1、第五章第五章 平面问题的复变函数法平面问题的复变函数法 直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用。数方法在弹性力学中的简单应用。5-4 5-4 多连通域内应力与位移的单值条件多连通域内应力与位移的单值条件5-3 5-3 边界条件的复变函数表
2、示边界条件的复变函数表示5-2 5-2 应力和位移的复变函数表示应力和位移的复变函数表示5-1 5-1 应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示5-6 5-6 含孔口的无限大板问题含孔口的无限大板问题5-5 5-5 无限大多连体的情形无限大多连体的情形第五章第五章 平面问题的复变函数法平面问题的复变函数法 5-1 5-1 应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示 在第二章中已经证明，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数，它是位置坐标的重调和函数，即04现在，引入复变数z=xiy和zxiy以代替实变数x 和y。注意i,1i,1yzxzyzxz 可以得到变换式)i()(zz
3、yzzyzzyzzxzzxzzxzyxzyx2i,2i进而222222)(,)(zzyzzxzzyx2222224Pzz224令于是可将方程式04)(0224azz变换成为0)(2224P由02 P 可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设f(z)为解析函数，可令)()(21zfzfPPzz224由)()(2141412zfzfPzz)(4)(zzf)()(212zzzz令得则 将上式对 积分，得到)()()(21zzzzzz再对z积分，得到)(d)()()(21zgzzzzzz)(d)(zzz令)()(zz即)()()()(21zgzzzzzz则 注意上式左边的重调和函数是实函数，可见该
4、式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭的，后两项也应是共轭的：)()(zzg令即得有名的古萨公式)()()()(21zzzzzz也可以写成)()(Rezzz 于是可见，在常量体力的平面问题中，应力函数总可以用复变数z的两个解析函(z)和(z)来表示，称为K-M 函数。而求解各个具体的平面问题，可归结为适当地选择这两个解析函数，并根据边界条件决定其中的任意常数。5-2 5-2 应力和位移的复变函数表示应力和位移的复变函数表示根据应力分量和应力函数的关系yxxyxyyx22222一一 应力分量的复变函数表示应力分量的复变函数表示 可得到应力分量的复变函数表示zzxyyx242222)()()
5、()(21zzzzzz由)(Re4)()(2zzzyx可得而由 224i2i 22222i 22zyxyxyxxyxy)()(2i 2zzzxyxy可得)()(2i 2zzzxyxy或 只要已知(z)及(z)，就可以把上述公式右边的虚部和实部分开，由虚部得出xy，由实部得出y-x。)(Re4)()(2zzzyx)()(2i 2zzzxyxy和就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立公式，把x、y、xy三者分开用(z)和(z)来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。二二 位移分量的复变函数表示位移分量的复变函数表示 假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程yyxyxxuE)1()(xyx
6、xyyvE)1()(xyyuxvE)()1(22222)1()()(2)1()()(2xzzxxzzxuE可得 )i()(zzyzzyzzyzzxzzxzzx由于)()()(zzzzz并注意到)()()()()()()()(zzzzzzzzzzzzx)()()()()()()()(izzzzzzzzzzzzy同理可得2222)1()()(i2)1()()(2yzzxyzzyvE将上两式分别对x及y积分，得)()1()()(i2)()1()()(221xfyzzEvyfxzzEu其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式yxyuxvExy2)()1(2 )i()(zzyzzyzzyzzxzzxzz
7、x由于)()(i)()(i)()(i)()(zzzzzzzzzzzzy)()(i)()(i)()(i)()(izzzzzzzzzzzzx )(dd)(dd)1(2)(dd)1()()(i 2)(dd)1()()(22122212xfxyfyyxxfxyxzzxuyfyyxzzyuxvyuE从而得到xxfyyfd)(dd)(d21于是得到刚体位移 f1(y)u0y，f2(x)v 0 x故有 若不计刚体位移，则有)i)(1()(4)i(yxzvuEzyx2i由式)()()()(21zzzzzz)()()()()()(2izzzzzzzzzyx得到 )()()(13)i(1zzzzvuE这就是位移分
8、量的复变函数表示。若已知(z)及(z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得出u和v。将结果回代,并两边除以 得1 上述公式是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，须将式中的E改换为 ，改换为 。)1/(2E)1/(5-3 5-3 边界条件的复变函数表示边界条件的复变函数表示 为了求得边界上各结点处的值，须要应用应力边界条件，即：YmlXmlyxyxyxyxxyxyyx22222,而代入上式，即得：YxmyxlXyxmyl222222 由图可见，l=cos(N,x)=dy/ds,m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改写为：YxsxyxsyXyxsxysy222222dddd
9、ddddYxsXysdd,dd由此得：设A是边界上的固定点,B为任意一点，则从A到B边界上的合力，可用上式从A点到B点对s积分得到：BABABABAyxyxxysxyssYXPPiiididddii)i()(zzyzzyzzyzzxzzxzzx将式 代入，整理得：BAyxzzzzPP)()()(ii把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。因此，可把应力函数A处的值设为零，于是对于边界上的有)()()(iiyxPP)()()()i(iyxPP或这就是应力边界条件。对于位移边界条件)()()(13)i(1zzzzvuEssvvuu,将其代入下式即得平面应力情况下位移边界条件的复变函数表示)i(1)
10、()()(13ssvuEzzzz 对于平面应变，须将式中的E改换为 ，改换为 。)1/(2E)1/(5-4 5-4 多连通域内应力与位移的单值条件多连通域内应力与位移的单值条件 应力确定后，应力函数仍可差一个任意的线性函数，这时K-M函数并未完全确定。对于单连通区域，可以通过选取适当坐标系等办法，使得K-M函数完全确定；但对于多连通区域仍不能完全确定。本节讨论K-M函数在多连通区域内满足单值的条件。设有多连通区域，有一内边界C，设在边界C上的外力矢量已给定。通常的多值函数是对数函数，我们设 )()ln()()()ln()(zzzBzzzzAzfkkfkkDC这里zk为内部边界内的任意一点，f和
11、f为单值的解析函数（全纯函数），而Ak，Bk为常数：kkkkkkBAi,i前面的函数的导数是单值的，但他们本身是多值的，当z绕周边一周时，函数值ln(zk)产生一个增量2i,于是(z)和(z)的增量分别是2i Ak和2iBk,这时应力主矢量按照公式)()()(iizzzzYXBA左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：ykxkkkPPBAi)(2 这时位移按照公式)()()(13)i(1zzzzvuE也将得到增量，根据单值性这个增量应为零：)13(0kkBAykxkkkPPBAi)(2结合可得到)1(2i)1(2iykxkkykxkkPPBkPPA )()ln()1(2i)()()
12、ln()1(2i)(ffzzzPPzzzzPPzkykxkkykxk于是当有m个内边界时，取)()ln()1(2i)()()ln()1(2i)(f1f1zzzPPzzzzPPzmkkykxkmkkykxk 5-5 5-5 无限大多连体的情形无限大多连体的情形 当多连体的外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大的多连体，除上述条件外，还需考虑无限远的极限情况。以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到 zzzzzzzzzzzkkkkln21ln1lnln)ln(2在在s sR R之外的解析函数之外的解析函数 )()ln()1(2i)(
13、)()ln()1(2i)(f1f1zzzPPzzzzPPzmkkykxkmkkykxk于是)(ln)1(2i)()(ln)1(2i)(f*f*zzPPzzzPPzyxyx可写为其中Px,Py为m个边界上沿x,y方向的面力之和。nnnnzbzzaz)()(f*f*)(21)(12i1)(12i211nnnnyxyxyxzazanzPPzPP于是 由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，级数中n2的系数应为零。)2(0,0naann 将多连通区域内的全纯函数 和 展开为罗郎级数：f*f*)()(2i 2zzzxyxy同样从中，由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，故有)2(,0nbn)()()()(
14、)()()()(0f11111f*0f1f*zzizbzizzzizaziznnnnnn其中略去了和应力无关的常数项。)(ln)1(2i)()(ln)1(2i)(f*f*zzPPzzzPPzyxyx于是)()i()i()()()i()i()(0f11111f*0f1f*zzzbzzzzzazznnnnnn其中与应力计算无关，可取为零，而10f10f)()(nnnnnnzbzzaz 1)(241)(12i1)(12i2nnnnnyxyxyxzazanzPPzPP这时当z时，可得4yx同样当z时，由)()(2i2zzzxyxy可得11i22i2xyxy从中可求得相应的系数，并可以看到在无限远处，应
15、力的分布是均匀的。)(2)()(4)()(11xyxyyx系数)()(i2)()(ln)1(2i)()(4)()(ln)1(2i)(0fxy0fzzzPPzzzzPPzxyyxyxyx则5-6 5-6 含孔口的无限大板问题含孔口的无限大板问题 以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到)(ln)1(2i)()(ln)1(2i)(f*f*zzPPzzzPPzyxyx111f*1f*)i()()(nnnnnnzbzzzazz1)2(21)1(111)1()1(1)1(2i)(i1)1(2i)(1)1(2i)(nnnyxnnnyxnnn
16、yxznnazPPznzbzPPznzazPPz 1)1(00)()()(kkkkkkkkkkzAzzBzzAz改写为1100iiBA其中)2()1()1()1(2i)1(2i1111kbkBakAPPBPPAkkkkyxyx 对于孔边上的点ieaz 0i2i0i0ie)(ee)(e)(111kkkkCkkkkCkkkkCkaAzzaAzaAz0i)2(2i112i00)2i(2ieeee)(e1kkkkkkkkCaBaBBaBz)20(将上列各式代入2ie)()()()(i就得到极坐标下圆周边界上的级数形式的应力边界条件。设周边上的外力为已知，并将其展开为傅氏级数20iide)i(21eik
17、kkkkppCCpp 2ie)()()()(eikkkC0i-)2(2i112i00i0i0iieeeeeeekkkkkkkkkkkkkkkkkkkkaBaBBkaAaAaAC比较两边eik和e-ik的系数，可得121102200CaBaACaBAA 1)1()3(222022kCaBaAkkCaACBaAkkkkkkkk1100iiBA由无限远处的应力条件，可得)(,2)()(,4)()(11xyxyyx由位移的单值条件有011 BA1211CaBaA及可求得1,11111CaBCaA再由kkkkkkkkCaBaAkkCaACBaA222022)1()3()3()1()3()2(),(222
18、00222022kCaAakBkCaACAaBCBaAkkkkkkk可求得至此，全部系数均已求出。例例 设孔周边为均匀压力p，无限远处的应力为零。)0(0,i00,000kCpCpppBAppk则有)3(,0022211kBApaBABAkk于是可求得 zpazz2)(0)(0,20,22222uGpaupapa最后得到根据上述方法，圆孔口无限大板的一般问题都可以得到解决。练习5.1 试考察下列复变函数所解决的问题(1)(2)zqzzqz2,4 iqzzz,0解:基本公式为 azxyRe4 bizzzxyxy22(1)将 zqzzqz2,4分别代入(a)、(b)式得xyqxyxyiq2联立求解
19、以上两式,得0,0,xyyxq 所给的函数可以解决矩形薄板在x方向受均布拉力q的问题.如图5.1(a)所示(2)将 iqzzz,0代入(a),(b)两式,得yx0 xyxyiiq22xyqq图5.1(a)联立求解以上两式,得qxyyx,0,0 所给的函数可以解决矩形薄板受纯剪切问题.如图5.1(b)示.qqxy图5.1(b)练习5.2 如图所示.试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解.2288zIiMzzIiMz其中I为梁截面的惯矩,M为作用的弯矩.Myxzy解:基本公式为 1Re4xyz 222xyxyizzz 3dSYiXizzzz将 zz,代入(1)、(2)式由(1)式得xyi
20、yxIiM4Re4即 4xyIMy或 50 xyxyIMyxyxyiIMy2由(2)式得xyxyizIiMIiMiyx2442即将(4)、(5)式联立求得00 xyyxIMy验证边界条件(3)在侧面:0,0YX所以0dSYiXi由 28zIiMz得 2444zIiMzzzIiMzzIiMz由 28zIiMz 得 28zIiMz故 0848222zIiMzIiMzIiMzzzz即(3)式恒成立.由解答 所表示的是一个纯弯时,梁横截面上的应力状态.00 xyyxIMy练习5.3 试导出用复变函数 及 表示极坐标中应力分量的公式 z z irrrezzziz2 22Re4解:因为在平面问题中常数ry
21、x所以 zrRe4又因为在平面问题中,有2sin2cos22xyyxyxr2cos2sin22sin2cos22xyyxrxyyxyxixyxyxyyxxyyxxyyxyxxyyxyxrreiiiiii222sin2cos22sin2cos2cos2sin222sin2cos222sin2cos222则因为所以 zzzixyxy 22 irrezzzi2 22练习5.4 试用公式 irrrezzziz2 22Re4由 导出半平面体在边界上受集中力作用时的应力分量公式.zPzzPzln2,ln2ryroP解：由得 zPzzPzln2,ln2 zPzzPzzPz1212,122 因为 1cos221Re2Re422rPyxxPzPzr iiirrezzzPezPzPzezzzi22222 1212222而2cos,iiieerez所以rPirrcos22即 2cos2rPr 30r由（1）、（2）、（3）式得00cos2rrrP
