1、房山区 2022-2023 学年度第一学期诊断性评价 高三数学 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 2 0 1 2A=，2|1Bx x=，则AB=（A）1 0 1，（B）0 1，（C）2 0 1，（D）2 0 1 2，（2）若复数z满足(1 i)2iz+=，则在复平面内z对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（3）已知数列na满足12nnaa+=，12a=，则数列na的前四项和4S的值为（A）1516（B）1516（C）154（D）154（4）
2、已知函数xxxf241)(=，则)(xf（A）图象关于原点对称，且在0)+，上是增函数 （B）图象关于原点对称，且在0)+，上是减函数（C）图象关于y轴对称，且在0)+，上是增函数（D）图象关于y轴对称，且在0)+，上是减函数高三数学第 1 页（共 6 页）（5）若角、是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（A）coscos （B）sinsin （D）cossin上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为 5 和 3，则p的值为（A）1 （B）2 （C）1 或9 （D）2或 9（8）已知半径为1的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线()20mxym=+R的距离的最大值为（A）1 （B）
3、2 （C）3 （D）4（9）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有 1 000 名教师用户.如果教师用户人数)(tR与天数t之间满足关系式：0()ektR tR=，其中k为常数，0R是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为 （A）9 （B）10 （C）11 （D）12（参考数据：lg20.3010）（10）在ABC中,4BC=,3ABAC=,则BC BA 的取值范围为（A）3,12 （B）3,12（）（C）12,24 （D）12,24（）高三数学第 2 页（共 6 页）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25
4、 分。（11）函数xxxflg11)(+=的定义域是_ （12）3 41xx（）的展开式中常数项是_（用数字作答）（13）若双曲线221xym=的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_ （14）若函数2|()=24xxmf xxmxmxm+，存在最小值，则m的一个取值为_；m的最大值为_（15）函数()0.03sin(1000)0.02(sin2000)0.01sin(3000)f tttt=+的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论：1500是函数()f t的一个周期；()f t的图象关于直线1500t=对称；()f t的图象关于点1(0)500，对称；()f t在11,6 00
5、0 6 000上单调递增.其中所有正确结论的序号是_ 高三数学第 3 页（共 6 页）三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分）在ABC中，D是边AC上一点，1CD=，2BD=，3AB=，1cos8BDC=.（）求AD的长；（）求ABC的面积.（17）（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，Q为棱PD的中点.（）求证：/PB平面ACQ；（）再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，求：直线PC与平面ACQ所成角的正弦值，以及点P到平面ACQ的距离.条件：AQPC；条件：AQ
6、平面PCD；条件：62CQ=.（把此图用黑签字笔画在答题卡上）高三数学第 4 页（共 6 页）（18）（本小题 14 分）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计 4.8 万，其中获奖学生情况统计如下：奖项 组别 单人赛 PK赛 获奖 一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100 小学组 32 58 210 100（）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；（）从中学组和小
7、学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断)(D与)(D的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题 15 分）已知函数2()(1)e(2)xf xa xx=+()aR（）当0=a时，求曲线()yf x=在点1=x处的切线方程；（）求函数)(xf的单调区间；（）若函数)(xf恰有一个零点，则a的取值范围为 .（只需写出结论）高三数学第 5 页（共 6 页）（20）（本小题 14 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点(2 3)P，且点P到两个焦点的
8、距离之和为8.（）求椭圆C的方程；（）直线:l ykxm=+与椭圆C分别相交于A，B两点，直线PA，PB分别与y轴交于点MN，.试问是否存在直线l，使得线段MN的垂直平分线经过点P，如果存在，写出一条满足条件的直线l的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.（21）（本小题 14 分）若对+Nmn，当mnA时，都有mnaaA，则称数列na受集合A制约.（）若=2nna，判断na是否受+N制约，na是否受区间0 1，制约；（）若12=1=3aa，na受集合2制约，求数列na的通项公式；（）若记p：“na受区间1，2制约”,q：“na受集合2制约”,判断p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件，并
9、证明你的结论.高三数学第 6 页（共 6 页）高三数学 期末试卷 1/6 房山区 2022-2023 学年度第一学期诊断性评价 高三数学 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C B D A C C D D 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.|0 x x ，且1x 12.4 13.3yx=14.0（第一空不唯一，区间0 4，上任意值都可以）4，15.三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分）解：（）1coscos()cos8BD
10、ABDCBDC=.ABD中，由222+2cosABADBDAD BDBDA=.化简得，22+100ADAD=，又0AD，解得2AD=.所以AD的长为2.（）BCD中，因为1cos8BDC=，所以23 7sin1 cos8BDCBDC=.BCD的面积113 73 7sin2 12288BD CDBDC=.因为3ACCD=,所以ABC的面积3=BCD的面积9 78=.（17）（本小题 14 分）（）证明：正方形ABCD中，连结BD交AC于O,则BOOD=,高三数学 期末试卷 2/6 又因为PBD中，PQQD=，所以/PBQO.又因为PB 平面ACQ,QO 平面ACQ.所以/PB平面ACQ.方法二：
11、已知PA平面ABCD，ABAD，分别以ABAD，AP，为xyz，轴,建立空间直角坐标系（如图）.设(0 0)0Paa，(1 0)PBa=，.由(1 1 0)AC=，1(0)22aAQ=，得平面ACQ的法向量为1()222aan=，则PB1(1 0)()022222aaaana=，.又因为PB 平面ACQ,所以/PB平面ACQ.（）如果选择条件：AQPC，则0AQ PC=.因为1(0)22aAQ=，(1 1)PCa=，所以210022a+=，得1a=，(0 0 1)P，.如果选择条件：AQ 平面PCD，则AQPD.PAD中，Q为PD的中点，所以PAAD=.(0 0 1)P，如果选择条件：62CQ
12、=，1(1 1 0)(0)22aCQ，22161(1)()222a+=，得1a=，(0 0 1)P，.设平面ACQ的法向量为()nx y z=，(1 1 0)AC=，1 1(0)2 2AQ=，.由00n ACn AD=，得011022xyyz+=+=令1x=，得1y=，1z=.所以平面ACQ的法向量为(11 1)n=，设直线PC与平面ACQ所成角为，(1 11)PC=，(1 11)(11 1)1sin|cos|3|1+1+11+1+1PC nPC nPC n=，.设点P到平面ACQ的距离为d，13|sin1 1 133dPC=+=.高三数学 期末试卷 3/6 （18）（本小题 14 分）解：（
13、）方法 1：从表格中可知：获奖学生总数为：4040 120 1003258210 100700+=人，其中获得一等奖的403272+=人，记事件A为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生获得一等奖”，则72()700P A=,记事件B为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生来自中学组”，则AB为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生获得一等奖且来自中学组”，40()700P AB=，因此40()5700(|)72()9700P ABP B AP A=.从获奖学生中随机抽取1人，若获得一等奖，抽到的学生来自中学组的概率为59.（）X 的取值范围是0,1,2.记事件C为“从中学组获奖者中取1人，该
14、人是PK赛获奖”，事件D为“从小学组获奖者中取1人，该人是PK赛获奖”，中学组获奖者有4040 120 100300+=，其中PK赛获奖的人数为100，小学组获奖者有3258210 100400+=，其中PK赛获奖的人数为100，1001()3003P C=,2()3P C=;1001()4004P D=,3()4P D=.由题意知，事件CD，相互独立，所以112 31(0)()1)(1)343 42P XP C D=（;1 32 15(1)()()()()()3 43 412P XP CDCDP C P DP C P D=+=+=512;1 11(2)()()()3 412P XP CDP
15、CP D=.所以X的分布列为:X的数学期望1517()0122121212E X=+=.（）()()DD=.X 0 1 2 P 12 512 112 高三数学 期末试卷 4/6 （19）（本小题 15 分）解：（）当0=a时，()e(2)xf xx=，(1)ef=，切点坐标为(1e)，.()e(1)xfxx=，斜率(1)0kf=.所以切线方程为ey=.（）()2(1)e(1)(1)(e2)xxfxa xxxa=+=+.1.当0a时，e20 xa+，由()(1)(e2)0 xfxxa=+得1x，增区间为(1)，+.由()(1)(e2)0 xfxxa=+得1x，减区间为(1)，.当0a 时，()(
16、1)(e2)0 xfxxa=+=得11x=，2ln(2)xa=.2.当e2a=时，()(1)(ee)0 xfxx=，函数增区间为()+，.3.当e02a时，ln(2)1a，列表如下：x()a，l n-2()al n-2()al n-2，1 1(1)+，()fx+0 0+()f x ()f x的增区间为()a，l n-2，(1)，+.减区间为()1)al n-2，.4.当e2a 时，ln(2)1a，列表如下：x()，1 1()a1，l n-2()al n-2()a+l n-2，()fx+0 0+()f x ()f x的增区间为(1)，(2)a+l n-，;减区间为(1(2)a，l n-.（）若函
17、数)(xf恰有一个零点，则a的取值范围为(，0.高三数学 期末试卷 5/6 （20）（小题 14 分）解：（）依题意28a=，4a=，222116xyb+=，把(2 3)P，代入得222116xyb=，得249116b+=，212b=.椭圆C的方程为：2211612xy+=.20（）（直线l不唯一.直线l的方程为12yxm=+，(4 2)(2 4)m ，都可以.）存在直线1:2l yx=满足条件.证明：12yx=与椭圆C分别相交于A，B两点，221211612yxxy=+=得2 33xy=或2 33xy=，不妨设33A（2，），33B（-2，-）.(2 3)P，33A（2，），得3322 3k
18、=，PA的直线方程为333(2)22 3yx=,令0 x=得33y=，所以(033)M+，.同理PB的直线方程为333(2)22 3yx+=+,令0 x=得33y=，(033)N+，.线段MN的垂直平分线为3y=，过点(2 3)P，.（21）（本小题 14 分）解：（I）若na受+N制约.na不受01，制约.（II）若1213aa=，因为na受2制约，所以对任意+Nmn，当2mn,即2mn=时，2mnaa，即22nnaa+=.135aaa，成等差数列，246aaa，成等差数列，高三数学 期末试卷 6/6 当n为奇数时，1+1=+(1)2=2nnaan，当n为偶数时，2=+(1)2=12nnaa
19、n+，数列na的通项公式为+21=N+12.nnnkaknnk=，.（III）p是q的充分条件.证明：若na受区间1，2制约，则 对任意+mnN，+Nmn，当1mn，2时,=1mn，或=2mn 当=1mn时，2mnaa1，即12nnaa+1 由12+122nnnnaaaa+11相加得24nnaa+2 当=2mn时，2mnaa1，即22nnaa+1 由得22nnaa+=，所以对任意+Nmn，当2mn,即2mn=+时，2mnaa=即2mnaa，所以na受2制约 所以，“na受区间1，2制约”是“na受2制约”的充分条件.p不是q的的必要条件.反例：数列na，+21=N22.nnnkaknnk=+=，即，奇数项成公差为的差数列，偶数项成公差为的等差数列，对任意+Nmn，当2mn,即2mn=时，22mnnnaaaa+=2，所以na受2制约，但是，当21mn=，时，1mn=1，2，2131aa=，2，所以na不受区间1，2制约 所以，“na受区间1，2制约”不是“na受2制约”的必要条件.
