1、 Down2023-1-30Main2023-1-30 Down UpMainReturn3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.2 DFS与与DFT的基本性质的基本性质3.3 频率域采样频率域采样3.4 DFT的应用举例的应用举例2023-1-30 Down UpMainReturn离散信号的傅氏变换即序列的傅氏变换。离散信号的傅氏变换即序列的傅氏变换。d)eX(e21x(n)-jnj x(n)e)X(enjnj 且且X(ej)是是 的连续函数周期为的连续函数周期为2 问题的提出：能否使连续函数问题的提出：能否使连续函数 离散化离散化离散傅氏变换离散傅氏变换（DFT：Discr
2、ete Fourier Transform）即即DFT就是将离散信号的傅氏变换再离散化就是将离散信号的傅氏变换再离散化2023-1-30 Down UpMainReturnn设设xa(t)是一有限时宽信号，时宽为是一有限时宽信号，时宽为Tm，其频谱也是经，其频谱也是经过限带处理的过限带处理的Xa()，其最高频率为，其最高频率为m。如图。如图:m-m0Xa()1tTm0 xa(t)1DFT的引出的引出2023-1-30 Down UpMainReturn对时域信号抽样，则抽样信号频谱为：对时域信号抽样，则抽样信号频谱为：（Xa()的周期延拓）的周期延拓）nsasas)n(XT1)(XT1)(X
3、周期周期s=2/Ts 应满足应满足s2m，即，即TsTm/2，才使频谱不混叠。，才使频谱不混叠。)(X m-ms-s)(X 1/TstTm0 x(n)=xa(t)Ts12023-1-30 Down UpMainReturn频域取样导致时域信号的周期延拓，如图频域取样导致时域信号的周期延拓，如图 k1a1a1)kTt(x1)t(x1)t(x其中，其中，T1为为 的周期，的周期，1=2/T1。)t(x即有即有m-m0Xa(k1)11由图可看出只要满足由图可看出只要满足T1Tm，就不会出现混叠现象。，就不会出现混叠现象。)t(xtTm0T1-T111 同理同理对频谱对频谱Xa()取样，取样间隔取样，
4、取样间隔 1，得到离散化频谱，得到离散化频谱Xa(k 1)。2023-1-30 Down UpMainReturn综合以上二者情况，同时在时域和频域抽样，结果是综合以上二者情况，同时在时域和频域抽样，结果是信信号与频谱都被离散化号与频谱都被离散化，都成为周期序列，如图示：，都成为周期序列，如图示：k0N-N)k(X)k(X1 1/Ts)nT(x)n(xs n0N-N11 2023-1-30 Down UpMainReturnn任一域中数的取样映射到另一域中都为函数的周期性重复。任一域中数的取样映射到另一域中都为函数的周期性重复。n重复周期重复周期=2/取样间隔取样间隔s=2/Ts T1=2/1
5、Ts 时域抽样间隔。时域抽样间隔。T1 时域重复周期。时域重复周期。1频域抽样间隔。频域抽样间隔。s 频域重复周期。频域重复周期。2023-1-30 Down UpMainReturn周期序列的离散傅氏级数周期序列的离散傅氏级数 1N0kknN2je)k(XN1)k(XIDFS(n)x 1N0nknN2je)n(x)n(xDFS)k(X则有则有 N2jNeW knNknN2jWe 对于对于k和和n都是以都是以N为周期的函数为周期的函数 knNW其中，令其中，令 5.3.2W)k(XN11N0kknN 4.3.2W)n(x1N0nknN 2023-1-30 Down UpMainReturnDF
6、T导出导出n模的概念：用模的概念：用(n)N 表示（表示（n模模N）n数学上就是数学上就是n对对N取余，令取余，令n=n1+mN，则有，则有(n)N=n1)n(x)7(x)25(x)25(x9 )4(x)5(x)5(x9 是周期为是周期为N=9的序列，求的序列，求n=25，n=-5两数对两数对N的余数的余数 例：例：n=25=29+7 故故(25)9=7n=-5=-1 9+4 故故(-5)9=42023-1-30 Down UpMainReturn设设x(n)是个长度为是个长度为N的序列，即在的序列，即在0nN-1区间内，有非零值区间内，有非零值利用矩形序列利用矩形序列 else 01-Nn0
7、 1 )n(RN可有可有 r)rNn(x)n(xN)n(x)n(x 或或 else 01-Nn0 )n(x)n(x有有)n(R)n(x)n(xN 或或0nN-1称称为主值区间为主值区间（或称为（或称为 的主值序列）的主值序列）)n(x2023-1-30 Down UpMainReturn二者关系与二者关系与x(n)和和 相同；相同；)n(x同理，以同理，以N为周期的频域序列为周期的频域序列)k(X r)rNk(X)k(X)k(R)k(X)k(XN 或或N)k(X)k(X else 01-Nk0 )k(X)k(X或或也可看成是对有限长序列也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓。的周期延拓。即有
8、即有2023-1-30 Down UpMainReturn在式中看到，虽然是对周期序列求和，但求和范围都是其在式中看到，虽然是对周期序列求和，但求和范围都是其主值区间。主值区间。故完全适用于主值序列故完全适用于主值序列X(k)与与x(n)，因而可得到新的定义。，因而可得到新的定义。4.32.W)n(x)k(X1N0nknN 5.32.W)k(XN1(n)x1N0kknN 已知已知离散傅氏级数离散傅氏级数2023-1-30 Down UpMainReturn 3.1.1 1-Nk0 W)n(x)n(xDFT)k(X1N0nknN 3.1.2 1-Nn0 W)k(XN1)k(XIDFT)n(x1N
9、0kknN 定义：定义：处理的信号是有限时宽的，其频谱也是限带的处理的信号是有限时宽的，其频谱也是限带的;且要求且要求 与与 无混叠现象无混叠现象;)k(X)n(x要保证要保证T1Tm(1m)和和s2m2023-1-30 Down UpMainReturn )n(xDFS)k(X )n(xDFS)k(X11 )n(xDFS)k(X22 且且设设 、与与 都是周期为都是周期为N的序列的序列)n(x)n(x1)n(x2 )n(xb)n(xaDFS21 1、线性、线性其中其中a、b为任意常数，为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为所得到的频域序列也是周期序列，周期为N)k(Xb)k(Xa2
10、1 一、一、DFS性质性质2023-1-30 Down UpMainReturn )mn(xDFS 2、序列的移位（循环移位）、序列的移位（循环移位）)k(XWmkN )k(XemkN2j 时域时域证明：证明：1N0nnkNW)mn(x)mn(xDFS令令 i=n+m，得，得 n=i-m)mn(xDFS m1NmimkNikNWW)i(x m1NmiikNmkNW)i(xW)k(XWmkN )rNmn(xDFS)mn(xDFS 2023-1-30 Down UpMainReturn频域移位频域移位)n(xe)n(xW)lk(XIDFSnlN2jnlN )n(xWDFSlnN证明：证明：1N0n
11、knNlnNW)n(xW 1N0nn)kl(NW)n(x)rNlk(XIDFS)lk(XIDFS 令令k+l=i，则上式，则上式)i(XW)n(x1N0ninN )lk(X 3、调制特性、调制特性)lk(X)n(xWDFSnlN 2023-1-30 Down UpMainReturn4、周期卷积、周期卷积 )k(X)k(X)k(Y211 1N0m2111)mn(x)m(x)k(YIDFS)n(y即即)n(x)n(x)n(y212 1N0l2122)lk(X)l(XN1)n(yDFS)k(Y若若则则即即则则如果如果)n(x)n(x)n(x)n(x)n(y12211 )k(X)k(XN1)k(X)
12、k(XN1)k(Y12212 2023-1-30 Down UpMainReturn证明：证明：k)mn(N21N0k1N0m11W)k(X)m(xN1)n(y )kX)k(XIDFS)n(y211（代入代入则则mkN1N0m11W)m(x)k(X knN1N0k21W)k(X)k(XN1 1N0m1N0kk)mn(N21W)k(XN1)m(x)mn(x)m(x21N0m1 2023-1-30 Down UpMainReturn周期卷积的计算（作图法）周期卷积的计算（作图法）m0N)m(x2m0N)m(x1m0N)m(x2 m0N)m1(x2)n(yn0N)n(x)n(x)n(y211 m0N
13、)m2(x2 1N0m21)mn(x)m(x2023-1-30 Down UpMainReturn序列的线性卷积序列的线性卷积与与周期卷积周期卷积之间的几点区别之间的几点区别 线性卷积对参与卷积的两序列无要求；线性卷积对参与卷积的两序列无要求；周期卷积要求卷积两序列是周期相同的。周期卷积要求卷积两序列是周期相同的。线性卷积求和范围由两序列长度和所在区间决定；线性卷积求和范围由两序列长度和所在区间决定；周期卷积求和范围是一个周期。周期卷积求和范围是一个周期。线性卷积得到的序列长度由两序列决定；线性卷积得到的序列长度由两序列决定；周期卷积的结果仍是周期序列。周期卷积的结果仍是周期序列。2023-1
14、-30 Down UpMainReturn)n(x)n(x)n(xoe )n(x)n(x21)n(xe )n(x)n(x21)n(xo 周期均为周期均为N其中其中5、对称性、对称性共轭对称共轭对称和和共轭反对称共轭反对称概念对周期序列也适用。概念对周期序列也适用。是复序列是复序列)n(x)1()k(X)n(xDFS )k(X)n(xDFS )k(X)n(xReeDFS)k(X)n(xImjoDFS)k(XRe)n(xDFSe)k(XImj)n(xDFSo)k(X)k(X)k(Xoe 2023-1-30 Down UpMainReturn是实序列是实序列)n(x)2()k(XRe)n(xDFSe
15、)k(XImj)n(xDFSo)k(X)k(X 实序列的实序列的DFS是共轭对称的是共轭对称的)k(XRe)k(XRe )k(XIm)k(XIm|)k(X|)k(X|)k(Xarg)k(Xarg 实序列实序列DFS的模与实部是偶函数，幅角与虚部是奇函数的模与实部是偶函数，幅角与虚部是奇函数偶分量偶分量奇分量奇分量2023-1-30 Down UpMainReturn二、二、DFT性质性质设设 )k(X)n(xDFT11 )k(X)n(xDFT22 1、线性、线性 )k(bX)k(aX)n(bx)n(axDFT2121 说明：说明：若若x1(n)与与x2(n)长度都为长度都为N，并在，并在 0N
16、-1内有值，则结果长度也是内有值，则结果长度也是N若若x1(n)长度为长度为N1，x2(n)为为N2，则结果的，则结果的长度长度 N=maxN1，N2计算时，以计算时，以N序列长度，时宽不够要补零序列长度，时宽不够要补零2023-1-30 Down UpMainReturn2、序列的循环移位（圆周）、序列的循环移位（圆周）某有限长序列某有限长序列x(n)，长，长度为度为N，求循环左移，求循环左移3位后的序列位后的序列x1(n)。x(n)nN-10N一个有限长序列一个有限长序列x(n)的循环移位是指用它的长度的循环移位是指用它的长度N为周期，为周期，)n(x延拓成周期信号延拓成周期信号，并将其加
17、以移位，并将其加以移位，然后取主值区间然后取主值区间0nN-1上的序列值。上的序列值。例例3-2-1:2023-1-30 Down UpMainReturn(1)周期延拓周期延拓nN-10N)n(xn0N)3n(x(3)取主值区间取主值区间(2)左移左移3位位x1(n)n0N得到得到x1(n)2023-1-30 Down UpMainReturn同理，同理，设设X2(k)是是X(k)向左循环移向左循环移l位得到的序列，位得到的序列，则有则有循环移位后的循环移位后的DFT设设x1(n)是是x(n)向左循环移向左循环移m位得到的序列，位得到的序列，则有则有)k(XW)k(XkmN1 )n(xW)n
18、(xnlN2 2023-1-30 Down UpMainReturn3、循环卷积（圆周卷积）、循环卷积（圆周卷积）(1)、设、设x1(n)与与x2(n)是两个长度为是两个长度为N的有限长序列，的有限长序列，则循环卷积则循环卷积y(n)为为)n(x)n(x)n(y21 即有限长序列即有限长序列x1(n)与与x2(n)的的循环卷积循环卷积就是周期序列就是周期序列 与与 周期卷积的周期卷积的主值序列主值序列。)n(x1)n(x2)n(R)mn(x)m(xN1N0m21 )n(R)mn(x)m(xNN1-N0m21 循环卷积的循环卷积的结果仍然是结果仍然是N点点序列序列2023-1-30 Down U
19、pMainReturn)n(x)n(x)n(y12 满足满足交换律交换律设设)k(X)n(x1DFT1)k(X)n(x2DFT2)k(Y)n(yDFT则则)n(x)n(x)n(y21 若有若有)n(x)n(x)n(y21 则则)k(X)k(X)k(Y21 若有若有)k(X)k(XN1)k(Y21 (2)、性质、性质2023-1-30 Down UpMainReturn作图法作图法：同周期卷积，然后取主值区间序列值。：同周期卷积，然后取主值区间序列值。同心圆法同心圆法：将将x1(n)和和x2(n)分布在两个分布在两个同心圆同心圆上，上，内圆内圆按按顺时针顺时针方向刻度方向刻度x1(n)，x1(0
20、)x1(2)x1(1)x2(0)x2(1)x2(2)x2(N-1)外圈旋转方向外圈旋转方向(3)、计算方法：、计算方法：将对应值相乘后并相加得到将对应值相乘后并相加得到y(0)将将外圆顺时针外圆顺时针转一位，相乘再加，转一位，相乘再加，得到得到y(1)，外圆外圆按按逆时针逆时针方向刻度方向刻度x2(n)，并使并使x1(0)与与x2(0)对齐。对齐。一直转一直转N-1位，求得位，求得y(N-1)2023-1-30 Down UpMainReturn例例3-2-2设设x1(n)=1,2,3,4,5，x2(n)=6,7,8,9，计算，计算5点循环卷积点循环卷积解解：x2(n)为为4点，在其尾部填零使
21、其成为点，在其尾部填零使其成为5点序列，点序列，x2(n)=6,7,8,9,01234567890画同心圆画同心圆y(0)=1*6+2*0+3*9+4*8+5*7=100y(1)=1*7+2*6+3*0+4*9+5*8=95y(2)=1*8+2*7+3*6+4*0+5*9=85y(3)=1*9+2*8+3*7+4*6+5*0=70y(4)=1*0+2*9+3*8+4*7+5*6=100y(n)=100,95,85,70,100 678902023-1-30 Down UpMainReturnn利用循环移位特性利用循环移位特性)n(R)mn(h)m(x)n(h)n(x)n(yN1-N0mN 写成
22、矩阵形式写成矩阵形式 )1N(y)2(y)1(y)0(y矩阵法矩阵法（类似序列排列法）（类似序列排列法）)0(h)3N(h)2N(h)1N(h)3(h)0(h)1(h)2(h)2(h)1N(h)0(h)1(h)1(h)2N(h)1N(h)0(h )1N(x)2(x)1(x)0(x2023-1-30 Down UpMainReturn)n(x)n(x)n(y21 450045504)n(y y(n)=19,13,22 例例3-2-3设设x1(n)=1,2,3 x2(n)=4,5，计算，计算3点循环卷积点循环卷积解解：x2(n)为为2点，在其尾部填零使其成为点，在其尾部填零使其成为3点序列，点序列
23、，x2(n)=4,5,0 321 221319矩阵法矩阵法2023-1-30 Down UpMainReturn4、对称性、对称性 周期共轭对称分量周期共轭对称分量 xep(n)，xep(n)=x*ep(N-n)，0nN-1 周期共轭反对称分量周期共轭反对称分量xop(n)，xop(n)=-x*op(N-n)，0nN-1)n(R)n(x)n(xNeep)n(R)n(x)n(xNoop 由于有由于有)n(R)n(x)n(xN)n(x)n(x)n(xopep 或定义：或定义：可导出可导出对于频域序列有完全类似的定义。对于频域序列有完全类似的定义。性质性质2023-1-30 Down UpMainR
24、eturn假设假设)k(X)n(xDFTDFTNN(1)x(n)X(k)R(k)k(X)n(xRe )3(epDFT)k(X)n(xImj )4(opDFT)k(XRe)n(x )5(DFTep)k(XImj)n(x )6(DFTopNNX(Nk)R(k)DFTNN(2)x(n)R(n)X(k)综上所述可得到综上所述可得到x(n)与与X(k)的的奇偶虚实奇偶虚实关系关系2023-1-30 Down UpMainReturnx(n)或或X(k)X(k)或或x(n)偶对称偶对称偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对称实数实数实部为偶对称、虚部为奇对称实部为偶对称、虚部为奇对称虚数虚数实部为奇对称、虚部
25、为偶对称实部为奇对称、虚部为偶对称实数偶对称实数偶对称实数偶对称实数偶对称实数奇对称实数奇对称虚数奇对称虚数奇对称虚数偶对称虚数偶对称虚数偶对称虚数偶对称虚数奇对称虚数奇对称实数奇对称实数奇对称x(n)与与X(k)的的奇、偶、虚、实奇、偶、虚、实关系关系2023-1-30 Down UpMainReturn三、三、Z变换和离散傅氏变换的关系变换和离散傅氏变换的关系Z变换与变换与DFT(或或DFS)的关系是的关系是取样取样和和内插内插的关系。的关系。1.已知已知序列的傅氏变换就是单位圆上的序列的傅氏变换就是单位圆上的Z变换变换。离散傅氏变换是对序列傅氏变换的离散化，离散傅氏变换是对序列傅氏变换的
26、离散化，即对单位圆即对单位圆Z变换的离散化。变换的离散化。那么那么DFT是其是其Z变换在单位圆上的采样变换在单位圆上的采样。2023-1-30 Down UpMainReturn设设x(n)是一长度为是一长度为N的有限序列，的有限序列，1N-0nknN2-j1N0nknNx(n)eW)n(x)k(X其其Z变换为变换为 1N0nnnnz)n(xz)n(x)z(X则其则其DFT为为显然，极点为显然，极点为z=0，收敛域包含单位园，收敛域包含单位园2023-1-30 Down UpMainReturn在在z平面上，我们将单位圆平面上，我们将单位圆 z=ej(0 2)进行进行N等分，等分，如图如图 即
27、令即令kN2 k=0-1将将 代入代入X(z)kN2jez )k(Xz)n(x|)z(X1N0nknN2jezkN2j Im(z)Re(z)1结论：结论：有限长序列的有限长序列的DFT是其是其Z变换在单位圆上的采样。变换在单位圆上的采样。2023-1-30 Down UpMainReturn)n(R)n(x)n(xN 即绕单位圆一圈一圈地对即绕单位圆一圈一圈地对z变换进行取样，就得到变换进行取样，就得到kN2 令令k由由-+重复重复0N-1，如果将如果将x(n)作为作为 的一个周期的一个周期)n(x)k(R)k(X)k(XN )k(X且有且有2023-1-30 Down UpMainRetur
28、nn设任意序列设任意序列x(n)的的Z变换为变换为nnX(z)x(n)z 且且X(z)收敛域包含单位圆（即收敛域包含单位圆（即x(n)存在傅里叶变换）。存在傅里叶变换）。在单位圆上对在单位圆上对X(z)等间隔采样等间隔采样N点得到点得到2jkN2jknNz enX(k)X(z)x(n)e,0kN-1(3.3.1)x(n)=IDFTX(k)，0nN-12023-1-30 Down UpMainReturnn由由DFT与与DFS的关系可知，的关系可知，X(k)是是x(n)以以N为周期，延拓为周期，延拓而成的序列而成的序列 的离散傅里叶级数的离散傅里叶级数 的主值序列，即的主值序列，即x(n)NNN
29、N 1N 1knknNNk 0k 0X(k)X(k)DFSx(n)X(k)X(k)R(k)x(n)x(n)IDFSX(k)11X(k)WX(k)WNN X(k)2023-1-30 Down UpMainReturn将式将式(3.3.1)代入上式得代入上式得N 1kmknNNk 0 mN 1k(m n)Nmk 01x(n)x(m)WWN1x(m)WN 式中式中 N 1k(m n)Nk 01mnrN1WN0else 2023-1-30 Down UpMainReturnNNrx(n)x(n)R(n)x(nrN)R(n)(3.3.2)(3.3.3)N 1k 0 x(n)x(nrN)n如果序列如果序列
30、x(n)的长度为的长度为M，则只有当频域采样点数，则只有当频域采样点数NM时，才有时，才有nx(n)=IDFTX(k)=x(n)n即可由频域采样即可由频域采样X(k)恢复原序列恢复原序列x(n)，否则产生时域混，否则产生时域混叠现象。这就是所谓的频域采样定理。叠现象。这就是所谓的频域采样定理。2023-1-30 Down UpMainReturnX(z)可由可由X(k)通过一个通过一个内插式内插式精确的精确的恢复恢复 1N0nnz)n(x)z(X 1N0kn1N0nnkNzW)k(XN1 1N0k1kNNNkNzW1zW1)k(XN1 1N0kk)z()k(XN1对括号内求和对括号内求和用用I
31、DFT代入代入x(n)为内插函数为内插函数1kNNkzW1z1)z(1N0nn1N0knkNz W)k(XN1WN-Nk=1 knN2-jknNeW 其中其中上式称为用上式称为用X(k)表示表示X(z)的内插公式，的内插公式，所以所以x(n)的的Z变换变换也也可由可由DFT求得。求得。设序列设序列x(n)长度为长度为M，在频域在频域02 之间等间隔采样之间等间隔采样N点，点，NM，则有则有 2023-1-30 Down UpMainReturnn当当z=ej时，时，H(z)的内插函数和内插公式就成为的内插函数和内插公式就成为x(n)的的傅里叶变换傅里叶变换X(ej)的内插函数和内插公式，即的内
32、插函数和内插公式，即j Nkj(2 k/N)N 1jkk 011e()N 1eX(e)X(k)()进一步化简可得进一步化简可得 N 1jk 0N 1j()22X(e)X(k)(k)N1 sin(N/2)()eN sin(/2)2023-1-30 Down UpMainReturnnDFT的快速算法的快速算法FFT的出现，使的出现，使DFT在数字通在数字通信、语言信号处理、图像处理、功率谱估计、信、语言信号处理、图像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。泛应用。20
33、23-1-30 Down UpMainReturn一、循环卷积的应用一、循环卷积的应用1、用循环卷积求线性卷积、用循环卷积求线性卷积n设设x(n)是长度为是长度为K点的有限长序列，点的有限长序列，h(n)是长度为是长度为M的的限长序列，二者线性卷积限长序列，二者线性卷积N-1NNNNm 0y(n)x(n)h(n)x(m)h(nm)R(n)K 1m 0y(n)x(n)h(n)x(m)h(nm)n 若将若将x(n)与与h(n)均补零，使其增长为均补零，使其增长为N点序列，再进行点序列，再进行 N点循环卷积点循环卷积y(n)的的长度为长度为N=M+K-1。2023-1-30 Down UpMainR
34、eturnNN-1NNNm 0y(n)x(n)h(n)x(m)h(nm)R(n)N-1NNm 0rx(m)h(nmrN)R(n)N 1Nrm 0 x(m)h(nrNm)R(n)n(R)rNn(h)n(xNr r)rNn(x)n(xNx(n)x(n)n(R)rNn(yNr 2023-1-30 Down UpMainReturn)n(R)rNn(y)n(yNrN 其中其中 r)rNn(y结论：结论：N点的循环卷积是线性卷积以点的循环卷积是线性卷积以N为周期的周期延拓为周期的周期延拓 的主值序列的主值序列。当当NM+K-1时，有时，有yN(n)=y(n)若若NM+K-1时，则产生混叠现象（失真）。时
35、，则产生混叠现象（失真）。为线性卷积为线性卷积y(n)以以N为周期的周期延拓。为周期的周期延拓。2023-1-30 Down UpMainReturn例例3-4-1：已知输入序列：已知输入序列x(n)和系统单位冲激响应和系统单位冲激响应h(n)如图，如图，试求其输出序列试求其输出序列y(n)解解：y(n)=x(n)*h(n)序列排列法序列排列法 x(n)=1,1,1,1,1 h(n)=1,1,1 1n0 1 2 3 4x(n)K=51n0 1 2h(n)M=32023-1-30 Down UpMainReturn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1x(0)x(1)x(2
36、)x(3)x(4)1 1 1 1 1h(2)h(1)h(0)1 1 11n0 1 2 3 4y(n)5 623长度为长度为N=M+K-1=71 1 1y(0)=1y(1)=2y(2)=3 y(3)=3 y(4)=3 y(5)=2y(6)=12023-1-30 Down UpMainReturn )6(y)5(y)4(y)3(y)2(y)1(y)0(y循环卷积循环卷积：将将x(n)与与h(n)均补零，使之增长为均补零，使之增长为N=3+5-1=7点的序列点的序列x(n)h(0)h(6)h(5)h(4)h(3)h(2)h(1)x(n)=1,1,1,1,1,0,0 h(n)=1,1,1,0,0,0,
37、0 1110000011100000111000001110000011110000111100001 0011111 12333212023-1-30 Down UpMainReturn1n01234x(n)K=51n012h(n)M=3不同长度不同长度的循环卷积的循环卷积1n012345623x(n)h(n)1n012345623x(n)h(n)N=9781n012345623N=7x(n)h(n)n012343N=5x(n)h(n)2023-1-30 Down UpMainReturn 重叠相加法重叠相加法 设设h(n)的长度为的长度为M，x(n)是长序列，将是长序列，将x(n)分为分为
38、L段，段，每段长度为每段长度为N，将每段分别与，将每段分别与h(n)进行线性卷积，然后进行线性卷积，然后将结果重叠相加。将结果重叠相加。设设x(n)分为分为L段段 x0(n),x1(n),xk(n),xL-1(n)xk(n)表示为表示为 else 01N)1k(nkN )n(x)n(xk2、长序列的分段卷积、长序列的分段卷积2023-1-30 Down UpMainReturn)n(h)n(x)n(y 1-L0kk)n(x)n(x则有则有 每一段每一段yk(n)的长度为的长度为M+N-1，简单相加，简单相加(M+N-1)L点点如果不分段卷积结果长度应为如果不分段卷积结果长度应为NL+M-1所以
39、所以不是简单相加而是重叠相加不是简单相加而是重叠相加。每段卷积的最后每段卷积的最后M-1个点必然和下一段最前面的个点必然和下一段最前面的M-1个点重合个点重合 1-L0kk)n(h)n(x)n(h)n(x1-L0kk 1L0kk)n(y2023-1-30 Down UpMainReturn例例3-4-2：已知输入：已知输入 x(n)和单位冲激响应和单位冲激响应 h(n)，如图，如图1n012h(n)M=3n01234x(n)56789 10 11 12 13 14 15 16 17K=5解解：序列：序列x(n)为为18点，点，可分成可分成4段，每段为段，每段为5点长，点长，M+K-1=7 每段
40、计算用线性卷积或循环卷积都可每段计算用线性卷积或循环卷积都可2023-1-30 Down UpMainReturn分分别别求求得得n01234y0(n)56123n06789 10 11y1(n)1235n012 13 14 15 16y2(n)12310 11n013 14 15 16y3(n)12317 18 192023-1-30 Down UpMainReturn 30kk)n(y)n(yn0123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19123)n(y)n(y)n(y)n(y3210 重叠相加重叠相加2023-1-30 Down UpMainReturn
41、n设设h(n)长度为长度为M，x(n)是长序列，将是长序列，将x(n)分为分为L段，每段长度段，每段长度Kn将第一段前面补零，使其长度为将第一段前面补零，使其长度为M+K-1点，其余各段前面点，其余各段前面M-1个点均保留个点均保留 x(n)对应的值，长度亦为对应的值，长度亦为M+K-1点；点；n分段进行分段进行M+K-1点点循环卷积循环卷积，舍去每段前，舍去每段前M-1个值，相加。个值，相加。例例3-4-3：已知输入：已知输入 x(n)和单位冲激响应和单位冲激响应 h(n)，如图，如图重叠保留法重叠保留法1n012h(n)M=3n01234x(n)56789 10 11 12 13 14 1
42、5 16 17K=52023-1-30 Down UpMainReturn前面保留前面保留M-1=2点点n013 14 15 16 17x3(n)第一段前面补零第一段前面补零M-1=2点点M+K-1=7n01234x0(n)n0 x1(n)6789 10 114 53n0 x2(n)789 10 1113 1412x0(n)=0,0,1,1,1,1,1x1(n)=1,1,1,1,1,1,1x2(n)=1,1,1,1,1,1,1x3(n)=1,1,1,1,1,0,02023-1-30 Down UpMainReturn舍去舍去n01234y0(n)n06789y1(n)345n01489 10y
43、2(n)11 12 13n018 1913 14 15 16 17y3(n)舍去每段前舍去每段前M-1=2个值个值2023-1-30 Down UpMainReturn 30kk)n(y)n(yn0123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19123两种方法结果相同两种方法结果相同：重叠保留法的要点：重叠保留法的要点舍去相加舍去相加2023-1-30 Down UpMainReturn二、用二、用DFT计算线性卷积计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)x(n)LTI系统系统h(n)k(H)n(hDFT)k(X)n(xDFT若若)k(Y)n(h)n(x)n(yN
44、DFTN 则则)k(H)k(X)k(YN 设设n 利用利用DFT来减化计算工作量来减化计算工作量 2023-1-30 Down UpMainReturn循环卷积循环卷积yN(n)在在一定条件下一定条件下等于有限长序列的线性卷积。等于有限长序列的线性卷积。因此因此 yN(n)=y(n)=x(n)*h(n)yN(n)=IDFTX(k)H(k)H(k)X(k)N点点DFTN点点DFTh(n)x(n)长度长度K长度长度MN点点IDFTy(n)条件条件NK+M-1X(k)H(k)相相乘乘2023-1-30 Down UpMainReturnn所谓所谓信号的谱分析信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续
45、域傅就是计算信号的傅里叶变换。连续域傅里叶分析显然不适合用计算机直接进行计算，应用受限；里叶分析显然不适合用计算机直接进行计算，应用受限；而而DFT是是时域和频域均离散化时域和频域均离散化的变的变换，适合数值运算，成换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。为分析离散信号和系统的有力工具。1、用、用DFT对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析工程实际中，经常遇到的连续信号工程实际中，经常遇到的连续信号xa(t)，其频谱函数，其频谱函数Xa(j)也是连续函数。也是连续函数。n严格意义上讲，严格意义上讲，持续时间有限的带限信号是不存在的持续时间有限的带限信号是不存在的。下。下面分析中，
46、假定面分析中，假定xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号；限信号；DFT分析连续时间信号必为近似。分析连续时间信号必为近似。三、用三、用DFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析2023-1-30 Down UpMainReturnj2 ftaaaX(jf)FTx(t)x(t)edt N 1j2 fnTan 0X(jf)Tx(nT)e 设连续信号设连续信号xa(t)持续时间和持续时间和Tm，最高频率为，最高频率为fm，如图所示，如图所示xa(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为对对xa(t)进行采样，进行采样，T1/2fm(fs=1/T2fm)，得，得 x(n
47、)=xa(nT)。设共采样设共采样N点，并对点，并对Xa(jf)作零阶近似作零阶近似(t=nT,dt=T)得得2023-1-30 Down UpMainReturn对对X(jf)在区间在区间0,fs上等间隔采样上等间隔采样N点，采样间隔为点，采样间隔为F，如下图如下图所示所示Xa(jf)仍是仍是f的连续周期函数，的连续周期函数，x(n)和和X(jf)如图所示如图所示2023-1-30 Down UpMainReturn2N 1jknNan 0X(jkF)Tx(nT)e 0kN-1 aaX(k)X(jkf),x(n)x(nT)令令 则则 2N 1jknNaaan 01x(n)x(nT)IDFTX
48、(k)FX(k)eT sf1FNNT由于由于NT=Tm，所以所以(1)(2)将将f=kF和式和式(1)代入代入X(jf)中可得中可得Xa(jf)的采样的采样m1FT 参数参数fs、Tm、N和和F满足如下关系式：满足如下关系式：2N 1jknNan 0X(k)Tx(n)eT DFTx(n)(3)(4)2023-1-30 Down UpMainReturnn(3)式表明，连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采式表明，连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样并进行样并进行DFT再乘以再乘以T近似得到；近似得到；n时域采样信号可由时域采样信号可由(4)式得出；式得出；n在满足采样定理的条件下，可由在满
49、足采样定理的条件下，可由Xa(k)恢复恢复Xa(jf)或或xa(t)；n直接分析直接分析Xa(k)看不到看不到Xa(jf)的全部频谱特性，而只能看到的全部频谱特性，而只能看到N个采样点的频谱特性，这就是所谓的个采样点的频谱特性，这就是所谓的栅栏效应；栅栏效应；n如果如果xa(t)持续时间无限长，上述分析中要进行截断处理，持续时间无限长，上述分析中要进行截断处理，所以会产生所以会产生频率混叠频率混叠和和泄漏现象泄漏现象。2023-1-30 Down UpMainReturnn理想低通滤波器的单位冲激响应理想低通滤波器的单位冲激响应ha(t)及其频响函数及其频响函数Ha(jf)如图所示如图所示as
50、in(t)h(t)t 2023-1-30 Down UpMainReturnn现在用现在用DFT来分析来分析ha(t)的频率响应特性。由于的频率响应特性。由于ha(t)的持续时的持续时间为无穷长，所以要截取一段间为无穷长，所以要截取一段Tm，假设，假设Tm=8s，采样间隔，采样间隔T=0.25s(即采样频率即采样频率fs=4Hz)，采样点数，采样点数N=Tm/T=32。此时频。此时频域采样间隔域采样间隔F=1/NT=0.125Hz。则。则 H(k)=TDFTh(n),0k31 其中其中 h(n)=ha(nT)R32(n)2023-1-30 Down UpMainReturnn由图可见，低频部分
