1、勾股定理XXX 大学 张XXXa2+b2=c2形形 数数a2+b2=c2三边a、b、ct直角边a、b，斜边ct互互逆逆命命题题 勾股定理勾股定理:直角三角形的两直角边为直角三角形的两直角边为a,b,斜边为斜边为 c,则有则有三角形的三边三角形的三边a,b,c满足满足a2+b2=c2,则这个三角形则这个三角形是是直角三角形直角三角形;较大边较大边c 所对的角是直角所对的角是直角.逆定理逆定理:a2+b2=c2知识梳理互逆命题互逆命题:两个命题中两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题如果第一个命题的题设是第二个命题的结论的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题而第一个命题的结论又是第二个
2、命题的题设设,那么这两个命题叫做那么这两个命题叫做互逆命题互逆命题.如果把其中一个叫做如果把其中一个叫做原命题原命题,那么另一个叫做它的那么另一个叫做它的逆命题逆命题.互逆定理互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理那么它也是一个定理,这两个定理叫这两个定理叫做做互逆定理互逆定理,其中一个叫做另一个的其中一个叫做另一个的逆定理逆定理.命题：命题：1、无理数是无限不循环小数的、无理数是无限不循环小数的逆命题是逆命题是 。无限不循环小数是无理数无限不循环小数是无理数2、等腰三角形两底角相等、等腰三角形两底角相等的逆命题：的逆命题：。有两
3、个相等角的三角形是等腰三角形有两个相等角的三角形是等腰三角形勾勾 股股 数数 1、在直角三角形ABC中,C=90，（）已知：；，求和（）已知，求和（）已知45，求和、直角的两边长为和，求第三边的长度或164巩固练习、已知等边三角形的边长为厘米，则它的高为，面积为、判断以线段、为边的是不是直角（）a=,b=,c=273b=8(2)a=9C=6请完成以下未完成的勾股数：请完成以下未完成的勾股数：（1 1）8 8、1515、_；（；（2 2）1010、2626、_ABCABC中，中，a2+b2=25，a2-b-b2=7=7，又，又c=5c=5，则最大边上的高是，则最大边上的高是_.如图，两个正方形的
4、面积分别如图，两个正方形的面积分别 为为6464，4949，则，则AC=AC=.ADC644917长度分别为长度分别为 3,4,5,12,13 的五根木棒能搭成的五根木棒能搭成(首尾连接首尾连接)直直角三角形的个数为角三角形的个数为()A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个1724B2.4、在中，（）求的面积求斜边求高10.已知三角形的三边长为已知三角形的三边长为 9,12,15,则这个三则这个三角形的最大角是度角形的最大角是度;11.ABC的三边长为的三边长为 9,40,41,则则ABC的面的面积为积为;9018012.三角形的三边长为三角形的三边长为 8,15,17,那么最短边上那
5、么最短边上的高为的高为;13.若若ABC中中,AB=5,BC=12,AC=13,则则AC边边上的高长为上的高长为;1560/1314、如图，有一块地，已知，、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，ADC=90，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。求这块地的面积。ABC341312D24平方米平方米 15、数学与生活：、数学与生活：一架长为一架长为10m的梯子的梯子AB斜靠在墙上。斜靠在墙上。（1）若梯子的顶端距地面的垂直距离为）若梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,则梯子则梯子的顶端的顶端A A与它的底端与它的底端B B哪个距墙角哪个距墙角C C近？近？ACBABCAB（2 2）
6、在（）在（1 1）中如果梯子的顶端下滑）中如果梯子的顶端下滑1m1m，那么它的底，那么它的底端是否也滑动端是否也滑动1m?1m?1517在数轴上表示出在数轴上表示出 的点吗？的点吗？25364 分类思想分类思想 1.直角三角形中，已知两边长是直角边、直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。斜边不知道时，应分类讨论。2.当已知条件中没有给出图形时，应认真当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。读句画图，避免遗漏另一种情况。2.三角形三角形ABC中中,AB=10,AC=17,BC边上的高线边上的高线AD=8,求求BCDDABC 1.已知已知:直角三角形的
7、三边长分别是直角三角形的三边长分别是3,4,X,则则X2=25或或7ABC1017817108典例精讲 例例:有一个水池，水面是一个有一个水池，水面是一个边长为边长为10尺的正方形，在水池的尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出中央有一根新生的芦苇，它高出水面水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？这根芦苇的长度各是多少？DABC 方程思想方程思想 直角三角形中，当无法已知两边求第三直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法
8、：灵活地寻找题中边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。的等量关系，利用勾股定理列方程。1.小东拿着一根长竹竿进一个宽为米的城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少？x1mm(x+1)32.如图如图,铁路上铁路上A A、B B两点相距两点相距25km,C25km,C、D D为两村为两村庄庄,DA,DA垂直垂直ABAB于于A A，CBCB垂直垂直ABAB于于B B，已知，已知AD=15kmAD=15km，BC=10kmBC=10km，现在要在铁路，现在要在铁路ABAB上建一个土特产品收购上建一个土特
9、产品收购站站E E，使得，使得C C、D D两村到两村到E E站的距离相等，则站的距离相等，则E E站建站建在距在距A A站多少千米处？站多少千米处？折叠三角形折叠三角形例例1、如图，一块直角三角形的纸片，两如图，一块直角三角形的纸片，两直角边直角边AC=6，BC=8。现将直角边。现将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AB上，上，且与且与AE重合，求重合，求CD的长的长 ACDBE第8题图x6x8-x46例例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使的纸片，使A与与B重合，折痕为重合，折痕为DE，若已知，若已知AB=10cm，BC
10、=6cm,你能求出你能求出CE的长吗？的长吗？CABDE练习练习:三角形三角形ABC是等腰三角形是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将，将AB向向AC方向对折，再将方向对折，再将CD折叠到折叠到CA边上，折痕边上，折痕CE，求三角形，求三角形ACE的面积的面积ABCDADCDCAD1E13512512-x5xx8折叠四边形折叠四边形例例1：折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD,点点D落在落在BC边上的点边上的点F处处,已知已知AB=8CM,BC=10CM,求求 1.CF 2.EC.ABCDEF810106X8-X48-X例例2：折叠矩形纸片，先折出折痕折叠矩形纸片，先折出折痕对角线对
11、角线BD，在绕点，在绕点D折叠，使点折叠，使点A落在落在BD的的E处，折痕处，折痕DG，若，若AB=4，BC=3，求，求AG的长。的长。DAGBCE例例3：矩形矩形ABCD中，中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为先把它对折，折痕为EF，展开后再沿，展开后再沿BG折叠，使折叠，使A落在落在EF上上的的A1，求第二，求第二次折痕次折痕BG的长。的长。ABCDEFA1G提示：提示：先证明正三角形先证明正三角形AA1B 1.几何体的表面路径最短的问题，一般展几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。开表面成平面。2.利用两点之间线段最短，及勾股定理利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。求解
12、。展开思想展开思想例例1：如图：正方体的棱长为如图：正方体的棱长为cm，一只蚂蚁，一只蚂蚁欲从正方体底面上的顶点欲从正方体底面上的顶点A沿正方体的表面到沿正方体的表面到顶点顶点C处吃食物，那么它需要爬行的最短路程处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？的长是多少？ABCDABCD16 例例2:2:如图如图,一圆柱高一圆柱高8cm,8cm,底面半径底面半径2cm,2cm,一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点A A爬到点爬到点B B处吃食处吃食,要爬行的最短路程要爬行的最短路程(取取3 3）是）是()()A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
13、无法确定 BB8OA2蛋糕ACB周长的一半ABBAC 如图如图,一圆柱高一圆柱高8cm,8cm,底面半径底面半径2cm,2cm,一只蚂蚁从距底面一只蚂蚁从距底面1 1厘米点厘米点A A爬到对角爬到对角B B处吃食处吃食,要爬行的最短路程要爬行的最短路程(取取3 3）是）是()()A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定无法确定 例例3,3,如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm20dm、3dm3dm、2dm，A和和B是这个台阶两个相对的端点，是这个台阶两个相对的端点，A点有
14、一只蚂蚁，想到点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到着台阶面爬到B点最短路程是多少？点最短路程是多少？20203 32 2AB32323 AB2=AC2+BC2=625,AB=25.例例4:.如图，长方体的长如图，长方体的长为为15 cm，宽为，宽为 10 cm，高为高为20 cm，点，点B离点离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点长方体的表面从点 A爬爬到点到点B，需要爬行的最，需要爬行的最短距离是多少？短距离是多少？1020BAC155BAC1551020B5B51020ACEFE1020ACFAECB20151
15、05练习:在长长30cm30cm、宽、宽50 cm50 cm、高、高40 cm40 cm的木箱的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？CDA.B.305040图305040CDA.B.ADCB3050408000408022CCDA.B.ACBD图3040503040509000903022CCDA.B.图50ADCB40303040507400705022 1.几何体的表面路径最短的问题，一般展几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。开表面成平面。2.利用两点之间线段最短，及勾股定理利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。求解。展开思想展开思想504
16、030405030 xx一根70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中,能放进去吗练习练习:小明家住在小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。买最长买最长的吧！的吧！快点回家，快点回家，好用它凉衣好用它凉衣服。服。糟糕，太糟糕，太长了，放长了，放不进去。不进去。如果电梯的长、宽、高分别是如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、米、1.5米、米、2.2米，那么，米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？小明买的竹竿至少是多少米吗？1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB3米米
