 析析弹弹 塑塑 性性 全全 过过 程程 分分 析析动动 态态 分分 析析（全全 过
3、过 程程 时时 程程 分分 析析）确确 定定 性性 方方 法法非非 确确 定定 性性 方方 法法 随随 机机 振振 动动 分分 析析地地 震震 作作 用用 下下 结结 构构 的的 计计 算算 方方 法法本科生学习内容本科生学习内容3.2 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析？F=ma 曾经的问题：一建筑物可假定为刚体，质量为曾经的问题：一建筑物可假定为刚体，质量为100t，问该建筑的地震力在问该建筑的地震力在69度时，分别为多少？度时，分别为多少？F=ma新的问题：两个建筑物的地震作用（地震力）一样大吗？新的问题：两个建筑物的地震作用（地震力）一样大吗？地震作用
4、的大小与什么有关？地震作用的大小与什么有关？一、一、结构的计算简图结构的计算简图 水平地震作用下结构的自由度简化水平地震作用下结构的自由度简化 一个自由质点一个自由质点,若不考虑其转动若不考虑其转动,则相对于则相对于空间坐标系有空间坐标系有3 3个独立的唯一分量个独立的唯一分量,因而有三个因而有三个自由度（上下、左右、前后）自由度（上下、左右、前后）,而在平面内只有而在平面内只有两个自由度两个自由度.如果忽略直杆的轴向变形如果忽略直杆的轴向变形,则则在平面内与直杆相连的质点在平面内与直杆相连的质点只有一个位移分量只有一个位移分量,即只有一即只有一个自由度个自由度二、单自由度弹性体系的运动方程
5、作用于质量作用于质量m m上的水平方向的力：上的水平方向的力：弹性恢复力弹性恢复力 阻尼力阻尼力SKx Rcx ma gx t x tSRm“-”“-”表示表示与与x x方向相方向相反反1 1、运动方程建立、运动方程建立质量质量m m的绝对加速度的绝对加速度由牛顿第二定律由牛顿第二定律 gaxx()gFa mkxcxm xx()gFa mkxcxm xx单质点的地震作用单质点的地震作用只要求解出只要求解出 ，就求出了质点的，就求出了质点的 地震作用。地震作用。()gFa mkxcxm xx()()()()gm x tcx tkx tmtxgmx2()()()()()2()()()2 ggckx
6、 tx tx txtmmckkx tx tx txtmmkm式中式中相当于由地震产生的作用于结构上的相当于由地震产生的作用于结构上的强迫力。强迫力。整理后整理后2()()()()()2()()()2 ggckx tx tx txtmmckkx tx tx txtmmkm 这是一个二阶线性非齐次微分方程，其解为齐次这是一个二阶线性非齐次微分方程，其解为齐次方程的通解与非齐次方程通解之和。方程的通解与非齐次方程通解之和。2 2、关于单自由度振动的几个概念关于单自由度振动的几个概念圆频率圆频率周期周期频率频率阻尼比阻尼比一般结构的阻尼比一般结构的阻尼比0.010.1之间，一般取之间，一般取0.05。
7、2122kmTfTccmk m 3 3、齐次方程的通解（有阻尼自由振动）、齐次方程的通解（有阻尼自由振动）当当 很小时很小时2()2()()0 x tx tx t2(0)(0)()(0)cossin 1txxx textt 解为解为为有阻尼的圆频率为有阻尼的圆频率注意其解与结构的初位移和初速度有关。注意其解与结构的初位移和初速度有关。非齐次微分方程的解为齐次方程的通解与非齐次非齐次微分方程的解为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。方程的特解之和。有阻尼自由振动有阻尼自由振动=0（0）无阻尼自由振动无阻尼自由振动2(0)(0)()(0)cos sin1 txxx textt 齐次方程的通解齐次
8、方程的通解=0.2=0.0 52()2()()0 x tx tx t 4、非其次方程的特解、非其次方程的特解22gxxxx 非齐次方程的特解非齐次方程的特解杜哈米积分杜哈米积分思路：思路：1、利用齐次方程的通解、利用齐次方程的通解2、将地震的地面加速度分成有限个脉冲、将地震的地面加速度分成有限个脉冲3、讨论在单一脉冲作用后结构的响应、讨论在单一脉冲作用后结构的响应4、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形式已知（只是初速度不同）。式已知（只是初速度不同）。5、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的叠
9、加（积分）叠加（积分）地面运动的加速度地面运动的加速度 曲线是一个不能用数曲线是一个不能用数学表达式表示的曲线。我们可以将其分为无限学表达式表示的曲线。我们可以将其分为无限个微分脉冲。每一个微分脉冲将产生一个自由个微分脉冲。每一个微分脉冲将产生一个自由振动（一个位移振动（一个位移dx），无限个微分脉冲产生），无限个微分脉冲产生的位移积分即是方程的特解。的位移积分即是方程的特解。由由dt时间的脉冲时间的脉冲 产生的自由振动在产生的自由振动在t时刻的位移为：时刻的位移为：gx ()gxd ()()()cos()()()sin()tdx textxxt 初位移初速度将所有脉冲积分将所有脉冲积分()0
10、 x ()()gxxd ()()()sin()gtxdxetd 0()()tx tdx ()01()()sin()ttgx txetd 非齐次方程的特解也称为杜哈米积分非齐次方程的特解也称为杜哈米积分 非齐次方程的特解非齐次方程的特解与齐次方程的通解相加构成非齐次与齐次方程的通解相加构成非齐次方程的通解，一般情况下，初位移和初速度均为零，故方程的通解，一般情况下，初位移和初速度均为零，故其解为杜哈米积分。其解为杜哈米积分。2(0)(0)()(0)cos sin1 txxx textt ()01()()sin()ttgx txetd 齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解
11、求出位移反应的解后，微分后还可求出速度求出位移反应的解后，微分后还可求出速度反应。反应。()0()0()()()cos()()sin()ttgttgdx tx txetddtxetdt 同理可写出加速度反应同理可写出加速度反应gaxxgaxx进一步求出进一步求出得到结构的地震作用得到结构的地震作用三、关于反应谱的计算三、关于反应谱的计算 由于地震的运动是一个复杂的问题，我们关由于地震的运动是一个复杂的问题，我们关心地震反应的最大值比随时间的反应更有意义。心地震反应的最大值比随时间的反应更有意义。可写出最大反应：简化时取可写出最大反应：简化时取()max0()max0()max0()sin()(
12、)()sin()1()sin()ttaggttvgttdgSxetdxtSxetdSxetd 加速度加速度最大值最大值速度速度 最大值最大值位移位移 最大值最大值当地面运动当地面运动 及结构的阻尼及结构的阻尼 确定后，可确定后，可以看出结构的反应仅与结构的自振周期以看出结构的反应仅与结构的自振周期 有关。有关。绘出的曲线称为反应谱。加速度反应谱，速度反应谱，绘出的曲线称为反应谱。加速度反应谱，速度反应谱，位移反应谱。位移反应谱。()gxt ()T()max0()max0()max0()sin()()()sin()1()sin()ttaggttvgttdgSxetdxtSxetdSxetd ()
13、max0()max0()max0()sin()()()sin()1()sin()ttaggttvgttdgSxetdxtSxetdSxetd ()T 四、反应谱理论的意义四、反应谱理论的意义 根据已有的大量地震地面运动的记录，再运根据已有的大量地震地面运动的记录，再运用结构动力学中弹性振动理论，通过计算结构的用结构动力学中弹性振动理论，通过计算结构的地震反应来确定地震作用。地震反应来确定地震作用。（将计算结果以地震反应随结构自振周期的变化规（将计算结果以地震反应随结构自振周期的变化规律曲线的方式表达，供设计时查用。有最大加速律曲线的方式表达，供设计时查用。有最大加速度反应谱、最大速度反应谱、最
14、大位移反应谱度反应谱、最大速度反应谱、最大位移反应谱等。）等。）周期T加速度反应加速度反应谱加速度反应谱的意义加速度反应谱的意义五、地震反应谱示例（五、地震反应谱示例（）周期（）速度（）周期（）加速度（）位移（）周期（）岩石坚硬场地厚无粘性土层软土层速速度度反反应应谱谱加加速速度度反反应应谱谱位位移移反反应应谱谱场场地地影影响响六、反应谱的特征六、反应谱的特征 1.加速度反应随结构自振周期增大而减小。加速度反应随结构自振周期增大而减小。2.位移随周期增大而增大。位移随周期增大而增大。3.阻尼比的增大使地震反应减小。阻尼比的增大使地震反应减小。4.场地的影响，软弱的场地使地震反应的峰值场地的影响
15、，软弱的场地使地震反应的峰值范围加大。范围加大。3.3 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱其反应谱一、单自由度弹性体系的水平地震作用一、单自由度弹性体系的水平地震作用()()()()()()()/gF ta mm xxkx tcx tkx tx tF tk 1 1 地震作用是时间的函数地震作用是时间的函数.（一）、水平地震作用的表示（一）、水平地震作用的表示(2)利用它利用它 的最大值来对结构进行抗震计算的最大值来对结构进行抗震计算,把动把动力问题转化为静力问题计算力问题转化为静力问题计算.将惯性力看为反映地震对结构影响的等将惯性力看为反映地震对结
16、构影响的等效力，取最大值。效力，取最大值。maxmaxmaxmax()()gagagFF tm xxm SxSmggxGKG G为重力，质点的重力为重力，质点的重力荷载，单位荷载，单位KN（力）（力）maxmaxmaxmax()()gagagFF tm xxm SxSmggxGKG maxmaxmaxmax()()gagagFF tm xxm SxSmggxGKG maxmaxmaxmax()()gagagFF tm xxm SxSmggxGKG 大致为多少？大致为多少？（二）、影响水平地震作用的因素（二）、影响水平地震作用的因素maxmaxmaxmax()()gagagFF tm xxm S
17、xSmggxFGKG 1、G，结构的重量（或称为重力荷载代表值）。，结构的重量（或称为重力荷载代表值）。G越大，地震作用越大。越大，地震作用越大。2、K，称为地震系数。表示地面震动的大小。，称为地震系数。表示地面震动的大小。K与烈度有关。规范根据烈度所对应的地面加速与烈度有关。规范根据烈度所对应的地面加速度峰值进行调整后得到。度峰值进行调整后得到。maxgxKg 基本烈度 6 7 8 9 设计基本地震加速度值 0.05g 0.1g 0.2g 0.4g 0.05 0.1 0.2 0.4 3、，称为动力系数。，称为动力系数。与结构的动力特性和外激励有关。与结构的动力特性和外激励有关。maxagsx
18、 0123v 21 0.7070.40.30.21.001简谐激励简谐激励地震激励地震激励与地震作用频率组成（场地）有关；与结构的自振周期有与地震作用频率组成（场地）有关；与结构的自振周期有关；与结构的阻尼有关。关；与结构的阻尼有关。通过大量的分析计算，通过大量的分析计算，我国地震规范取最大的我国地震规范取最大的动力系数动力系数maxmax为为2.252.25。4 4、为计算简便令、为计算简便令=k=k。是是一个无量纲的系数，一个无量纲的系数，称为水平地震影响系数。称为水平地震影响系数。问题：如何减小结构的地震作用？问题：如何减小结构的地震作用？二、抗震设计反应谱（标准反应谱）二、抗震设计反应
19、谱（标准反应谱）地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲线都不相同，则加速度反应谱也不相同。线都不相同，则加速度反应谱也不相同。抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具有共性的可以表达的一个谱线。有共性的可以表达的一个谱线。周期（）加速度（）周期（）加速度（）标准化标准化 规范给出的设计反应谱，考虑了场地的类型、地震分规范给出的设计反应谱，考虑了场地的类型、地震分组、结构阻尼等影响。组、结构阻尼等影响。1、抗震设计反应谱（地震影响系数）、抗
20、震设计反应谱（地震影响系数）0.45注意书上的错注意书上的错误误2、各系数意义、各系数意义（1）、反应谱是）、反应谱是-T关系谱，关系谱，实质是加速度谱。实质是加速度谱。设计地震分组场 地 类 别IIIIIIIV第一组0.250.350.450.65第二组0.300.400.550.75第三组0.350.450.650.90（2）、）、为一无量纲系数，为一无量纲系数，T的量纲为秒。的量纲为秒。（3）、）、Tg为特征周期值，与场地类别和地震分组有关。为特征周期值，与场地类别和地震分组有关。0.45（4）衰减指数。与阻尼比有关。衰减指数。与阻尼比有关。55.005.09.0注意：注意：计算一下阻尼
21、比分别为计算一下阻尼比分别为0.05、0.1、0.2时时的的值和值和2值。值。=0.9、0.85、0.8 2=1、0.78、0.625（5）1 斜率调整系数。斜率调整系数。8/)05.0(02.01（6）2 阻尼调整系数。阻尼调整系数。20.0510.061.70.453 3、抗震设计反应谱（、抗震设计反应谱（谱）的特点谱）的特点5）、特征周期）、特征周期Tg，坚硬场地，坚硬场地Tg 小，软小，软 弱的场地弱的场地Tg 大。大。1）、）、T的区间，的区间，0 6 s。一般建筑。一般建筑T 都小于都小于6.0s。2）、）、存在最大值，存在最大值，T=0.1Tg 之间，之间，=max。3）、）、T
22、Tg后，后，随随T而减小。而减小。4）、）、T=0，=0.45 max。T 0.1S 之间，之间，按直线增大。按直线增大。6）、）、的大小与地震烈度的大小与地震烈度（max）、结构的自振）、结构的自振周期周期T、特征周期、特征周期Tg及结构的阻尼等有关。及结构的阻尼等有关。0.45三、用于设计的三、用于设计的 maxmax 值（多遇烈度，罕遇烈度）值（多遇烈度，罕遇烈度）烈度6789设计基本地震加速度值0.05g0.1g0.2g0.4gK0.050.10.20.4 maxmax（设防烈度）（设防烈度）0.1130.230.450.90 maxmax（多遇烈度）（多遇烈度）0.040.080.1
23、60.32 maxmax（罕遇烈度）（罕遇烈度）0.500.901.40多遇烈度多遇烈度=基本烈度基本烈度-1.55-1.55度度(1/2.82)(1/2.82)罕遇烈度罕遇烈度=基本烈度基本烈度+1+1度左右度左右(相当于相当于2.132.13倍、倍、1.881.88倍和倍和1.561.56倍）倍）四、计算地震作用时结构重量四、计算地震作用时结构重量G G的计算的计算 计算地震作用时，采用的建筑结构的重量称计算地震作用时，采用的建筑结构的重量称为重力荷载代表值。为重力荷载代表值。重力荷载代表值重力荷载代表值 =结构自重标准值结构自重标准值 +EiEi 可变荷载标准值可变荷载标准值 EiEi为
24、组合系数，考虑地震与可变荷载同时出现为组合系数，考虑地震与可变荷载同时出现的可能性。的可能性。EiEi见见P75P75表表3-113-11单单自由度体系的水平地震作用的计算自由度体系的水平地震作用的计算1EKFFG FEKF1GF1现在可计算单自由度结构的地震作用现在可计算单自由度结构的地震作用计算计算G计算结构的自振周期计算结构的自振周期T和阻尼比和阻尼比计算计算确定设防烈度确定设防烈度 maxmax 确定建设场地及地震分组确定建设场地及地震分组（Tg）计算计算FEK进行后续计算进行后续计算 0.45作业：单质点体系，质点的重量为作业：单质点体系，质点的重量为1000kN.分别计算下列分别计
25、算下列情况结构的多遇烈度地震作用（用表格计算），并将计算情况结构的多遇烈度地震作用（用表格计算），并将计算结果表示在图上。根据计算结果讨论不同因素对地震作用结果表示在图上。根据计算结果讨论不同因素对地震作用大小的影响。设计地震分组为大小的影响。设计地震分组为1组。组。1.设防烈度分别为设防烈度分别为7、8、9度。度。2.场地类型分别为场地类型分别为、类。类。3.结构的自振周期分别为结构的自振周期分别为0.3S、0.6S、1.2S。4.结构的阻尼比分别为结构的阻尼比分别为0.05、0.1、0.15。地震地震作用作用影响影响因素因素设防设防烈度烈度场地场地类型类型自振自振周期周期3.4 3.4 多
26、自由度弹性体系地震反应分析的多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法振型分解法一、多自由度体系振动微分方程建立一、多自由度体系振动微分方程建立二、多自由度体系无阻尼自由振动方程求解二、多自由度体系无阻尼自由振动方程求解（自振周期和振型）（自振周期和振型）三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分解法）解法）一、多自由度弹性体系的运动方程一、多自由度弹性体系的运动方程1 1、计算模型、计算模型一般一般n n层结构有层结构有n n个质点，个质点，n n个自由度个自由度 111gImxx 2、运动微分方程（以两自由度为例）、运动微分方程（以两自由度为例）1）作用
27、于质点上的力）作用于质点上的力作用于作用于1质点上的惯性力为质点上的惯性力为作用于作用于1质点上的弹性恢复质点上的弹性恢复力为力为1111122()Sk xk x 作用于作用于1质点上的阻尼力为质点上的阻尼力为1111122()Dc xc x 2）质点）质点1的动力平衡方程的动力平衡方程I1+D1+S1=0 得：得：111111221111221gm xc xc xk xk xm x 222112222112222gm xc xc xk xk xm x 同理可得到质点同理可得到质点2的动力平衡方程的动力平衡方程（1）（2）将（将（1）、（）、（2）式用矩阵表示：）式用矩阵表示：1gmxcxkx
28、mx 12xxx 12xxx 12xxx 其中：其中：1200mmm 11122122ccccc 11122122kkkkk 推广到多自由度体系：推广到多自由度体系：11121121121221221122212121()()()()0,02()2(),gnnnnnMx tcx tkx tMI xtkkkmmMkcMkmkk 11121121121221221122212121()()()()0,02()2(),gnnnnnM x tc x tk x tM I x tkkkmmMkcMkmkk 微分方程组的求解较困难，微分方程组的求解较困难，可先求出结构的自振周期可先求出结构的自振周期和振型，
29、利用无阻尼自由振动方程求周期和振型（小阻尼体和振型，利用无阻尼自由振动方程求周期和振型（小阻尼体系的自振周期与无阻尼相同）。系的自振周期与无阻尼相同）。二、多自由度无阻尼自由振动方程求解二、多自由度无阻尼自由振动方程求解()()0Mx tkx t 22()sin()()sin()()x tXtx tXtx t 22()()0()0Mx tkx tkMx 令其解为令其解为代回方程：代回方程：1、自振频率和振型分析、自振频率和振型分析22()()0()0Mx tkx tkMx 将将 i i依次回代方程可得到相对的振幅依次回代方程可得到相对的振幅 XXi i，即为振型。即为振型。若为两个自由度若为两
30、个自由度,令令n=2，则有，则有 20kM 111212212222111122212220000kkMkkMkMkkkM 系数行列式系数行列式可求出可求出n个个（圆频率）（圆频率）111212212222111122212220000kkMkkMkMkkkM 解出解出 将求出的将求出的 1 1、分别代回方程分别代回方程，可求出，可求出x1、x2的相的相对值对值 对应于对应于 1 1为第一振型为第一振型2211221122112212211212121122kkkkk kk kmmmmm m 111212221211121112xkkxkmkm 21122221121xkxkm 对应于对应于
31、为第二振型为第二振型可见对应于结构的某一自振频率，结构各质点振可见对应于结构的某一自振频率，结构各质点振动的位移比是一个定值，这就是振型。结构的振动的位移比是一个定值，这就是振型。结构的振型数与自振频率数相同。型数与自振频率数相同。例题例题3.1两质点体系，两质点体系，m1=60t，m2=50t，k1=5104 kN/m，k2=3104 kN/m求该体系的自振周期和振型求该体系的自振周期和振型k11=k1+k2=8104 kN/mk12=k21=-k2=-3104 kN/mk22=k2=3104 kN/mk1k2m2m1注意：注意：k1、k2及及k11、k12、k22的意义。的意义。k1、k2
32、是层间刚度。是层间刚度。k11是是1质点产生单位位移（其它点不动）所需质点产生单位位移（其它点不动）所需的水平力。的水平力。k12是是2质点发生单位位移时在质点发生单位位移时在1质点处产生的质点处产生的水平力。水平力。2211221122112212211212121122kkkkk kk kmmmmm m 注意：量纲的对应，质量注意：量纲的对应，质量t，刚度刚度kN/m求出：求出：1=17.5 rad/s ，2=40.32 rad/sT1=2/1=0.358 s ,T2=0.156 s注意注意:建筑结构自振周期的范围建筑结构自振周期的范围.将将代回方程可求出振型。代回方程可求出振型。2111
33、121111210.488mkxxk 2222111211211.71xmkxk 11211122221212nnnnnnnXXXXXXXXXXXXX将振型写成矩阵将振型写成矩阵1振型振型0()()0()()TjkjTjkjjkxMxMjkjkxKxKjk 2 2、振型的正交性分析、振型的正交性分析振型关于质量矩阵正交振型关于质量矩阵正交振型关于刚度矩阵正交振型关于刚度矩阵正交Mj 称为广义质量称为广义质量Kj 称为广义刚度称为广义刚度0()()0()()TjkjTjkjjkxMxMjkjkxKxKjk 以两自由度例题为例：以两自由度例题为例：1121412220.4881.7160083,1
34、01105033xxmkxx 121200TTxmxxkx 当当jk时时当当j=k=1时时 116000.4880.4881050164.3Txmx 称为广义质量称为广义质量当当j=k=1时时 4114830.4880.4881103311.977 10Txkx 称为广义刚度称为广义刚度 利用振型正交性的原理可以使微分方程组利用振型正交性的原理可以使微分方程组的求解大大的简化的求解大大的简化11121121121221221122212121()()()()0,02()2(),gnnnnnM x tc x tk x tM I x tkkkmmMkcMkmkk 考察方程及振型的正交性，是否能利用
35、正交性考察方程及振型的正交性，是否能利用正交性将方程组简化为将方程组简化为n个独立的微分方程？个独立的微分方程？11121121121221221122212121()()()()0,02()2(),gnnnnnMx tcx tkx tMI xtkkkmmMkcMkmkk 3、振型分解（叠加）原理、振型分解（叠加）原理 多自由度线性体系的振动位移多自由度线性体系的振动位移x（t）可以表示）可以表示为各振型下位移反应的叠加（线性组合）。为各振型下位移反应的叠加（线性组合）。0()()0()()TjkjTjkjj kxM xMj kj kxK xKj k 0()()0()()TjkjTjkjj k
36、xM xMj kj kxK xKj k 按照振型叠加原理，弹性结构体系，每一个质点按照振型叠加原理，弹性结构体系，每一个质点在振动过程中的位移等于各振型的线性组合：在振动过程中的位移等于各振型的线性组合：1()()nijijjxtXqt 3()2()1()1213111(t)1(t)2122232(t)3132333+1111212xtqt Xqt X以两质点为例：以两质点为例：第第1质点的位移质点的位移1质点质点1振型振型1质点质点2振型振型第第2质点的位移质点的位移 2112222xtqt Xqt X2质点质点1振型振型2质点质点2振型振型写成一般形式：写成一般形式：x tXq t 振型矩
37、阵振型矩阵进一步有：进一步有：x tXq t x tXq t 振型矩阵：振型矩阵：11211122221212nnnnnnnXXXXXXXXXXXXX三、多自由度体系振动微分方程求解（振型三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分解法）分解法）在具有振型正交性的概念后，可用振型分在具有振型正交性的概念后，可用振型分解法来解多自由度体系振动微分方程。解法来解多自由度体系振动微分方程。11121121121221221122212121()()()()0,02()2(),gnnnnnMx tcx tkx tMI xtkkkmmMkcMkmkk x tXq t x tXq t x tXq t 引入坐标
38、变换：引入坐标变换：代回方程得代回方程得 11121121121221221122212121()()()()0,02()2(),gnnnnnMXq tcXq tkXq tMI xtkkkmmMkcMkmkk 为了利用振型的正交性，在方程的两边左乘为了利用振型的正交性，在方程的两边左乘一个一个 TX 11121121121221221122212121()()()()0,02()2(),TTTTgnnnnnXMXq tXcXq tXkXq tXMI xtkkkmmMkcMkmkk 根据振型的正交性有：根据振型的正交性有：0()()0()()TjkjTjkjj kXM XMj kj kxK xK
39、j k 0()()0()()TjkjTjkjj kxM xMj kj kXK XKj k 0()()0()()TjkjTjkjjj kxM xMj kj kXc XMKj k 假定：假定：11121121121221221122212121 ()1 0,02()2(),TTTjjjjjjjjjTgjnnnnnXMXqXcXqXkXqXMI xtjnkkkmmMkcMkmkk 得到如下得到如下q的的n个独立方程：个独立方程：当当 和和 的角标不同时，方程的左边为的角标不同时，方程的左边为0。TX TX方程的两边除以方程的两边除以 11121121121221221122212121 ()1 0,
40、02()2(),TTTjjjjjjjjjTgjnnnnnXMXqXcXqXkXqXMI xtjnkkkmmMkcMkmkk 11121121121221222221 ()1 0,02()2(,TTjjjjjjjTTjjjjTjgTjjnnnnnXcXXkXqqqXMXXMXXMIxtjnXMXkkkmmMkcMkmkk 112121)211121121121221221122212121 ()1 0,02()2(),TjjjTjjTjgTjjnnnnnXkXXMXXMIxtjnXMXkkkmmMkcMkmkk 其中：其中：11121121121221221122212121 20,02()2(
41、),TjjjjTjjnnnnnXcXXMXkkkmmMkcMkmkk 11121121121221221122212121 0,02()2(),TjjTjjnnnnnXMIXMXkkkmmMkcMkmkk 2111211211212212211222121212()1 0,02()2(),jjjjjjgnnnnnqqqxtjnkkkmmMkcMkmkk 方程的形式为：方程的形式为：与单质点的方程形式相与单质点的方程形式相同同22gxxxx 称为振型参与系数称为振型参与系数()01()()sin()ttgx txetd ()0()()sin()jjttjjgjjqtxetd q的解为（对应于的解
42、为（对应于j振型）：振型）：或写成：或写成：()()jjjq tt()01()()sin()jjttjgjjtxetd j振型的反应振型的反应j振型的振型参与系数振型的振型参与系数j振型的圆频率振型的圆频率j振型的阻尼比振型的阻尼比分别求出分别求出1n个振型的反应个振型的反应()()jjjq tt 质点的地震反应位移为：质点的地震反应位移为：x tXq t 至此，求出多自由度体系的地震反应。至此，求出多自由度体系的地震反应。四、四、结构自振周期和振型的计算结构自振周期和振型的计算 在进行结构的地震作用计算时，必须求出结在进行结构的地震作用计算时，必须求出结构的自振周期和振型，在进行最简单的计算
43、（底构的自振周期和振型，在进行最简单的计算（底部剪力法）时，也要计算结构的基本周期。部剪力法）时，也要计算结构的基本周期。结构自振周期的计算方法有：结构自振周期的计算方法有：1、理论与近似的计算、理论与近似的计算 2、经验公式、经验公式 3、试验方法等、试验方法等 求出多自由度体系的地震反应后，即可计算多自由度求出多自由度体系的地震反应后，即可计算多自由度体系的地震作用。在此之前，我们先讲体系的地震作用。在此之前，我们先讲自振周期和振型的自振周期和振型的计算方法。计算方法。1、近似方法、近似方法1能量法能量法 原理：能量守恒原理：能量守恒 一个无阻尼的弹性体系在自由振动中任何时一个无阻尼的弹性
44、体系在自由振动中任何时刻的总能量（位能与动能和）不变。刻的总能量（位能与动能和）不变。当体系的位移最大时，位能最大为当体系的位移最大时，位能最大为 动能为动能为0。当体系的速度最大时，动能最大为当体系的速度最大时，动能最大为 为能为为能为0。(一一)、理论与近似计算方法、理论与近似计算方法maxmax,TU maxmax,TU 则有：则有：maxmax,TU ()sin()()cos()x tXtx tXt ()()nixtx t已知体系无阻尼自由振动的位移和速度为：已知体系无阻尼自由振动的位移和速度为：体系的最大位能：体系的最大位能：maxmax121 2TUFXKX 体系的最大动能：体系的
45、最大动能：2maxmax2121 2TTvmXMX 多质点体系多质点体系多质点体系多质点体系 当当x为某振型时可求出对应频率。为某振型时可求出对应频率。计算基本周期时，则计算基本周期时，则x为第一振型的变形曲线。将集中为第一振型的变形曲线。将集中质量作为水平荷载求出的位移质量作为水平荷载求出的位移ui做为第一振型的变形曲线。做为第一振型的变形曲线。（假定或近似）（假定或近似）maxmax,TU 2 TTXKXXMX 广义刚度广义刚度广义质量广义质量 体系按基本频率体系按基本频率 1 1作自由振动作自由振动,相应的基本振型取一种相应的基本振型取一种近似形式近似形式,即假设各质点的重力荷载即假设各
46、质点的重力荷载Gi作为水平作用产生的作为水平作用产生的弹性变形曲线弹性变形曲线.unuiu2u1GnGiG2G1unuiu2u1GnGiG2G111111()sin()()cos()iiiix tutx tut 在振动过程中在振动过程中,质点质点i的瞬时位移为的瞬时位移为速度为速度为2maxmax111()22iiiiUG uTmu 12,iiiigm um u 则有则有221122,2iiiiiiim uG uTTm uG ug 11111()sin()()cos()iiiix tutx tut 用周期表示：用周期表示：ui将各质点的重力荷载视为水平荷载产生的位移（将各质点的重力荷载视为水平
47、荷载产生的位移（m）Gi质点质点i的重力荷载的重力荷载(KN)注意注意221122,2iiiiiiim uG uTTm uG ug G1=400KN，G2=300KN，K1=14280KN/m，K2=10720KN/m，计算各层剪力计算各层剪力V1=700KN，V2=300KN计算水平位移计算水平位移 u1=V1/K1=0.049m，u2=V1/K1+V2/K2=0.077m计算基本周期计算基本周期=0.508s212iiiiG uTG u 例：一两层框架，求其基本周期例：一两层框架，求其基本周期G2G1 1 1 u1G2G12 2、等效质量法等效质量法原理：原理：振动系统的自振频率分析振动系
48、统的自振频率分析（连续系统）（连续系统）简化为离散系统简化为离散系统单质点体系单质点体系多质点体系多质点体系两系统求出的自振频率相同并两系统求出的自振频率相同并符合实际的条件是总动能等效。符合实际的条件是总动能等效。简化系统的刚度和约束条件应简化系统的刚度和约束条件应与原系统完全相同。与原系统完全相同。连续连续系统系统 将多质点体系用一个单质点体系代替，使其自将多质点体系用一个单质点体系代替，使其自振频率相等。振频率相等。若使两个体系的自振频率等效，则若使两个体系的自振频率等效，则应使两个体系的刚度和质量的比（应使两个体系的刚度和质量的比（k/m）也等效。）也等效。从能量的观点看，势能和动能的
49、相互转换导从能量的观点看，势能和动能的相互转换导致了振动。致了振动。系统在动能意义下的质量称为系统的系统在动能意义下的质量称为系统的等效质量等效质量：（系统在势能意义下的刚度称为系统的等效刚度（系统在势能意义下的刚度称为系统的等效刚度）21x122max1()21()2nmaiiieqmTmxTMx 22iieqmm xMx mnxx 1max2maxTT 由动能等效：由动能等效：等效质量等效质量根据刚度等效，有根据刚度等效，有 并已知第一振型的变并已知第一振型的变形曲线（形曲线（），可计算出等效质量。），可计算出等效质量。ix最后得到基频最后得到基频eqkM 12eqTM 等效质量的另一种推
50、导：将分布等效质量的另一种推导：将分布i点的质点的质量量mi等效集中到另一点等效集中到另一点j，等效后的质量为，等效后的质量为me。等效的原则是：等效前后自振频率相等。等效的原则是：等效前后自振频率相等。jjiiieKKmm 1niejjiimmKK jKjjimiKiimeimi对于多质点体系，邓克莱证对于多质点体系，邓克莱证明仍可用上式计算，总的等明仍可用上式计算，总的等效质量为：效质量为：或：或：221111nneijjiiimmKKiejjiimmKK F=1KNx2x1X2(xm)MMeq例例 用折算质量法计算上例用折算质量法计算上例G1=400KN，G2=300KN，K1=1428
