1、第第 一一 课课 时时 角的平分线的性质角的平分线的性质角平分线的定义是什么角平分线的定义是什么?如何作出角平分线呢如何作出角平分线呢?1.1.如图如图,已知已知:AB=DC,AC=DB,BE=CE.:AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证求证:AE=DE:AE=DE 证明三角形全等的方法证明三角形全等的方法:SAS,SSS,AAS,ASA,HL.:SAS,SSS,AAS,ASA,HL.A AB BC CD DE E 给出一个纸片做的角给出一个纸片做的角,不利用工具不利用工具,能不能找出这个能不能找出这个角的角平分线呢角的角平分线呢?如果将纸片换成木板、钢板等无法对折的材料如果将纸片换成木板
2、、钢板等无法对折的材料,能不能不能找出这个角的角平分线呢能找出这个角的角平分线呢?如图如图,是一个木匠用的角平分仪是一个木匠用的角平分仪,其中其中AB=AD,BC=DC.AB=AD,BC=DC.沿沿ACAC画一画一条射线条射线AE.AEAE.AE就是就是B BADAD的角平分线的角平分线,你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?根据角平分仪的制作原理你能作出根据角平分仪的制作原理你能作出EOFEOF的的角平分线吗？角平分线吗？分析分析:要证角相等要证角相等证明三角形全等证明三角形全等证明证明ADCADCABCABCC CB BE EA AD DO OE EF FC CB BA AD DC CE
3、EN NM M如何在如何在EOFEOF内做出内做出两个全等三角形呢？两个全等三角形呢？作法作法:.以以O O为圆心为圆心,适当长为半径作弧适当长为半径作弧,交交 OE OE于点于点N,N,交交OFOF于点于点M M.分别以分别以M,NM,N为圆心为圆心,大于大于MNMN一半的一半的 长为半径作弧长为半径作弧,两弧在两弧在EOFEOF的内的内 部交于点部交于点.作射线作射线OCOC1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系
4、？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD 将将AOBAOB对折对折,在折痕上任取一点在折痕上任取一点P,P,过过P P点再折出一个点再折出一个直角三角形直角三角形(使第一条折痕为斜边使第一条折痕为斜边),),然后展开然后展开,观察两次折观察两次折叠形成的三条折痕叠形成的三条折痕,你能得出什么结论？你能得出什么结论？P PA AOOB BC CE EDD角的平分线的性质角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等角的平分线上的点到角两边的距
5、离相等结论结论:PO:PO为为AOBAOB的角平分线的角平分线,PDOA,PDOA,PEOB,PEOB,且且PD=PE.PD=PE.猜想猜想:角的平分线上的点到角两边的角的平分线上的点到角两边的 距离相等距离相等.已知已知:如图如图,OC,OC平分平分AOB,AOB,任意任意点点P P在在OCOC上上,PDOA,PDOA于点于点D,PED,PE OB OB于点于点E.E.求证求证:PD=PE.:PD=PE.分析分析:证明线段相等证明线段相等 证明三角形全等证明三角形全等 证明证明 ODPODPOEP.OEP.证明一个几何中的命题时，要按照以下步骤：1、明确命题中的已知和求证；2、根据题意，画出
6、图形，并用数学符号表示已知和求证3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,且且PD=PEPD=PEOPOP是是AOBAOB的平分线的平分线EDOABPC几何语言几何语言:在一个角的内部，到一个角的两边距离相等在一个角的内部，到一个角的两边距离相等的点是否在这个角的平分线上？的点是否在这个角的平分线上？角平分线性质的逆定理角
7、平分线性质的逆定理（角平分线的判定）（角平分线的判定）：在一个角的内部，到一个角的两边在一个角的内部，到一个角的两边距离相等距离相等的点，的点，在这个在这个角的平分线角的平分线上。上。例例1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E、F F，且且BEBECFCF。求证：。求证：ADAD是是ABCABC的角平分线。的角平分线。A AB BC CE EF FDD证明证明:过点过点P P作作PD,PE,PFPD,PE,PF分别垂直于分别垂直于AB,BC,AC AB,BC,AC 于于D,E,F.D,E,F.
8、BM BM是是ABCABC的角平分线的角平分线,点点P P在在BMBM上上,PD=PE.PD=PE.同理同理 PE=PF.PE=PF.PD=PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P P到三边到三边AB,BC,CAAB,BC,CA的距离相等的距离相等.A AN NB BC CM MP P例例2.2.如图如图,ABCABC的角平分线的角平分线BM,CNBM,CN相交于点相交于点P.P.求证求证:点点P P到三边到三边AB,BC,CAAB,BC,CA的距离相等的距离相等.D DE EF FC C例例1.1.尺规作图尺规作图,做下列角的角平分线做下列角的角平分线.A AB BO OC CC CA AO
9、 OB BB BO OA A1.1.如图如图,E,E是是AOBAOB的角平分线的角平分线OCOC上的一点上的一点,EMOB,EMOB垂足为垂足为M,M,且且EM=3cm,EM=3cm,求点求点E E到到OAOA的距离的距离.合作交流合作交流 巩固提高巩固提高2.2.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线,且且 BD=CD,BD=CD,DEAB,DFAC DEAB,DFAC垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.求证求证:EB=FC.:EB=FC.A AB BC CD DE EF FO OB BA AM ME E(1(1题图题图)(2(2题图题图)1.1.如
10、何做一个已知角的角平分线如何做一个已知角的角平分线?2.2.角平分线的性质是什么角平分线的性质是什么?3.3.你会用角平分线的性质证明线段相等吗你会用角平分线的性质证明线段相等吗?必必做题做题:P110 T1 T2P110 T1 T2开放题开放题:如图所示如图所示,AC,BC,AC,BC是公园的两道垂直的围墙是公园的两道垂直的围墙,AD,AD是公园里的一排树是公园里的一排树,AB,AB是一条路是一条路,AD,AD正好平分正好平分BAC,BAC,并并且且BC=10m,BD=6m,BC=10m,BD=6m,工作人员想从工作人员想从D D点修一条路到达点修一条路到达ABAB所所在的路上在的路上,那么怎么修最近那么怎么修最近,要修多少米？要修多少米？C CA AB BD D 板书设计板书设计 13.313.3 角的平分线的性质角的平分线的性质复习引入复习引入 角平分线的做法角平分线的做法 例题讲解例题讲解 情景猜想情景猜想 角平分线的性质角平分线的性质 课堂小结课堂小结
