1、7.2 一个正态总体均值与一个正态总体均值与方差的假设检验方差的假设检验1.1.均值均值的假设检验的假设检验2.方差的检验方差的检验3.小结小结1.均值的假设检验）：的的假假设设（显显著著性性水水平平为为均均值值的的样样本本，来来检检验验关关于于是是来来自自总总体体已已知知或或未未知知，未未知知，设设总总体体 XXXXNXn,),(2122;:,:)3.:,:)2;:,:)1010001000100 HHHHHH假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验 )(,.12检验检验的检验的检验关于关于为已知为已知Z 拒绝域分别为拒绝域分别为检验法检验法检验法称为检验法称为这种这种来确定拒绝域的
2、来确定拒绝域的的统计量的统计量分布分布为真时服从为真时服从上节讨论中都是利用上节讨论中都是利用 .,/)1,0(00ZnXZNH nxzZ/0 检验统计量的观察值检验统计量的观察值检验检验0H1 H的拒绝域的拒绝域0 H0 0 0 0 0 0 zz zz 2/|zz 例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为切割每段金属棒的平均长度为10.5cm,标准差是标准差是0.15cm,今从一批产品中随机的抽取今从一批产品中随机的抽取15段进行测段进行测量量,其结果如下其结果如下:7.102.107.105.108.106.109.102.103.103.105.104
3、.101.106.104.10假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布,且标准差没有变化且标准差没有变化,试问该机工作试问该机工作是否正常是否正常?)05.0(解解 0.15,),(2 NX因为因为,5.10:,5.10:10 HH要检验假设要检验假设 15/15.05.1048.10/0 nx 则则,516.0 ,645.105.0 z 1.645,|0.516|/05.00 znx 于是于是 .,0认为该机工作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05.0 查表得查表得)(,).2(2检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t .,),(22 显著性水
4、平为显著性水平为未知未知其中其中设总体设总体NX.:,:0100的拒绝域的拒绝域 HH ,21的样本的样本为来自总体为来自总体设设XXXXn ,2未知未知因为因为 /0nX 不能利用不能利用 ,22的无偏估计的无偏估计是是因为因为 S,来取代来取代故用故用 S ./0来作为检验统计量来作为检验统计量即采用即采用nSXt nsxtt/0 检检验验统统计计量量的的观观察察值值检检验验0H1 H的的拒拒绝绝域域0 H0 0 0 0 0 0 )1(ntt )1(|2/ntt )1(ntt 求检验问题求检验问题,来确定拒绝域来确定拒绝域上述利用上述利用 t 统计量统计量得出的检验法称为得出的检验法称为t
5、 检验法检验法.如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度服从正态分假定切割的长度服从正态分布布,问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化?)05.0(解解 ,),(22均为未知均为未知依题意依题意 NX,5.10:,5.10:10 HH要检验假设要检验假设,15 n,48.10 x,05.0 ,237.0 s 15/237.05.1048.10/0 nsxt,327.0 查表得查表得)14()1(025.02/tnt 1448.2,327.0 t .,0无显著变化无显著变化认为金属棒的平均长度认为金属棒的平均长度故接受故接受 Ht t分布表分布表例例
6、2 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服从正态分布服从正态分布,均为未知均为未知.现现测得测得16只元件的寿命如下只元件的寿命如下:170485260149250168362222264179379224212101280159问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时小时)?2,例例3解解,225:,225:100 HH依题意需检验假设依题意需检验假设 ,05.0 取取,16 n,5.241 x,7259.98 s查表得查表得)15(05.0t 6685.0/0 nsxt .225,0小时小时大于大于认为元件的平均寿命不认为元件的
7、平均寿命不故接受故接受 H7531.1 2、方差的检验 ,),(22均为未知均为未知设总体设总体 NX ,:,:20212020 HH(1)要求检验假设要求检验假设:,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn .0为已知常数为已知常数其中其中 ,22的无偏估计的无偏估计是是由于由于 S ,0为真时为真时当当 H 1,1 ,1 202或过分小于或过分小于不应过分大于不应过分大于附近摆动附近摆动在在比值比值 s ,设显著水平为设显著水平为),1()1(,22020 nSnH 为真时为真时当当 ,)1(2022作为统计量作为统计量取取 Sn ,)1()1(22021202kSnkSn 或或拒
8、绝域的形式拒绝域的形式 :21的值由下式确定的值由下式确定和和此处此处kk,00HHP拒绝拒绝为真为真.)1()1(2202120220 kSnkSnP指它们的和集指它们的和集为了计算方便为了计算方便,习惯上取习惯上取,2)1(120220 kSnP,2)1(220220 kSnP .)1(,)1(22/222/11 nknk 故得故得拒绝域为拒绝域为:)1(202 sn)1(22/1 n )1(202 sn或或.)1(22/n 解解,5000:,5000:2120 HH要要检检验验假假设设,26 n,02.0 ,50002 ,314.44)25()1(201.022/n)02.0(例例4 某
9、厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差其寿命长期以来服从方差 =5000(小时小时2)的正态分布的正态分布,现有一批这种电池现有一批这种电池,从它生产情况来看从它生产情况来看,寿命的波动性有所变化寿命的波动性有所变化.现随机的取现随机的取26只电池只电池,测出其寿命的样本测出其寿命的样本方差方差 =9200(小时小时2).问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化波动性较以往的有显著的变化?2 2s,524.11)25()1(299.022/1 n )1(202 sn,524.11拒绝域为拒绝域为:)1
10、(202 sn或或.4.3144 465000920025)1(202 sn因因为为,4.3144 ,0H所所以以拒拒绝绝认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化.例例5 (续例续例1)如果只假设切割长度服从正态分布如果只假设切割长度服从正态分布,问该机切割的金问该机切割的金属棒长度的标准差有无显著变化属棒长度的标准差有无显著变化?)05.0(解解 ,),(22均均为为未未知知因因为为总总体体 NX,15.0:,15.0:100 HH要要检检验验假假设设,15 n,48.10 x,05.0 ,0225.0:,0225.0:2120 HH即即,
11、056.02 s)1(202 sn 因因为为 ,844.430225.0056.014 查表得查表得,629.5)14()1(2975.022/1 n,119.26)14()1(2025.022/n0225.0056.014)1(202 sn于于是是 ,0H所所以以拒拒绝绝认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化.,119.26844.43 (2)单边检验问题的拒绝域单边检验问题的拒绝域 )(设显著水平为设显著水平为 ,:,:20212020 HH右边假设检验右边假设检验:,2120要小要小中的中的都比都比中的全部中的全部因为因为 HH ,221往往
12、往往偏偏大大的的观观察察值值为为真真时时当当sSH拒绝域的形式为拒绝域的形式为:.2ks :的的值值由由下下式式确确定定此此处处k,00HHP拒拒绝绝为为真真2202kSP )1()1(20202202 knSnP)(.)1()1(2022022202 因为因为knSnP,00 HHP拒绝拒绝为真为真要使要使.)1()1(2022202 knSnP只需令只需令),1()1(222 nSn 因为因为,)1()1(220 nkn 所以所以),1(1 220 nnk 故故),1(12202 nns 右边检验问题的拒绝域为右边检验问题的拒绝域为).1()1(22022 nsn 即即同理左边检验问题同理
13、左边检验问题:,:,:20212020 HH拒绝域为拒绝域为).1()1(212022 nsn .2检检验验法法为为上上述述检检验验法法称称 例例6 某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分布布,现随机抽取现随机抽取9根根,检查其折断力检查其折断力,测得数据如下测得数据如下(单位单位:千克千克):289,268,285,284,286,285,286,298,292.问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方差为差为20?解解,20:,20:2120 HH按题意要检验按题意要检验,9 n,89.287 x,36.202 s查表得
14、查表得)05.0(,18.2)8(2975.0 ,5.17)8(2025.0 ,14.82036.208)1(202 sn于是于是,5.1714.818.2 ,0H故接受故接受认为该厂生产铜丝的折断力的方差为认为该厂生产铜丝的折断力的方差为20.解解,1.0:,1.0:2120 HH要检验假设要检验假设,25 n,415.36)24(205.0 4.471.01975.024)1(202 sn因为因为,415.36 ,0H所以拒绝所以拒绝认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度.例例7 某自动车床生产的产品尺寸服从某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布正态
15、分布,按规定产品尺寸的按规定产品尺寸的方差方差 不得超过不得超过0.1,为检验该为检验该自动车床的工作精度自动车床的工作精度,随机的取随机的取25件产品件产品,测得样测得样本方差本方差 s2=0.1975,.问该车床生产的产品问该车床生产的产品是否达到所要求的精度是否达到所要求的精度?2 86.3 x)05.0(3.小结本节学习的一个正态总体均值与方差的假设检本节学习的一个正态总体均值与方差的假设检验有验有:;,).1检检验验检检验验的的检检验验单单个个总总体体均均值值tZ 正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 )(显著性水平为显著性水平为 ;).22检验法检验法验
16、法验法单个正态总体方差的检单个正态总体方差的检 4)(22221212121未知000)1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2()1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz)1()1()1(2/nttnttntt2/zzzzzz32 17),(21222122212221未知)(000成对数据DDDnSDtD/0000DDD)1()1()1(2/nttnttntt0H原假设检验
17、统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知2022)1(Sn2221SSF 202202202222122212221)1()1()1()1(22/1222/221222nnnn或)1,1()1,1()1,1()1,1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或65附表附表8.1 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz)1()1()1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(22221212121未知000)1()2()2(
18、212/2121nnttnnttnntt2)2()1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww)2(21 nntt 321t分布表a )()(ntntP=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35
19、621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.1448 作业作业 P178:1、3、7
