1、12 矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念本概念,矩阵的对角化问题是矩阵理论的重要组成部矩阵的对角化问题是矩阵理论的重要组成部分本章利用线性方程租的求解方法分本章利用线性方程租的求解方法,提出矩阵的特提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法征值与特征向量的有效计算方法,并给出矩阵对角并给出矩阵对角化的条件化的条件,介绍实对称矩阵对角化的方法介绍实对称矩阵对角化的方法.本章是理本章是理论与应用相结合的重要的一章论与应用相结合的重要的一章,内容丰富内容丰富,综合性强综合性强,难度较大难度较大.本章的主要内容本章的主要内容4.1 矩阵的特征值与特
2、征向量矩阵的特征值与特征向量4.2 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化4.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化34一、特征值与特征向量的基本概念一、特征值与特征向量的基本概念及计算方法及计算方法4.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质三三.小结与思考题小结与思考题5一一.特征值与特征向量的基本概念及计算方法特征值与特征向量的基本概念及计算方法存在存在非零非零 n 维列向量维列向量 X,使得使得于特征值于特征值 的一个特征向量的一个特征向量.定义定义4.1 设设 A是是 n 阶方阵阶方阵,A XX 成立成立,则称则称 为矩
3、阵为矩阵A的一个特征值的一个特征值,若对于数域若对于数域 F F 中的数中的数 ,X为矩阵为矩阵A的对应的对应1.1.特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义 对于任意对于任意 n 阶矩阵阶矩阵 A，是否一定有特征值与特征，是否一定有特征值与特征向量呢？向量呢？因为因为，例如，在实数域上，对于矩阵例如，在实数域上，对于矩阵 231,5,141XA 231141XA 51551X 故由定义故由定义4.1知，知，=5是是A的一个特征值的一个特征值,是是 A 的属于特征值的属于特征值 =5的特征向量；的特征向量；11X 6122=2XX 对于向量，对于向量，1323131=,31XXXX 1 1
4、，有，有1232142XA 11025102X 223-114-1XA 2-5-15-5-1X 133132314AX 5133351335X 7(2)方阵方阵 A 的与特征值的与特征值 对应的特征向量不唯一对应的特征向量不唯一,即即注注1(1)在讨论矩阵在讨论矩阵 A 的特征值与特征向量问题时的特征值与特征向量问题时,A是是方阵方阵;(3)一个矩阵是否有特征值与特征向量一个矩阵是否有特征值与特征向量,与考虑问题与考虑问题的数域有关，我们只在实数域上研究矩阵的特征值与特的数域有关，我们只在实数域上研究矩阵的特征值与特征向量征向量如果向量如果向量X X 是矩阵是矩阵A的属于特征值的特征向量的属于
5、特征值的特征向量,则则向量向量kX 都是矩阵都是矩阵 A 的属于特征值的特征向量的属于特征值的特征向量;(0)k 故由定义故由定义4.1知，知，=5=5也是也是X1、X2、X3 的特征值的特征值,即对于即对于 =5=5的特征向量是不唯一的的特征向量是不唯一的.892.特征值与特征向量的计算方法特征值与特征向量的计算方法 AXX 因因为为则则 EA XO 已知已知0,X 所以齐次线性方程组有非零解，则所以齐次线性方程组有非零解，则0EA EA 的的行行列列式式定义定义4.2 n nijn nAan 设设为为 阶阶矩矩阵阵,EA 为为A的特征矩阵的特征矩阵.称称矩矩阵阵称为矩阵称为矩阵 A的的特征
6、多项式特征多项式.()fEA=方程方程 称为称为A的的0EA 的特征方程的特征方程,方程方程 的根称为的根称为A的特征根的特征根 0EA 10 1112121222120nnnnnnaaaaaaafEaaA 命题命题 矩阵矩阵A的特征值就是的特征值就是A的特征根的特征根根据多项式理论，在复数范围内，矩阵根据多项式理论，在复数范围内，矩阵A的的特征方程特征方程有有n个特征根个特征根(k重根算重根算k个个根根)A的关于特征值的关于特征值 的全部的全部特征向量就是齐次线性方程组特征向量就是齐次线性方程组()EA X的全部非零解向量的全部非零解向量11求特征值、特征向量的方法求特征值、特征向量的方法:
7、(2)0EA 由由求出求出的的全部根全部根 ,即为特征值即为特征值;(3)把得到的特征值把得到的特征值 i分别代入齐次线性方程组分别代入齐次线性方程组求齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解的非零解X,iEA X即为所求特征向量即为所求特征向量.（1）计算）计算 n 阶矩阵阶矩阵A的特征多项式的特征多项式();fEA=1122(1,2,)iin rn rXkkkis解解A的的特特征征多多项项式式为为3113EA 2(3)1 286(4)(2)122,4.A 所所以以 的的特特征征值值为为1=2,当当时时 对对应应的的特特征征向向量量应应满满足足1232101320 xx 例例1 31.13A
8、求求的的特特征征值值和和特特征征向向量量1213 121200 xxxx 即即12,xx 解解得得 所所以以对对应应的的特特征征向向量量可可取取为为24,当当时时 由由12,xx 解解得得 1234101340 xx 12110110 xx 即即 21.1X 11.1X 所所以以对对应应的的特特征征向向量量可可取取为为14解解 第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A A的特征方程的特征方程,求出特征值求出特征值.EA 1104300102 例例2 求矩阵求矩阵的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.110430102A 221015第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组
9、代入齐次线性方程组 ,EA XO 求非零解求非零解.解得特征值为解得特征值为1232,1齐次线性方程组为齐次线性方程组为12 当当时时,2EA X 系数矩阵系数矩阵3102410100EA 100010000163,x 为为自自由由未未知知量量120 xx，31x 令令1001X 111(0k X k 所所以以，为为常常数数）是对应于是对应于特特征征向向量量得基础解系得基础解系12 的的全全部部齐次线性方程组为齐次线性方程组为231当当时时，EA X 系数矩阵系数矩阵17210420101EA 10101200013232xxxx 得基础解系得基础解系2121X 222 (0k Xk 所以为常
10、数）所以为常数）是对应于是对应于231的全部特征向量的全部特征向量.例例3 设设111222111A，求求A 的特征值和特征向量的特征值和特征向量;解解1112+2211+1EA =220 1230,2 解得解得120,当当时时AX 由齐次线性方程组由齐次线性方程组系数矩阵系数矩阵1819111222111 111000000 A 123xxx为自由未知量为自由未知量,23,xx取取得基础解系得基础解系12110,110XX 11221212 (,)0 k Xk Xk k 是不同时为 零的常数 是对应于是不同时为 零的常数 是对应于的全部特征向量的全部特征向量32 当当时时,(2)EA X 由
11、齐次线性方程组由齐次线性方程组20311111202012111000 3x取取为为自自由由未未知知量量,10101200013232xxxx 得基础解系得基础解系3121X 3333(0)2k Xk 是是的的全全部部特特征征向向量量.2EA解解 第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵 A 的特征方程的特征方程,求出特征值求出特征值.122212221EA 例例4 求矩阵求矩阵的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.122212221A (1)(1)(3)=0解得特解得特征值为征值为1231,13 ，21第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组 ,EA X
12、 求非零解求非零解.齐次线性方程组为齐次线性方程组为11 当当时时,EA X 系数矩阵系数矩阵 222111222004222004EA111110001001000000 221110X111(0k X k 所所以以，为为常常数数）是对应于是对应于得基础解系得基础解系11 的的全全部部解解.A的属于特征值的属于特征值231=3 ，时，时，222333101,1,11k Xkk Xk 类似可以求得类似可以求得的全部特征向量分别为的全部特征向量分别为23,k k是不为零的常数是不为零的常数.23例例5 若若 是是 A的一个特征值，的一个特征值，证证1110()mmmmf Aa AaAa Aa E
13、 1110()mmmmfaaaa E 2()A XA AX(1,2,)kkA XXkn 证明证明是矩阵是矩阵f(A)的一个特征值的一个特征值.若若 是是A的一个特征值，由的一个特征值，由AX=X,有有()AXAX2X 所以所以即即 i是是Ai(i=1,2,m)的一个特征值的一个特征值,故故241110()()mmmmf A Xa AaAa Aa E X 1110()()()()mmmmaAXaAXa AXa EX 1110mmmmaXaXaXa EX 1110(),mmmmaaaaX 1110()mmmmfaaaa 是矩阵是矩阵f(A)的一个特征值的一个特征值.所以所以253.特征多项式特征多
14、项式f()的性质的性质在特征多项式在特征多项式 111212122212nnnnnnaaaaaaaaafEA 中有一项是主对角线上元素的连乘积：中有一项是主对角线上元素的连乘积：1122()()()nnaaa11122()()(1)nnnnnfaaaA f()的展开式的其余各项为的展开式的其余各项为 2627 性质性质1 设设 n 阶方阵阶方阵 A 的的 n个特征值为个特征值为 12,n 则则121122(1)nnnaaa 称为矩阵称为矩阵A的迹，记为的迹，记为121(2)niniA 设设f()=0的根为的根为12,n ，则有，则有12()()()()nf 11122()(1)nnnnnaaa
15、A 1()niiitr Aa 28 若若A的特征值是的特征值是,X是是A的对应于的对应于 的特征向量的特征向量,性质性质2 (1)kA的特征值是的特征值是k;(k是任意常数是任意常数)(2);mmA 的的特特征征值值是是(m是正整数是正整数)(3)若若A可逆可逆,则则A-1-1的特征值是的特征值是-1-1,A 的特征值是的特征值是.A 1,mkA AAA 且且X 仍然是矩阵仍然是矩阵 分别对应于分别对应于11,A mk 的特征向量的特征向量.29证证 2AXX 因因为为 A AXAXAXX 所所以以 22A XX 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 m-2 次次,就得就得mmAXX ,.mm
16、mmAXA 故故是是矩矩阵阵的的特特征征值值 且且 是是对对应应于于的的特特征征向向量量(4)()f x为为x的多项式的多项式,则则f(A)的特征值为的特征值为 ().f 30AXX 由由可可得得 111AAXAXA X11A XX(3),0,A 当当 可可逆逆时时1111 ,.AXA 故故是是矩矩阵阵的的特特征征值值 且且是是对对应应于于的的特特征征向向量量其它请同学们自己证明其它请同学们自己证明.例例6 已知三阶方阵已知三阶方阵A的特征值为的特征值为1、2、3,求矩阵求矩阵A*+E的行列式的行列式.解解 由性质由性质1（2）知）知1231236A A 则矩则矩阵阵A*的特征值的特征值所以矩
17、阵所以矩阵A*的特征值分别是的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值的特征值分别是分别是7，4，3，故，故74384AE 3132定理定理4.1矩阵矩阵A和和AT的特征值相同的特征值相同.证证 因为因为()TEAEA即即A与与AT有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质TEA 注注 虽然虽然A与与AT有相同的特征多项式，但它们有相同的特征多项式，但它们的属于同一的属于同一特征值的特征向量不一定相同特征值的特征向量不一定相同3311,mX 当当时时假设结论对假设结论对 m 1个互异特征值对应的特征向
18、量个互异特征值对应的特征向量 定理定理4.2 设设12,m 12,mX XX依次是与之对应的特征向量依次是与之对应的特征向量.线性无关线性无关.证证已知已知,1,2,iiAXX im 是方阵是方阵A 的的 m 个特征值，个特征值，如果如果12,m 12,mXXX各不相等各不相等,则则线性无关线性无关.即方阵即方阵的属于不同特征值的特征向量的属于不同特征值的特征向量X1线性无关线性无关.线性无关，现证明线性无关，现证明m个互异特征值个互异特征值对应的特征向量也对应的特征向量也线性无关线性无关.1122,mmA k Xk Xk X 111222(2)mmmk Xk Xk X 112211(1)mm
19、mmk Xk XkXk X 设设用用A左乘（左乘（1 1）式两端得）式两端得因为因为,1,2,iiAXX im 所以所以用用 m 乘（乘（1）式两边得）式两边得112211(3)mmmmmmmmkXkXkXkX用用(3)式减去式减去(2)式式,得得111222111()()()mmmmmmkXkXkX 3435代入代入(1)式得式得,得得()0(1,2,1)imikim ,0mmmmk XXk 而而则则，由归纳法假设，由归纳法假设，线性无关，所以线性无关，所以121,mX XX 0(1,2,1)miikim 因因为为，则则线性无关线性无关.12,mXXX故故36定理定理4.3 设设12,m 是
20、方阵是方阵A的互异特征值的互异特征值12,iiiirXXX而而(1,2,)im 是是A的属于特征值的属于特征值i 的的线线性性无无关关特特征征向向量量，则向量组则向量组 线性无关线性无关.111121,rXXX，221222,rXXX，12,mmmmrXXX 由定理由定理4.3,对于一个对于一个 n 阶矩阵阶矩阵A,求它的属于每个求它的属于每个特征值的线性无关特征向量特征值的线性无关特征向量,把它们合在一起仍然是把它们合在一起仍然是线性无关的线性无关的,且它们都是且它们都是A的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量.37 例如例如,例例2中属于中属于 2 重特征值重特征值 =1 的线性无关的特
21、的线性无关的特征向量的个数为征向量的个数为 1个个;而例而例3中属于中属于 2 重特征值重特征值 =0 的线性无关的特征的线性无关的特征向量的个数刚好为向量的个数刚好为 2个；个；例例1则表明每个单根对应的线性无关的特征向量则表明每个单根对应的线性无关的特征向量刚好是一个刚好是一个.定理定理4.4 若若 0是是 n 阶矩阵阶矩阵A的的k重特征值重特征值,则则A A的属于的属于 0的线性无关的特征向量最多有的线性无关的特征向量最多有k 个个.38 例例7 7 设设 1与与 2是矩阵是矩阵 A 的两个不同特征值的两个不同特征值,对应的特征对应的特征向量分别为向量分别为X1与与X2,证明证明:X1+
22、X2 不是不是 A的特征向量的特征向量.112()A XXAXAX由题设由题设 AX1=1 X1,AX2=2X2,有有解解112()()A XXXX 121122()XXXX 1122-XX 即（）（）即（）（）1122XX反证法反证法.设设X1+X2是是A的特征向量的特征向量,则存在数则存在数,有有由定理由定理4.2知知,X1,X2 线性无关线性无关,有有3912-=-0 这与题设矛盾这与题设矛盾.12=故故，注注2 1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的 2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特
23、征值的特征向量属于这个特征值的特征向量 3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不一个特征向量不能属于不同的特征值能属于不同的特征值40三三.小结与思考题小结与思考题1.掌握特征值与特征向量的定义掌握特征值与特征向量的定义.满足条件满足条件,AXX 则称则称 为矩阵为矩阵A的一个特征值的一个特征值,X为矩阵为矩阵A的对应于特征值的对应于特征值 的一个特征向量的一个特征向量.2.掌握特征值与特征向量的计算方法掌握特征值与特征向量的计算方法.3.了解矩阵的特征值与特征向量的性质了解矩阵的特征值与特征向量的性质.4:3EA0,2,det0,.TAAAEAA 设设 阶阶方方阵阵 满满足足条条件件求求的的一一个个特特征征值值思考题思考题4,A 因此因此41 0,30AAAE因为故 可逆.由知因为故 可逆.由知3,A 是是 的的一一个个特特征征值值11.3A 从从而而是是 的的一一个个特特征征值值 2 216,TTAAEAAE又由得即又由得即16,4,0,AAA 于于是是但但4.3A 故故有有一一个个特特征征值值为为思考题解答思考题解答
