1、3-3 回转体的投影一 回转面的形成及常见回转面二 回转体投影三 常见回转体的投影四 回转体表面取点、取线一 回转面的形成及常见回转面1 回转面的形成一动线（直线或曲线）绕一固定直线旋转所形成的曲面称为回转面回转面该动线称为母线母线固定直线称为回转轴回转轴简称轴线母线的任一位置称为素线素线母线上任一点随母线旋转一周的轨迹称为纬圆纬圆，纬圆始终垂直于回转轴纬圆始终垂直于回转轴2 常见回转面与轴线平行的直母线绕轴线旋转形成圆柱面圆柱面与轴线相交的直母线绕轴线旋转形成圆锥面圆锥面圆心在轴线上的圆弧绕轴线旋转形成圆球面圆球面轴线母线母线轴线圆心不在轴线上的圆弧绕轴线旋转形成圆圆环面环面组合线段绕轴线旋
2、转形成组组合回转面合回转面XZY圆柱的三面投影图圆柱的三面投影图HVWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”1.1.圆柱的投影圆柱的投影圆柱表面由圆柱面和顶面、底圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是由一直母面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。线绕与之平行的轴线回转而成。如图所示，圆柱的如图所示，圆柱的轴线垂直于轴线垂直于H H面，其上面，其上下底圆为水平面，水平下底圆为水平面，水平投影反映实形，其正面投影反映实形，其正面和侧面投影积聚为一直和侧面投影积聚为一直线。而圆柱面的正面和线。而圆柱面的正面和侧面则用曲面投影的外侧面则用曲面投影的外形
3、线表示。形线表示。(一一)圆柱圆柱二、回转体的投影及其表面取点；二、回转体的投影及其表面取点；XZYHWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vabaabba”(b”)a”(b”)c(d)c(d)cdddcc圆柱的投影圆柱的投影圆柱投影图的绘制：圆柱投影图的绘制：（1 1）先绘出圆柱的对先绘出圆柱的对称线、回转轴线。称线、回转轴线。（2 2）绘出圆柱的顶面）绘出圆柱的顶面和底面。和底面。（3 3）画出正面外形线）画出正面外形线和侧面外形线和侧面外形线。正面外形线正面外形线侧面外形线侧面外形线圆柱表面取点圆柱表面取点 已知圆柱表面上的点已知圆柱表面上的点A A，B B
4、，M M及及N N正面投影正面投影aa、bb、mm和和nn，求它们的其余两投影，求它们的其余两投影。2.2.圆柱表面上取点圆柱表面上取点 a a”a b(b”)b 圆柱表面取线圆柱表面取线例：已知圆柱面上曲线的例：已知圆柱面上曲线的V V面投影，求作该线的面投影，求作该线的H H、W W面投影面投影 。XZY 圆锥的三面投影图圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)1.1.圆锥的投影圆锥的投影圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。一母线绕与它相交的轴线回转而成。如图所示，圆锥轴线垂直如图所示，圆锥轴线垂直
5、H H面，底面为水平面，它面，底面为水平面，它的水平投影反映实形，正的水平投影反映实形，正面和侧面投影由外形线形面和侧面投影由外形线形成直线。成直线。正面外形线正面外形线侧面外形线侧面外形线(二二)圆锥圆锥圆锥投影图的绘制圆锥投影图的绘制：sabsabcdc”d”c(d)s”a(b)（1 1）先绘出圆锥的先绘出圆锥的对称线、回转轴线。对称线、回转轴线。（2 2）在水平投影面上）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚投影和侧面投影积聚为直线。为直线。(3)(3)作出作出锥顶的正面锥顶的正面投影和侧面投影和侧面投影并画出投影并画出正面外形线正面外形线和侧面外形和侧面外
6、形线。线。圆锥的投影圆锥的投影XZYHVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)2.2.圆锥表面取点圆锥表面取点 在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法素线法，一种，一种是是纬圆法。纬圆法。方法一：素线法方法一：素线法 过过M M点及锥顶点及锥顶S S作作一条素线一条素线S,S,先求出先求出素线素线SS的投影的投影,再求再求出素线上的出素线上的M M点。点。XZY圆锥的三面投影图圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)mmm”M 已知圆锥表面的已知圆锥表面的点点M M的正面投影的正面投影m,m,求出求出M M点
7、的其它投影。点的其它投影。过过msms作圆锥表作圆锥表面上的素线，延长交面上的素线，延长交底圆为底圆为11。111”mm”a(b)圆锥的投影及表面上的点圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素线的水平投求出素线的水平投影影s1s1及侧面投影及侧面投影s”1”s”1”。求出求出M M点的水平投点的水平投影和侧面投影。影和侧面投影。XZY圆锥的三面投影图圆锥的三面投影图HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS方法二：纬圆法方法二：纬圆法 过过M M点作一平行于底面点作一平行于底面的水平纬圆，该圆的正面的水平纬圆，该圆的正面投影为过投影为过mm且平行于且平
8、行于abab的直线的直线2323，它，它们的水平投影为一直径等们的水平投影为一直径等于于2323的圆，的圆，m m在圆周在圆周上，由此求出上，由此求出m m及及m”m”。mMmm”m圆锥的投影及表面上的点圆锥的投影及表面上的点sss”aabbc”d”mm”以以s s为中心，以为中心，以smsm为半径画圆，为半径画圆，已知圆锥面上已知圆锥面上M M点点的水平投影的水平投影m m，求出其，求出其mm和和m”m”。作出辅助圆的正面作出辅助圆的正面投影投影2323。2323 求出求出mm及及m”m”。mmmnn()n()例：已知圆锥表面例：已知圆锥表面上点上点M M及及N N的正面投影的正面投影mm和
9、和nn，求它们的，求它们的其余两投影。其余两投影。在圆锥表面上定点在圆锥表面上定点 a a(a”)3 3、圆锥表面取线、圆锥表面取线例：已知圆锥面上曲线的例：已知圆锥面上曲线的V V面投影，求作该线的面投影，求作该线的H H、W W面投影面投影 回本节 回本讲球的表面是球面球的表面是球面。球面。球面是一条圆母线绕过圆心是一条圆母线绕过圆心且在同一平面上的轴线且在同一平面上的轴线回转而形成的。回转而形成的。1.1.圆球的形成圆球的形成 球的三个投影均球的三个投影均为圆为圆，其直径与球直，其直径与球直径相等，但三个投影径相等，但三个投影面上的圆是不同的外面上的圆是不同的外形线。形线。2.2.球的投
10、影球的投影（三）圆球（三）圆球 已知已知M M点的水平点的水平投影，求出其它两投影，求出其它两个投影。个投影。121mm”过过m m作平行于作平行于V V面面的正平圆的正平圆1212。求正平圆的正面求正平圆的正面投影。投影。在纬圆上求出在纬圆上求出mm和和m”m”。oo”o球的投影及表面上的点球的投影及表面上的点mR3.3.球面上取点球面上取点23312231231112323圆球的投影圆球的投影(a)(b)（1）圆环的形成）圆环的形成 圆环面是由一个完整的圆绕轴线回转一周而形成，轴线与圆圆环面是由一个完整的圆绕轴线回转一周而形成，轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。母线在同一平面内，
11、但不与圆母线相交。(四四)圆环圆环（2）圆环的三视图）圆环的三视图正面投影是过轴线的正平面正面投影是过轴线的正平面上两个圆素线和内、外环分上两个圆素线和内、外环分界圆的投影；界圆的投影；侧面投影是过轴线的侧平面侧面投影是过轴线的侧平面上两个圆素线和内、外环分上两个圆素线和内、外环分界圆的投影；界圆的投影；水平投影是两个同心圆，把水平投影是两个同心圆，把圆环分为上、下两部分的投圆环分为上、下两部分的投影。影。由于内圆环的正面和侧面投由于内圆环的正面和侧面投影不可见，所以靠近轴线的影不可见，所以靠近轴线的半圆画虚线。半圆画虚线。（2）圆环的三视图）圆环的三视图（1 1）先绘出圆环的先绘出圆环的对称
12、线、回转轴线、对称线、回转轴线、母线圆心位置、母线圆心位置、母线母线圆心轨迹圆心轨迹。（2 2）画正面投影和侧）画正面投影和侧面投影面投影 (3)(3)画水平投影画水平投影给题给题（3）圆环表面取点圆环表面取点mm（n）（n）圆环表面取点圆环表面取点圆环表面取点圆环表面取点回转体表面取点、取线1判断点在立体的哪一个表面2判断该表面投影有无积聚性3判断点投影的可见性有积聚性，利用积聚性直接求无积聚性，则必须定点先定线回转体表面取点取线与平面体表面取点取线方法相同该辅助线必须该辅助线必须是是纬圆纬圆或素线或素线3-4 回转体的截交线回转体的截交线回转体被平面切割。这个平面称为截平面截平面，截平面与
13、回转体表面的交线称为截交线截交线，截交线围成的平面图形称为截截断面断面。一、回转体截交线的性质共有性：共有性：截交线是截平面与回转体表面共有线。封闭性：封闭性：回转体截交线是由平面曲线或平面曲线与直线构成的封闭平面图形。该平面图形的形状取决于回转面的几何性质以及截平面与回转面的相对位置。二、回转体截交线的求法根据截交线共有性共有性，利用回转体表面取点即可完成截交线投影作图1 将截交线看成截平面上的线即得截交线的正面投影。截截平面积聚性投影的出现等于平面积聚性投影的出现等于截交线的一面投影已知截交线的一面投影已知2 再将截交线看成回转面上的线，利用纬圆在回转面上取点即可完成截交线的其余投影。回转
14、体截交线投影求作步骤：回转体截交线投影求作步骤：1）分析截交线上的形状 2）求截交线上的特殊点，即回转面外形线上的点、截交线自身的特殊点：如椭圆的长、短轴端点，抛物线、双曲线顶点等3）求适当的一般点，即求出特殊点之间的若干点 4）判可见性依次光滑地连接各点的同面投影 三三 、回转体截切的基本形式、回转体截切的基本形式截交线截交线截平面截平面截平面截平面截交线截交线1 1、圆柱的截交线、圆柱的截交线平行于轴线平行于轴线垂直于轴线垂直于轴线倾斜于轴线倾斜于轴线矩形圆椭圆回本节 回本讲11(2)23(3)(4)(4)1234作图步骤：作图步骤：1 1）画全圆柱的侧面）画全圆柱的侧面投影投影2)2)作
15、侧平面与圆柱作侧平面与圆柱交线交线I II III IVI II III IV的的投影投影3)3)作水平面与圆柱作水平面与圆柱交线的投影交线的投影4 4）求两截平面交线）求两截平面交线投影投影5 5）检查加深）检查加深例例如图所示，圆柱被几个平面截切，求出截交线的如图所示，圆柱被几个平面截切，求出截交线的另外两个投影。另外两个投影。回本节 回本讲例：求正垂面截切圆柱的截交线例：求正垂面截切圆柱的截交线 分析分析：1 1）截平面倾斜于圆柱轴线）截平面倾斜于圆柱轴线,截交截交线的空间形状为线的空间形状为注意注意 ：若截平面与圆柱轴线成：若截平面与圆柱轴线成4545相交时，相交时，则则W W面投影为
16、：面投影为：2 2）截平面为正垂面，截交线投影）截平面为正垂面，截交线投影椭圆。椭圆。V V面投影积聚在直线上面投影积聚在直线上H H面投影积聚在圆上面投影积聚在圆上W W面投影则为椭圆面投影则为椭圆圆圆a(d)bcacdbacdbe(f)feef作图步骤：作图步骤：1)1)求特殊点。求特殊点。2)2)求一般位置点。求一般位置点。3)3)依次光滑连接。依次光滑连接。4)4)检查擦除多余图线检查擦除多余图线2 2、圆锥的截交线、圆锥的截交线回本节 回本讲例例 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。另外两个投影。平面与圆柱相交平面与圆柱相交
17、此种截交线为一椭圆。此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的截平面与圆锥前后对称面的交线交线正平线，椭圆的短正平线，椭圆的短轴是垂直于长轴的正垂线。轴是垂直于长轴的正垂线。正平线正垂线正平线正垂线平面与圆锥相交平面与圆锥相交（1 1）先作出截交线上的特殊点。）先作出截交线上的特殊点。12121”2”34345665（2 2）再作一般点。）再作一般点。（3 3）依次光滑连接各点，即得）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。截交线的水平投影和侧面投影。（4 4）补全侧面外形线。）补全侧面
18、外形线。3”4”5”6”78787”8”具体步骤如下：具体步骤如下：3.球的截交线球的截交线平面与球的截交线是圆，圆的直径大小与截平面到平面与球的截交线是圆，圆的直径大小与截平面到球心的距离有关。截交线圆的投影与截平面对投影球心的距离有关。截交线圆的投影与截平面对投影面的相对位置有关。面的相对位置有关。水平面截切水平面截切圆球，截交圆球，截交线线水平投影水平投影为为部分圆弧，侧部分圆弧，侧面椭圆积聚为直线。面椭圆积聚为直线。两个两个侧平面截切侧平面截切圆球，截圆球，截交线侧面投影为交线侧面投影为部分圆弧，部分圆弧，水水平投影平投影积聚为直线。积聚为直线。例例 求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
19、求圆球被截切后的水平投影和侧面投影1)1)确定椭圆长短轴的端点确定椭圆长短轴的端点1 1、2 2、3 3、4 4。在。在V V面投影上作出两点面投影上作出两点1 1、2 2，在其中点作出，在其中点作出两点两点3 3、（、（4 4）。由于两点）。由于两点I I，IIII在球面平行于在球面平行于V V面的最大圆上，由面的最大圆上，由1 1、2 2即可求出即可求出两点两点1 1、2 2。过两点。过两点、在球面上作一水平圆，即可得两点在球面上作一水平圆，即可得两点 、的的H H面投影面投影3 3、4,4,如如图图a a所示。所示。2 2）确定截交线）确定截交线H H面投影与轮廓线的交点面投影与轮廓线的
20、交点5 5、6 6。由于两点。由于两点、在球面平行于面的转向在球面平行于面的转向圆上，由圆上，由5 5、（、（6 6）即可求出）即可求出H H面投影面投影5 5、6 6，如图，如图b b所示。所示。3 3）根据长轴）根据长轴3434和短轴和短轴1212画出椭圆，并检查画出椭圆，并检查5 5、6 6是否在椭圆上，如图是否在椭圆上，如图c c所示。所示。例例 求圆球被正垂面截切后的水平投影和侧面投影求圆球被正垂面截切后的水平投影和侧面投影任意回转体的截交线 任意回转体的纬圆都垂直于轴线，可作一系列纬圆来求截交线上各点的投影，然后按可见性依次光滑连接各点的同面投影即可得到截交线的投影内环面的被切割5 组合回转体求法：求法：组合线段构成的封闭平面图形首先分析组合回转体的回转面由哪些基本回转面哪些基本回转面组成，找找出出它们的分界纬圆分界纬圆；然后分别求分别求各基本回转面的截交线，形状：形状：
