1、物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页结束放映结束放映物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页Pz*OFrdsinOMFdFr :力臂力臂doMrF 力矩的矢量表达式：力矩的矢量表达式：一力矩一力矩 oM力矩：力矩：是用来是用来描述力对刚体描述力对刚体的的转动作用的物理量。转动作用的物理量。1、对对O 点点的力矩：的力矩：F 力的力的作用点作用点P相对给定点相对给定点O的位矢的位矢 与力与力的矢积为力对给定的矢积为力对给定点点的力矩。的力矩。rF
2、物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页zZMOFFMPr0oM 刚体就能改变转动状态刚体就能改变转动状态？如果刚体能绕如果刚体能绕O点任意转点任意转动，是不是只要动，是不是只要0oM 刚体就能转动？刚体就能转动？Yes如果刚体只能绕某一定轴如果刚体只能绕某一定轴转动，是不是只要转动，是不是只要先看两个特殊方向先看两个特殊方向的力产生的力矩的力产生的力矩结论：结论：力矩方向与转轴平行时，能使刚体转动状力矩方向与转轴平行时，能使刚体转动状态发生变化；而当力矩方向与转轴垂直时，则不态发生变化；而当力矩方向与转轴垂直时，则不能
3、。能。物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页 因在定轴转动中平行于因在定轴转动中平行于转轴的外力对刚体的绕定轴转轴的外力对刚体的绕定轴转动起不了作用，所以当一转动起不了作用，所以当一个任意的力个任意的力 作用在刚体作用在刚体上，必须把力分解为两个力，上，必须把力分解为两个力，一个是与转轴一个是与转轴平行的力平行的力 ，另一个与转轴垂直的力另一个与转轴垂直的力 。其中只有其中只有 的力矩的力矩 才能才能使刚体改变转动状态，因此使刚体改变转动状态，因此把力矩把力矩 称之为力称之为力 对对轴轴的力矩。的力矩。F2、对对轴轴的
4、的力矩：的的力矩：F/FFZMZMFFFFFr垂垂直直于于转转轴轴OZM物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页FFFrOZM 因此，在定轴动问题因此，在定轴动问题中，如不加说明，中，如不加说明，所指所指的力矩的力矩是指力对轴的力是指力对轴的力矩矩Mz表示。表示。Mz即为力即为力F 对轴的力矩，对轴的力矩，有时也省有时也省略下标略下标Z。是转轴到力作是转轴到力作用线的距离，称为用线的距离，称为力臂力臂。sinrd F dFrkMzsinzMrFd 对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑在定轴转动中不予考
5、虑。/F物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页O（2）合力矩等于各分力矩的合力矩等于各分力矩的矢量和矢量和(可求代数和可求代数和)321MMMM（3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM（1 1）在转轴方向确定后，力对在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可转轴的力矩方向可用用+、-号表示。号表示。几点说明：几点说明：物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页应用牛
6、顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：,OiFifimir对对刚体中任一质量元刚体中任一质量元im外力外力iF内力内力ifiiiim afF采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：ititiiti iFfmamr Z由于法向力的力矩为零，故不作讨论。由于法向力的力矩为零，故不作讨论。二二 定轴转动定轴转动定律定律物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端：ir2it iit ii iF rf rmr 设刚体由设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上个
7、质点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将述类似方程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得：2111()NNNit iit ii iiiiF rf rm r 根据内力性质根据内力性质(每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线，对同一轴力矩之代数和为零线，对同一轴力矩之代数和为零)，得：得：0sin1Niiiirf定轴转动定律定轴转动定律物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页211()NNit ii iiiF rmr得到：得到：上式左端为刚体所受的合外力矩，以上式左端为刚体所受的合外力矩，以M表表示；而
8、右端求和符号内的量只与刚体本身性质示；而右端求和符号内的量只与刚体本身性质及转轴位置有关及转轴位置有关,称之为刚体转动惯量，以称之为刚体转动惯量，以J 表示。表示。ddMJJt刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律定轴转动定律定轴转动定律刚体转动惯量：刚体转动惯量：2iirmJ于是得到：于是得到：物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页讨论：讨论：ddMJJt惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动（1 1）M 一定，一定，J定轴转动定律定轴转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与
9、它所受的合外力合外力矩矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.（2 2）是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个 方向）。方向）。物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页定轴转动定律定轴转动定律（4 4）具有瞬时性。）具有瞬时性。（5）M、J、是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。（6 6）转动中转动中 与与平动中平动中 地位地位 相同。相同。maF JM 三转动惯量三转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度。转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm2
10、2jjjrmJmrJd2（3 3）M 的符号：使刚体向规定的正方向加速的的符号：使刚体向规定的正方向加速的 力矩为正；力矩为正；物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页v 质量离散分布质量离散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布mrrmJjjjd22：质量元质量元md物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为
11、体分布质量为体分布其中其中、分分别为质量的线密别为质量的线密度、面密度和体度、面密度和体密度。密度。线分布线分布体分布体分布 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布面分布物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页说说 明明与转动惯量有关的与转动惯量有关的因素因素：刚体的刚体的质量分布质量分布转轴转轴的位置的位置质量质量分布分布，与，与转轴的位置转轴的位置结合决定转轴到每个质结合决定转轴到每个质
12、元的矢径。元的矢径。物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页例例1:求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的转的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dmdVdrlrdmrdJ322ZORlRdrlrdJJR403212可见，转动惯量与可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是轴的转动惯量也是mR2/2。2212mJm RR l 2 rdr l物理学物理学第五
13、版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页例例2:求长为求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒的转动惯量。的均匀细棒的转动惯量。(1)转轴通过棒一端并与棒垂直。转轴通过棒一端并与棒垂直。（2）转轴通过棒）转轴通过棒的中心并与棒垂直；的中心并与棒垂直；ABLxABL/2L/2Cx解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dx ,=m/LdmrJC2dmrJA2220/3LxdxmL12/2222mLdxxJLLc物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页2mdJJCO四、四、
14、平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的的刚体刚体，如如果对其质心轴的转动惯量果对其质心轴的转动惯量为为 ，则对任一与该轴平则对任一与该轴平行行，相距为相距为 的转轴的转的转轴的转动惯量动惯量CJmddCOm物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页求质量求质量为为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的J2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O2物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页当当其受到微小扰动
15、时，细杆将在重力作用下由静其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链止开始绕铰链O 转动试计算细杆转动到与竖直转动试计算细杆转动到与竖直线成线成 角角时的角加速度和角速度时的角加速度和角速度例例3 一一长为长为 l、质量质量为为m 匀质细杆竖直放置，其下端匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链与一固定铰链O相接，并可相接，并可绕其转动绕其转动由于此竖直放置由于此竖直放置的细杆处于的细杆处于非稳定平衡状态非稳定平衡状态,m,lOmg物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页解解:细细杆受重力和铰链对细杆受重力和铰链对
16、细杆的约束力杆的约束力 作用作用，而约，而约束力始终通过转轴束力始终通过转轴O，其力，其力矩为零，由转动定律得矩为零，由转动定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFtddsin23lgm,lOmgtdd利用利用消去时间消去时间dt物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页对上式积分，利用初始条件，对上式积分，利用初始条件，ddNFm,lOmg)cos1(3lg解得：解得：lgdsin23d分离变量分离变量lgsin2300dsin23dlg物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-
17、2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页例例4 4：一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两：一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为端分别悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1m1，物体物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运向下运动，滑轮顺时针方向旋转（设该方向为转动的动，滑轮顺时针方向旋转（设该方向为转动的正方向）。可列出下列方程正方向）。可列出下列方程11122221rTGmaGTmaTr Tr MJ式中式中 是滑轮的角加速度，是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加
18、速度的切向加速度和物体的加速度相等，即相等，即从以上各式即可解得从以上各式即可解得ra 例例 题题T2 T1 T1T2G2G1aa物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页mmmrMgmmrJmmrMgmmar21/121221212mmmrMgmmmagmT21/212121212mmmrMgmmmagmT21/212122111而而例例 题题物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页rmmmrMgmmra21/1212当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令
19、当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M=0=0时，有时，有gmmmmTT1221212gmmmma1212 上上题题中的装置叫中的装置叫阿特伍德机阿特伍德机，是一种可用来测，是一种可用来测量重力加速度量重力加速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m1、m2 、r和和J的情况下，能通过实验测出物体的情况下，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通过加速度把再通过加速度把g g算出来。在实验中可使两物体的算出来。在实验中可使两物体的m1和和m2相近，从而使它们的加速度相近，从而使它们的加速度a和速度和速度v都较小，都较小，这样就能角精确地测出这样就能角精确地测出a来。来。物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版4-2 力矩力矩 转动定律转动定律下页下页首页首页目录目录上页上页作业作业：4-104-10，4-134-13
