1、概率论与数理统计概率论与数理统计数理学院应用数理学院应用 数学系数学系汪忠志汪忠志 生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题概率的问题 -拉普拉斯拉普拉斯我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，力战我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，力战的未必得胜的未必得胜,智慧的未必得粮食，明哲的未必得资财，智慧的未必得粮食，明哲的未必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，是在乎当时的机会灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，是在乎当时的机会.退出退出下页下页上页上页第四章第四章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理第三章第三章 随机变量的数
2、字特征随机变量的数字特征第五章第五章 数理统计初步数理统计初步第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率返回返回下页下页上页上页一、主要内容及要求一、主要内容及要求 1）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、交、并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定交、并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定律律.会用事件的关系表示随机事件会用事件的关系表示随机事件.,BA,BABA ,ABBA BA,BAABA ,BA AAAA ,第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率.;BABA 2)掌握概率的定义及性质，会求常用的古典掌
3、握概率的定义及性质，会求常用的古典概型中的概型中的 概率；概率；)()()(2121APAPAAP则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若,)1(21AA)()()()2(APBPABPBA )(1)()3(APAP )()()()()4(ABPBPAPBAP )()()()5(ABPBPABP 第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率 3)熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全概公式，事件的独立性及性质求概率。概公式，事件的独立性及性质求概率。;)1(BPABPBAP ;)2(ABPAPABP nkkkABPAPBP1;)3()|()4(BkAP)()
4、(BPBkAP,1)|()()|()(njjABPjAPkABPkAP .)5(BPAPABP 第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率二、重要公式与结论二、重要公式与结论1.1.BAABA 或或BAABB ).()()()()()()(ABPAPBAPBAPBAPABPAP 2.2.A与与B相互独立相互独立)()()(BPAPABP)()|(BPABP).|()|(ABPABP 第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率3.3.BABABABA与与与与与与与与,中有一组相互独中有一组相互独立立,则其余三组也相互独立则其余三组也相互独立.一般地一般地,若若),(),(2121nmBBBAAA
5、与与相互相互独立独立,则则),(),(2121nmBBBgAAAf与与也相互独立也相互独立.其中其中f,g表示加、减、乘、取对立事件运算表示加、减、乘、取对立事件运算.第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率三、典型例题分析与解答三、典型例题分析与解答设设A、B是两个随机事件是两个随机事件,.1)|()|(,2.0)(,4.0)(ABPABPABPAP则则 )(BAP分析分析:).()()()(BAPBPAPBAP 由由1)|()|(ABPABP)|()|(1)|(ABPABPABP )()()(BPAPABP A与与B相互独立相互独立第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率.5.04.0
6、2.0)()()(APABPBP.7.0)5.01(4.0)5.01(4.0)()()(1)()()()()(BPAPBPAPBAPBPAPBAP设设A、B的概率均大于零的概率均大于零,且且),()()(BPAPBAP 则则(1)A与与B互不相容互不相容;(2)A与与B互相对立互相对立;(3)A与与B相互独立相互独立;(4)A与与B互不独立互不独立.第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率由由)()()()(ABPBPAPBAP )()()(BPAPBAP 0)(ABP.ABBA互互不不相相容容、设设,0,0),1,0(xBxANX则则.0,0)0()(xABxPABP但但).4()()(0
7、)(选选由由 BPAPABP设设A、B、C为三个随机事件为三个随机事件,其中其中P(B)0,0P(C)0=分析分析:?),(00 yxdxdyyxfYXP解解:0 YXP).2(3113231)2()2()1()1(2,21,12,01,0212010 eedyedyeYPXPYPXPYXPYXPXYXPXYXPyy第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布注注:.),()(,),(),(),(zYXgPzZPzFyxfYXYXgZ 分布函数分布函数的分布的分布服从密度为服从密度为先求出先求出Z=g(X,Y)的值域的值域c,d,则则.),()(,)3(;1)(,)2(;0)(,)1(),(
8、zyxgdxdyyxfzFdzczFdzzFcz有有时时当当有有时时当当有有时时当当.)()(dzzdFzf 密度函数密度函数第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例例6 6 设设(X,Y)在区域在区域20,20|),(yxyxD上服从均匀分布上服从均匀分布,求求Z=(X+Y)2的概率密度的概率密度.分析分析:Z=(X+Y)2的值域为的值域为:0,16.(将将(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)代入确定代入确定).解解:(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为:.,0,),(,41),(其它其它Dyxyxfxyo22zyx zyx D:),)()()(2有有记记zYXPzZ
9、PzF ;1)(,16)2(;0)(,0)1(zFzzFz则则若若则则若若第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 zyxdxdyyxfzFz2)(),()(,40)3(则则若若;8)(21414141200zzdxdydxdyzyxzyx zyxdxdyzFz041)(,164)4(则则若若.)4(811)4(21241222zz 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布故分布函数为故分布函数为:.16,1,164,)4(811,40,8,0,0)(2zzzzzzzF从而概率密度函数为从而概率密度函数为:.,0,164,8121,40,81)()(其其它它zzzdzzdFzf第二
10、章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例例7 7设设X在满足在满足P(X=0)=1,Y为任一随机变量为任一随机变量,则则X与与Y相互独立相互独立.分析分析:X与与Y相互独立相互独立)()(),(yFxFyxFYX ).()(),()()(),(yfxfyxfyYPxXPyYxXPYXjiji 连连续续型型离离散散型型则则记记,yYBxXAyx ).()(),()()(),()()(),(yxyxYXBPAPBAPyYPxXPyYxXPyFxFyxF 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布证证:则则记记,yYBxXAyx .0,1,0,0)()()(xxAPxXPxFxX);()(0
11、),(0)(),(),(),(0,1)(,0)()(,01yFxFyxFAPBAPyYxXPyxFAPAPxFxYXxyxxxX 则则若若).()()()()()(),(),(,0)(1)()(,02yFxFyFBPABPBPBAPyxFAPAPxFxYXYyxyyyxxxX 则则若若第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布总之总之,对于任意对于任意x、y恒有恒有:),()(),(yFxFyxFYX 即即X与与Y相互独立相互独立.注注:讨论随机变量讨论随机变量X与与Y的相互独立性通常转化的相互独立性通常转化分布函数来讨论分布函数来讨论:).()(),(yFxFyxFYX 例例8 8 设二
12、维随机变量设二维随机变量(X,Y)N(0,0,1,1,0),则则 )0(YXP解解:由二维正态分布的性质可知由二维正态分布的性质可知:XN(0,1),YN(0,1),且且X与与Y相互独立相互独立.故故:.2121212121)0()0()0()0()0,0()0,0()0(YPXPYPXPYXPYXPYXP第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布返回返回下页下页上页上页EXERCISES一、主要内容及要求一、主要内容及要求1)熟练掌握期望定义和性质熟练掌握期望定义和性质.1ikkpxEX dxxxfEX)(niniiiiiEXaXaE11)(第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字
13、特征不相关与YXEXEYEXY2)会求随机变量函数的数学期望会求随机变量函数的数学期望.设设 Y=g(X),g(x)是连续函数是连续函数,dxxfxgEY)()(1)(kkkxgpEY则则),(YXgZ 若若 1,),(jiijjipyxgEZ则则 dxdyyxfyxgEZ),(),(第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3)熟练掌握方差的定义和性质熟练掌握方差的定义和性质.2)(EXXEDX 22EXEX DXccXD2)(),(2)(2)(2222YXabCOVDYbDXaEYYEXXabEDYbDXabYaXD 不不相相关关，若若YX,.)(22DYbDXabYaXD 则则
14、4)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的期望值和方差值匀分布、正态分布、指数分布的期望值和方差值.第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 5)掌握协方差和相关系数的定义掌握协方差和相关系数的定义,不相关的定不相关的定义及独立与不相关的关系义及独立与不相关的关系.COV(X,Y)=E(X EX)(Y-EY)=E XY EX EYDYDXYXCOVXY),(称称 X,Y 不相关不相关。，若若0 XY 若若X，Y 独立，则独立，则 X,Y 不相关。不相关。(反之，不然）反之，不然）第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数
15、字特征二、重要公式与结论二、重要公式与结论1.1.22)()(EXEXXD 或或.)()(22EXXDEX 2.2.)()()(),cov(EYEXXYEYX 或或).()(),cov()(EYEXYXXYE 3.3.:),(YXgZ 随机变量的函数随机变量的函数则则的概率密度为的概率密度为若若),(),(1yxfYX.),(),(),(dxdyyxfyxgYXEg特别地特别地,若若(X,Y)的概率密度的概率密度f(x,y)仅在仅在D上非零上非零,则则:.),(),(),(DdxdyyxfyxgYXEg第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征则则的概率密度为的概率密度为若若),(),
16、(2zfYXgZ .)(),()(dzzzfYXEgZE则则概率密度为概率密度为的的若若),(),(),(),(311ufYXgUYXghYXgZ .)()()()(duufuhUEhZE第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征三、典型例题分析与解答三、典型例题分析与解答 设某一机器加工一种产品的次品率为设某一机器加工一种产品的次品率为0.1,检验员每天检验检验员每天检验4次次,每次随机抽取每次随机抽取5件产品进行检件产品进行检验验,若发现次品多于若发现次品多于1件件,就要调整机器就要调整机器,求一天中调求一天中调整机器次数整机器次数Y的概率分布及的概率分布及Y2的数学期望的数学期望
17、EY2.令令A=“机器需要调整机器需要调整”,若若p=P(A),则则).,4(pBY设设X=“取出的取出的5件产品中的次品数件产品中的次品数”,则则).1.0,5(BX第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征于是于是,)1(1)1()(XPXPAPp.082.0)1()0(1 XPXP即即 YB(4,0.082),其分布率为其分布率为:.4,3,2,1,0,)082.01(082.0)(44 kCkYPkkk ).082.01(082.04)1(;082.04pnpDYnpEY.4087.0)(22 EYDYEY第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征设设A、B相互独立相互
18、独立,且且P(A)=P(B)=0.5.定义定义:.,1,1;.,1,1 不发生不发生发生发生不发生不发生发生发生BBYAAX试求试求:).()3();()2(;),()1(的相关系数的相关系数与与的联合分布率的联合分布率YXYXDYXXY 由题设易知由题设易知:.21)()()()(BPAPBPAP又又A、B相互独立相互独立,都都与与与与与与所所以以BABABA,相互独立相互独立.第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征从而易求得从而易求得:.1,1,.412121)()(),(jijYPiXPjYiXP故故(X,Y)的联合分布率为的联合分布率为:.414114141111 YX第三
19、章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征(2)由由(1)易求得易求得X+Y的概率分布为的概率分布为:.412141202,412)1,1(410)1,1(410)1,1(412)1,1(),(pYXpYXYX 即即.0412210412)(YXE第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征.241221041)2()(2222 YXE.202)()()(22 YXEYXEYXD故故(3)由题设易知由题设易知X,Y的概率分布分别为的概率分布分别为:212111212111pYpX 与与.0 EYEX又由又由(1)易求得易求得XY的概率分布为的概率分布为:第三章第三章 随机变量的数字特
20、征随机变量的数字特征.212111,411)1,1(411)1,1(411)1,1(411)1,1(),(pXYpXYYX 即即,0)(),cov(0)(EYEXXYEYXXYE.0)()(),cov(YDXDYXXY 故故第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征设设(X,Y)在以点在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三为顶点的三角形区域角形区域G上服从均匀分布上服从均匀分布,U=X+Y,求求D(U).这是一个求二维随机变量这是一个求二维随机变量(或叫两个随或叫两个随机变量机变量)的函数的函数U=X+Y的方差问题的方差问题,因为已知联合因为已知联合密度密度,故最简单的做法
21、是直接用函数期望公式计算故最简单的做法是直接用函数期望公式计算.为了比较还另给出了两种解法为了比较还另给出了两种解法.三角形区域三角形区域:Gxy)1,0()0,1()1,1(o.1,10,10|),(yxyxyxG于是于是(X,Y)的联合密度为的联合密度为:.,0,),(,2),(其其它它Gyxyxf第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征22)()()(YXEYXEYXD .181)34(611)(2()(2()(2)(22210111011222 dxdyyxdxdyyxdxdyyxdxdyyxxxGG三角形区域三角形区域:Gxy)1,0()0,1()1,1(o.1,10,10
22、|),(yxyxyxG于是于是(X,Y)的联合密度为的联合密度为:.),(,0,),(,2),(GyxGyxyxf第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征以以f1(x)表示表示X的概率密度的概率密度,则则 .10,22,10,0),()(111xxdyxxdyyxfxfx或或.181)(212322221032102 EXEXDXdxxEXdxxEX同理可得同理可得:.181;32 DYEY第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征现在求现在求X和和Y的协方差的协方差:;12522)(1110 xGydyxdxxydxdyXYE.36194125)(),cov(EYEXXYE
23、YX于是于是,.181362181181),cov(2)(YXDYDXYXDDU第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征解法三解法三:三角形区域三角形区域:Gxy)1,0()0,1()1,1(o.1,10,10|),(yxyxyxG于是于是(X,Y)的联合密度为的联合密度为:.,0,),(,2),(其其它它Gyxyxf以以f(u)表示表示U=X+Y的概率密度的概率密度,则则:当当u2时时,显然有显然有 f(u)=0;当当1u2时时,有有:.,0,1010,2),(其它其它且且xuxxuxf第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征由随机变量之和的概率密度公式有由随机变量之和的
24、概率密度公式有:).2(22),()(11udxdxxuxfufu 故随机变量故随机变量U的概率密度为的概率密度为:.21,0,21),2(2)(uuuuuf或或;611)2(2)()(;34)2(2)()(21222221 duuuduufuEUYXEduuuduuufEUYXE.181916611)(22 EUEUDU第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征设设(X,Y)在在10,10|),(yxyxD上服从均匀分布上服从均匀分布,Z=(Y-X)2,求求E(Z)和和D(Z).解法一解法一:正方形区域正方形区域:Dxy)1,0()0,1()1,1(o.10,10|),(yxyxD于
25、是于是(X,Y)的联合密度为的联合密度为:.),(,0,),(,1),(DyxDyxyxf;61)(),()()(1010222 dyxydxdxdyyxfxyXYEEZD第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征;152)()()(10104442 dyxydxdxdyxyXYEEZD.451361152)(22 EZEZDZ解法二解法二:正方形区域正方形区域:Dxy)1,0()0,1()1,1(o.10,10|),(yxyxD于是于是(X,Y)的联合密度为的联合密度为:.),(,0,),(,1),(DyxDyxyxf第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征因此因此X、Y相
26、互独立且都服从相互独立且都服从0,1上均匀分布上均匀分布.613121212312)2()(22222 EXEYEXEYXXYYEXYEEZ;152)()()(10104442 dyxydxdxdyxyXYEEZD.451361152)(22 EZEZDZ第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征解法三解法三:正方形区域正方形区域:Dxy)1,0()0,1()1,1(o.10,10|),(yxyxD于是于是(X,Y)的联合密度为的联合密度为:.),(,0,),(,1),(DyxDyxyxf因此因此X、Y相互独立且都服从相互独立且都服从0,1上均匀分布上均匀分布.:)(2的概率密度为的概
27、率密度为XYZ )(zf.61)(dzzzfEZ第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征设设).81,4,1,2,1(),(NYX和和求求|2|YXE.|2|YXD).(|2|2?),(|2|2|1zfYXZdxdyyxfyxYXE .|2|,211ZYXZYXZ 则则令令由题设由题设,.81),4,2(),1,1(XYNYNX,0222)2(EYEXYXE.9444),cov(44)2(DYDXYXDYDXYXDXY 第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征).1,0(32)9,0()2(NYXUNYX 于是于是,.260)(262621|3|3|3|2|2022222
28、uuueduuedueuUEUEYXE.18918)2()2(|)2|(|2|2|222 YXEYXDYXEYXEYXD第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 某流水作业线上生产的每个产品为不合某流水作业线上生产的每个产品为不合格的概率是格的概率是p,当生产出当生产出k个不合格品时个不合格品时,即停工检即停工检修一次修一次,试求在两次检修之间所生产的产品总数的试求在两次检修之间所生产的产品总数的数学期望和方差数学期望和方差.设设X表示两次检修之间所生产的产品数表示两次检修之间所生产的产品数,Xi表示生产出第表示生产出第i-1个不合格品后至出现第个不合格品后至出现第i个不合个不合格品
29、时所生产的产品数格品时所生产的产品数,则有则有:,211独独立立同同几几何何分分布布且且kkiiXXXXX .,2,1,)1()(1 jppjXPji第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征.,2,1,1,12kippDXpEXii .)1(,21111ppkDXXDDXpkEXXEEXkiikiikiikii 第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征例例 7 7 掷掷一一个个均均匀匀的的骰骰子子直直至至 6 6 个个点点数数都都出出现现为为止止,记记这这时时总总的的投投掷掷次次数数为为.求求 E.解解:令令(1=1)表示出现第一个点数需要的抛掷次表示出现第一个点数需要的抛
30、掷次数数,(i=i)表示出现第表示出现第i个点数需要的抛掷次数个点数需要的抛掷次数(i=2,3 6),则则 61ii .而而1 E=1,对对i2,i 实际上是等待新的点数出现实际上是等待新的点数出现的等待时间的等待时间,服从几何分布服从几何分布,每次投掷时新点数出现的每次投掷时新点数出现的概率是概率是 1-61 i,它的均值为概率的倒数它的均值为概率的倒数,第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征即即:166 iEi(i=2 2,3 3,6 6).所所以以 E=61166ii=14.7,即即为为所所求求.第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征兄弟？则把财产均匀地分给三集，使得按照类似的规分成三各子你有没有办法把们的无知让他们上当？是利用他心为了照顾弟兄们，还大要了最短的区间是真财产？老来讲，三弟兄各得几份间里，就归谁。问平均区子，点数之和落在谁的了。每份财产掷两可骰是，老三自然就，老二要了。老大要最短的，间：的各种可能分成三各区至的点数之和从两颗骰子每一份财产的归属。把掷两颗骰子的方法决定份。商定用共有价值相等的三兄弟分父亲的遗产，1221295286129865212236.10EXERCISES
