1、4.4 非线性校正算法.4非线性校正算法校正的目的从/D转换的数据x，求出被测量的真值y，称为标定或校正。传感器A/D标定xzyX由A/D送入微机的原始测量数据，Y被测量的“真值”，Z经过“校正”处理后，微机输出给显示器或控制器的数据 本节讨论本节讨论 在 y=f(x)公式复杂和y=f(x)只有离散数据两种情况下，由A/D转换结果x求取显示数据z(要求z=y或误差在允许范围之内即zy)的方法常用的校正算法：查表法插值法拟合法离散数据的获得标定实验 在规定的实验条件下，给测试系统的输入端逐次加在规定的实验条件下，给测试系统的输入端逐次加入一个个已知的标准的被测量入一个个已知的标准的被测量y1,y
2、2yn，并记下对应，并记下对应的输出读数的输出读数(A/D转换结果转换结果)x1,x2xn。这样就获得。这样就获得n对对输入输入/输出数据输出数据(xi,yi)，(i=1,2n)这些这些“标定标定”数据就数据就是是y=f(x)的离散方式描述。的离散方式描述。4.4.1 查表法查表法就是将“标定”试验获得的n对数据（,）(i=1,2,.n)在内存中建立一张输入/输出数据表，再根据A/D数据x通过查这个表查的y，并将查得的y作为显示数据z。具体步骤如下：（1）在系统的输入端逐次加入一个个已知的标准被测量 ，并记下对应的输出读数 。（2）把标准输入 （i=1,2.n)值存储在存储器的某一单元，把 作
3、为存储器中这个存储单元的地址，把对应的 值作为该单元的存储内容，这样就在存储器里面建立一张标定数据表。ixiyny.y,y21nxx,.,x21iyixiy(3)实际测量时，让微机根据输出读数 去访问该存储地址，读出该地址中存储的 即为对应的被测量的真值，将从表中查得的 作为显示数据 z，应该说是不存在误差的。(4)若实际测量的输出数据x是在 和 之间，可按最邻近的一个标准读数 或 去查找对应的 或 作为被测量的近似值，很显然这个结果有一定的误差，可以用线性内插进行修正，即按照下式子计算出要显示的数据iyiyixix1ixiy1yiix1ixyxxyzixxyyiiiii)(11查表法优点 1
4、）不需要进行计算或只需简单的计算；2）Zi=yi为标定数据，不存在误差。查表法缺点 需要在整个测量范围内标定实验测得很多的测试数据。4.4.2 插值法一、插值函数和插值点：插值法是从标定或校准实验的n对测定数(xi,yi)(i=1,2,n)中，求得一个函数 作为实际的输出读数x与被测量真值y的函数关系 的近似表达式。这个表达式 必须满足两个条件：第一，的表达式比较简单，便于计算机处理。故一般为多项式。第二，在所有选定的校准点(也称插值点)上满足：满足上式的 称为 的插值函数。插值点实际上就是 和 的相交点。jjjjyxfxz)()()(xz)(xz)(xfy)(xz)(xfy 二、插值函数的常
5、见形式及其求解 1.插值函数的常见形式 m次多项式：2.插值函数多项式系数的确定从标定数据中选取(m+1)组数据作为插值点，解以下(m+1)元方程组可求得(m+1)个多项式系数 一般来说，阶数m越高，逼近 f(x)的精度越高，但阶数越高，计算越繁冗，计算时间也会增加，故拟合多项式的阶数一般不超过三阶。miiimxaxPxz0)()(maaaa,210 例，已知热敏电阻的阻值R(k)与温度t()的关系式如表4-5-1所示三、线性插值线性插值是从一组数据（线性插值是从一组数据（xi，yi）中选取两个代表性的）中选取两个代表性的（x0，y0）、（）、（x1，y1），然后根据插值原理，求出插值），然后
6、根据插值原理，求出插值方程方程：其中其中：0111000101)(axayxxxxyxxxxxpn010010011,xayaxxyya若（若（x0，y0）、（）、（x1，y1），取在非线性特性曲线），取在非线性特性曲线f(x)或数组的两端点或数组的两端点A、B，如下图中的直线表示插值方程，如下图中的直线表示插值方程，这种线性插值就是最常用的直线方程校正法这种线性插值就是最常用的直线方程校正法y0y1abP(x)f(x)AByx0y1y0abABL(x)xy0f(x)表示拟合误差，如果对于所有的x的取值都满足为允许的拟合误差，则直线方程 就是理想的校正方程。显然，如果对于非线性比较严重或测量范
7、围比较宽的非线性特性，采用一种直线方程进行校正很难满足仪表的精度要求。故线性插值nixfxpiini,.,2,1,)()(ViViV正法非等距节点分段直线校法等距节点分段直线校正4.4.2.1 等距节点分段直线校正发等距节点算法适用于非线性特性曲率变化不大的场合，每段曲线都用一个直线方程代替。分段数n取决于非线性程度和仪表的精度要求。精度越高，n越大。每段直线的方程为因为每段的拟合误差 一般都不同，拟合结果应保证所求的 存入内部ROM中。实时测量时只要选用程序判断输入x位于折线的哪一段，然后取得该段对应的 进行计算。程序如下iVniVi,.,2,1,maxmax,niaxaxiii,.,2,1
8、,)(P011iiaa01和iiaa01和4.4.2.2 非等距节点分段直线校正法对于曲率变化较大的分线性特性，若要满足精度要求，分段数n就会变得很大，同时 的数目也会增加，占用内存增加，故这时宜采用非等距节点分段直线校正法 iiaa01和0313021201111)(Paxaaxaaxax322110axaaxaax四、抛物线插值 如图所示将曲线分成四段，每一段都可以用一个二阶抛物线方程 来描绘。其中，抛物线的系数 可通过下述方法获得：每一段找出三点 （含两端点）联立方程可以求出)4,3,2,1(2icxbxayiiiiiicba,iiixxx,11iiiiiiiiiiiiiiiiiicxb
9、xaycxbxaycxbxay212111211iiicba,分段插值流程图 4.4.3 拟合法一、最小二乘法 利用n次多项式进行拟合，可以保证在n+1个节点上校正误差为零，因为拟合曲线折线恰好经过这些节点。但是，如果这些实验数据有随机误差，得到得校正方程并不一定能反映出实际的函数关系。因此，对于含有随机误差得实验数据的拟合，通常选择误差平方和的最小这一标准来衡量逼近结果，这就是最小二乘法原理。设被逼近函数为设被逼近函数为f(xi)，逼近函数为，逼近函数为g(xi),xi为为x上的离散点，逼近误差为上的离散点，逼近误差为：iiixgxfxV 记为记为：iniXV12实现；为了使逼近函数简单起见
10、，通常选择实现；为了使逼近函数简单起见，通常选择多项式多项式。最小二乘法原理：最小二乘法原理：min二、直线拟合 设有一组实验数据如下图所示，现在要求一条最接近于这设有一组实验数据如下图所示，现在要求一条最接近于这些数据点得直线。直线可有很多，关键是找一条最佳直线。些数据点得直线。直线可有很多，关键是找一条最佳直线。设这组实验数据的最佳拟合方程为：设这组实验数据的最佳拟合方程为：y=a1 x+a0，式中，式中，a1和和a0称为回归系数。称为回归系数。xxxxxxxxxxxxxxxxyx0 令令：根据最小二乘原理，要使根据最小二乘原理，要使a0，a1为最小，对为最小，对a0，a1求求偏导，令其为
11、偏导，令其为0，可得，可得：21i101,10niiniiaaxaayV021101niiiixaayxa021100niiixaaya解得：解得：2112111210niiniiniiniiiniiniixxnxyxxya21121111niiniiniiniiniiixxnyxyxa将各测量数据代入方程组，即可解得回归方程的回归系数a0和a1，从而得到这组测量数据在最小二乘意义上的最佳拟合直线方程。三、曲线拟合 为了提高拟合精度，通常对为了提高拟合精度，通常对n个实验数据对（个实验数据对（xi，yi）选用选用m次多项式次多项式：jmjimmxaxaxaxaaxfy12210 来作为描述这些
12、数据的近似函数关系式（回归方程）。来作为描述这些数据的近似函数关系式（回归方程）。若把（若把（xi，yi）的数据代入多项式就可得）的数据代入多项式就可得n个方程简记个方程简记为：为：nixayVjimjjii,2,1,0 式中，式中，Vi为在为在xi处由回归方程计算得到的值与测量得到的处由回归方程计算得到的值与测量得到的值之间的误差。根据最小二乘原理，为求取系数值之间的误差。根据最小二乘原理，为求取系数aj的最的最佳估计值，应使误差佳估计值，应使误差Vi的平方之和最小，即：的平方之和最小，即：min,2111210ninjjijiniimxayVaaa由此可得如下方程组：由此可得如下方程组：n
13、ixxayanikimjjijik,2,10)(210计算计算a0，a1，am的线性方程组为的线性方程组为：imiiiimmimimimiiimiiyxyxyaaaxxxxxxxxm102112由上式可求得由上式可求得m+1个未知数个未知数aj的最佳估计值。的最佳估计值。四、最佳一致逼近法插值法要求逼近函数z=(x)与被逼近函数y=f(x)在节点上有相同的函数值，而在非节点处(x)就不一定保证很好的逼近函数f(x),而实际问题上要求在整个测量区间上都能够很好的逼近f(x),针对这种情况，我们可以采用最佳一致逼近法。最佳一致逼近就是保证 f(x)与(x)之间的最大误差小于给定精度 ，既保证不等式成立 )()(maxxfx线性最佳一致逼近法分段线性最佳一致逼近分段线性最佳一致逼近分段最佳一致逼近法 谢谢！
