1、韦达定理韦达定理1.1.他是十六世纪他是十六世纪法国著名的数学法国著名的数学家；家；2.2.我们曾学过以我们曾学过以他的名字命名的定他的名字命名的定理；理；3.3.这个定理研究这个定理研究的是一元二次方的是一元二次方程中根与系数的程中根与系数的关系关系.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：X1,2=aacbb242设一元二次方程设一元二次方程a x2+b x+c=0(a0)两两个根为个根为x1,x2，那么那么abxx21acxx21（0）x1,x2为一元二次方程为一元二次方程a x2+b x+c=0 的两根的两根aacbbx2421aacbbx2422ababaacbbacb
2、bxx222442221acaacaacbbxx222221444)4()(（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1-22123一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2 ,那么X1+x2=,X1x2=ab-ac（韦达定理）（韦达定理）注：能用韦达定理的前提条件为0如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2=,X
3、1X2=Pq说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2 =421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2=-234134例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 ,x2 。求：(1)(2)x12+x222111xx解：由题意可知x1+x2=-,x1 x2=-332(1)2111xx=2121xxxx=332=92(2)(x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22(x1x2)2-2x1x2(-)232-2(-3)6例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=
4、0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解1：设方程的另一个根为x1.答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。由韦达定理，得x1 2=k+1x1*2=3k解这方程组，得x1=3 k=2例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解2：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k=-2由韦达定理，得x1*23k 即2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:(1)x1=1,x2=2(2)x1=3,x2=-6(3)x1=-,
5、x2=(4)x1=-2+,x2=-2-77551、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a0（2）根的判别式 01、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=21k23k12342)21(kk解得k1=9,k2=-3当k=
6、9或-3时，由于0，k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得0242)1(4kk即-8k+4021 k由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+44解得k1=0 ,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。k=0 二个核心二个核心和为和为abac积为积为 三个体验三个体验A 分类性分类性 B 整体性整体性C 探索性探索性 四个注意四个注意一个定理一个定理 (表述根与系数关系表述根与系数关系)韦达喜欢一般式韦达喜欢一般式 韦达重视关系式韦达重视关系式 韦达要求韦达要求0 韦达可以逆着用韦达可以逆着用
