1、第六章第六章 留数理论及其应用留数理论及其应用6.1 留数留数6.2 用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分6.3 辐角原理及其应用辐角原理及其应用3.计算计算引理引理6.2 设函数设函数g(z)沿半圆沿半圆()()imxP xedxQ x :(0,iRzReR 充充分分大大）lim()0Rg z lim()0(0)RimzRg z edzm 若尔当引理若尔当引理连续，且连续，且在在 上一致成立上一致成立.则则 R 型积分型积分若若尔尔当当不不等等式式：2 sin(0)2 xyO2 yx 2xy sinyx lim()0RRg z在在上上一一致致成成立立|(e)|,(0ig R ）|()|(
2、)|iRRimziimReig z edzg ReeRe id sinsin2002mRmRRedRed 若尔当引理的证明若尔当引理的证明 000,()0,()RRR 当当时时有有 sinsin2002mRmRRedRed 2222002mRmRRedem (1)mRemm lim()0(0)RimzRg z edzm 定理定理6.8 设设 ，其中，其中P(z)与与()()()P zQ zg z ResIm0()2()kkimximxz aag x e dxig x e 则则 ()cos,()sin?g xmxdxg xmxdx Q(z)是互质的多项式，且符合条件：是互质的多项式，且符合条件：
3、1.Q(z)的次数比的次数比P(z)的次数高；的次数高；2.在实轴上在实轴上Q(z)0；3.m 0；例例6.13 计算积分计算积分20cos(0)1mxdx mx 220cos1cos121mxmxdxdxxx 解解222Res11imximzz ieedxixz 故故 21()6.8imzf zez 不不难难验验证证满满足足定定理理的的条条件件22mmeiei 21imxmedxex 20cos1122mmmxdxeex 故故 22cossin011mmxmxdxedxxx 即即 ，例例6.14 计算积分计算积分2cos210 xxdxxx 2210()izf zzezz 解解 不不难难验验
4、证证 221 32Res210210imximzzixezedxixxzz 6.81.m 满满足足定定理理的的条条件件，31 322|2(1 3)26iziiziii ezezi 32sin(3cos1 sin1)2103xxdxexx 32cos(cos1 3sin1),2103xxdxexx 故故 31 322|2(1 3)26iziiziii ezezi 3(13)(cos1sin1)3eii 33(cos1 3sin1)(3cos1 sin1).33eie .4积积分分路路径径上上有有奇奇点点的的积积分分xyORRCC rr奇奇点点 引理引理6.1 设设f(z)沿圆弧沿圆弧12:e(,
5、)iRSzRR 充充分分大大lim()Rzf z 21lim()()RSRf z dzi 上连续，且上连续，且 无关），则无关），则于于 上一致成立（即与上一致成立（即与 的的RS12 引理引理6.3 设设f(z)沿圆弧沿圆弧12:e(,)irSz arr 充充分分小小0lim()()rza f z 210lim()()rSrf z dzi 12上连续，且上连续，且 于于 上一致成立（即与上一致成立（即与中的中的无关），则无关），则rS 21()()|()()|rRSSz a f zf z dz idzz a 证证 明明21|()()|e(e)|RiiSz a f zdsrf a rdr 0l
6、im()()0,()0,rz a f z 21()|e(e)|iirrf a r 当当0 0时时，有有 212121|()()|()rSf zdz i 例例6.15 计算狄里克莱积分计算狄里克莱积分0sin()xdxx 有有阻阻尼尼的的振振动动0sin1sin2xxdxdxxx 解解 ()0.izf zxzez 函函数数在在 轴轴上上有有一一个个奇奇点点xyORRRCrC rr奇点0RrRrrCRCixizixizdxdzdxdzeeeezzxx 0RrRrrCRCixizixizdxdzdxdzeeeezzxx R6.2lim0.RCizdzez 由由引引理理知知 r6.3lim.rCizd
7、ziez 由由引引理理知知 0.rR 令令得得.ixP Vdxiex .cossinP Vdxix ixx .0.cossinPVdxPVdxxxxx ，0sinsin122dxdxxxxx .0cosPVdxxx 是是 显显 然然 的的，.cosdxxx 但但 不不收收敛敛杂杂 例例已知泊松（已知泊松（Poisson）积分）积分202tedt 2200cossin()xdxxdx 及及光光 的的 折折 射射试计算弗莱聂尔（试计算弗莱聂尔（Frensnel）积分）积分 解解 考察整函数考察整函数 并取如图并取如图积分路径积分路径 .2()zf ze RC22220RzzzzCOAABBOe d
8、ze dze dze dz 2222040iRRixzx eRedxedzee dx xO4RRAB22(cos2sin2)40|RzRiiedzeiRe d 22cos2sin42002RRReRded 222201024RRRedeR 2lim0RzRedz 22220400iRRixzx eRedxedzee dx 2220400iixx eRedx eedx 令令得得22400ix ixeedxedx 2201(cossin)22ixix dx 2201(cossin)22ixix dx 22021(cossin)(1)122 2xix dxii 22001cossin22x dxx dx 故故本本 讲讲 结结 束束作作 业业 第第271页页5.(3)；6.(2)26谢谢！谢谢！27
