1、第二十六章第二十六章26.2 26.2 建立反比例函数模型解实际应用问题建立反比例函数模型解实际应用问题人教版数学九年级下册1.1.理解二次函数与一元二次方程、一理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系元二次不等式之间的联系.2.2.能够运用二次函数及其图象、性质能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题解决实际问题.学习目标学习目标你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？知识吗？（1）体积为）体积为20cm的面团做成拉面，面条的总长度的面团做成拉面，面条的总长度y 与面条粗细（横截面积）与面条粗细（横截面积）s有怎样的函
2、数关系？有怎样的函数关系？（2）某家面馆的师傅收益精湛，）某家面馆的师傅收益精湛，他拉的面条粗他拉的面条粗1mm2 面条总长是多少？面条总长是多少？20ys 导入新知导入新知1知识点知识点实际问题中的反比例函数解析式实际问题中的反比例函数解析式下列问题中，如何利用函数来解答，请列出关系式下列问题中，如何利用函数来解答，请列出关系式(1)京沪线铁路全程为京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间，乘坐某次列车所用时间t （单位（单位:h）随该列车平）随该列车平 均速度均速度v（单位（单位:km/h）的变化）的变化 而变化；而变化；(2)某住宅小区要种植一个面积为某住宅小区要种植一个面积为
3、1000m2的矩形草坪，草的矩形草坪，草 坪的长为坪的长为y随宽随宽x的变化；的变化；1463tv 1000yx 合作探究合作探究容积为104 m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？解得d=20(m).析式为_式为_；得 (吨/天).用规格为50 cm50 cm的地板砖密铺客厅恰好需的平均速度不能小于多少？解：(1)(2)120km/h.解：（1）煤的总量为：0.分支在此题中必须舍去例1 市煤气公司要在地下修建一个容积 为104 m3的圆柱则平均每天至少要卸载48吨.A该村人均耕地面积随总人口的增多而增多三角形的面积为8 cm2，底边上的高y(cm)与底边
4、长x(cm)之间的函数关系用图象来表示是()理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.利用反比例函数解决实际问题要建立数学模型，即利用反比例函数解决实际问题要建立数学模型，即把实际问题转化为反比例函数问题，利用题中存在把实际问题转化为反比例函数问题，利用题中存在的公式、隐含的规律等相等关系确定函数解析式，的公式、隐含的规律等相等关系确定函数解析式，再利用函数的图象及性质去研究解决问题再利用函数的图象及性质去研究解决问题新知小结新知小结例例1 市煤气公司要在地下修建一个容积市煤气公司要在地下修建一个容积 为为104 m3的圆柱的圆柱 形煤气储存室形煤气储存室.储存室的底面积储存室的底
5、面积S(单位：单位：m2)与其与其 深度深度d(单位：单位：m)有有 怎样的函数关系？怎样的函数关系？公司决定把储存室的底面积公司决定把储存室的底面积S定为定为 500 m2,施工队施工施工队施工 时应该向地下掘进多深？时应该向地下掘进多深？(3)当施工队按当施工队按(2)中的计划掘进到地下中的计划掘进到地下15 m时，公司临时，公司临 时改变计划，时改变计划，把储存室的深度改为把储存室的深度改为15 m.相应地，储相应地，储 存室的底面积应改为多少（结果保留存室的底面积应改为多少（结果保留 小数点后两位小数点后两位)？合作探究合作探究解解:(1)根据圆柱的体积公式，得根据圆柱的体积公式，得S
6、d=104，所以所以S关于关于d的函数解析式为的函数解析式为 (2)把把S=500代入代入 得得 解得解得d=20(m).如果把储存室的底面积定为如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向，施工时应向 地下掘进地下掘进20 m深深.410.Sd 410,Sd 410500,d(3)根据题意，把根据题意，把d=15代入代入 得得 解得解得 当储存室的深度为当储存室的深度为15 m时，底面积应改为时，底面积应改为666.67 m2.410,Sd 410,15S 2666.67(m)S 利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际问题中的等量关系，把实际
7、问题转化为数学问题回问题中的等量关系，把实际问题转化为数学问题回答答.新知小结新知小结例例2 码头工人每天往一艘轮船上装载码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完吨货物，装载完 毕恰好用了毕恰好用了 8 天时间天时间.轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：单位：吨吨/天天)与卸货天数与卸货天数t之间有怎样的函数关系？之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载天卸载 完毕，那么平均完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？每天至少要卸载多少吨？分析：分析：根据根据“平均装货速度
8、平均装货速度 装货天数装货天数=货物的总量货物的总量”，可以求出轮船装可以求出轮船装 载货物的总量；再根据载货物的总量；再根据“平均卸货速度平均卸货速度=货物的总量货物的总量 卸货天数卸货天数”，得到，得到v关关 于于t的函数解析式的函数解析式.合作探究合作探究解：解：(1)设轮船上的货物总量为设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得吨，根据已知条件得 k=308=240，所以所以v关于关于t的函数解析式为的函数解析式为 (2)把把t=5代入代入 得得 (吨吨/天天).240.vt 240,vt 240485v 从结果可以看出，如果全部货物恰好用从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载天卸载
9、完，那么平均每天卸载完，那么平均每天卸载48吨吨.对于函数对于函数 当当t0时，时，t越小，越小，v越大越大.这样若货物不超过这样若货物不超过5天卸载完，天卸载完，则平均每天至少要卸载则平均每天至少要卸载48吨吨.240,vt 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：(1)审题，确定变量间的函数关系，设出含待定系数的函审题，确定变量间的函数关系，设出含待定系数的函 数解析式；数解析式；(2)建立适当的平面直角坐标系；建立适当的平面直角坐标系；(3)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(4)用待定系数法求出函数的
10、解析式；用待定系数法求出函数的解析式；(5)利用反比例函数的图象及其性质去分析解决问题利用反比例函数的图象及其性质去分析解决问题新知小结新知小结如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L (1 L=1 dm3)的圆锥形漏斗的圆锥形漏斗.(1)漏斗口的面积漏斗口的面积S(单位：单位：dm2)与漏斗的深与漏斗的深d(单位：单位：dm)有有 怎样的函数关系？怎样的函数关系？(2)如果漏斗口的面积为如果漏斗口的面积为100 cm2，那么漏斗的深为多少？那么漏斗的深为多少？解：解：(1)(2)30cm.3;Sd 巩固新知巩固新知800 kWh的电，那么这些电能
11、够用的天数n(天)与图象时，只能画出第一象限的一个分支，第三象限的怎样的函数关系？B该村人均耕地面积y 与总人口x成正比例所以v关于t的函数解析式为若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y 天.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L解:(1)根据圆柱的体积公式，得Sd=104，利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际容积为104 m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面地下掘进20 m深.下列问题中，如何利用函数来解答，请列出关系式完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.分支在
12、此题中必须舍去(2)列表如下：完，那么平均每天卸载48吨.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均的平均速度用速度用6 h到达目的地到达目的地.(1)当他按原路匀速返回时，汽车的速度当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间与时间t有有 怎样的函数关系？怎样的函数关系？(2)如果该司机必须在如果该司机必须在4 h之内回到甲地，那么返程时之内回到甲地，那么返程时 的平均速度不能小于多少？的平均速度不能小于多少？解：解：(1)(2)120km/h.480;vt 新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需
13、要贴瓷砖面需要贴瓷砖.已知楼体外表面的面积为已知楼体外表面的面积为5103 m2.(1)所需的瓷砖块数所需的瓷砖块数n与每块免砖的面积与每块免砖的面积S(单位：单位：m2)有有 怎样的函数关系？怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是每块瓷砖的面积都是80 cm2，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2:2:1，需，需 要三种瓷砖各多少块？要三种瓷砖各多少块？解：解：(1)(2)250 000块，块，250 000块，块，125 000块
14、块.35 10;nS 34 某汽车的油箱一次加满汽油某汽车的油箱一次加满汽油45 L，可行驶，可行驶y km，设，设 该汽车每行驶该汽车每行驶100 km耗油耗油x L，则，则y关于关于x的函数解的函数解 析式为析式为_电是商品，可以提前预购小明家用购电卡购买电是商品，可以提前预购小明家用购电卡购买 800 kWh的电，那么这些电能够用的天数的电，那么这些电能够用的天数n(天天)与与 小明家平均每天的用电量小明家平均每天的用电量m(kWh)之间的函数解析之间的函数解析 式为式为_；如果平均每天用电；如果平均每天用电4 kWh，那么这些电可用那么这些电可用_天天4500yx 800nm 200得
15、 (吨/天).6代入函数关系式中可求出y的值的平均速度不能小于多少？下列问题中，如何利用函数来解答，请列出关系式分析：根据“平均装货速度 装货天数=货物的总量”，用规格为50 cm50 cm的地板砖密铺客厅恰好需分支在此题中必须舍去(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临针对具体的反比例函数解答实际问题，应明确其而x应大于0，因此在画此实际问题中的反比例函数的完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？已知楼体外表面的面积为5103 m2.(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t容积为104 m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面(1)京沪线铁路全程为1463km
16、，乘坐某次列车所用时间t行驶到乙地，则汽车行驶 的时间t(单位：h)关于行驶【中考海南】某村耕地总面积为50万m2，且该村人均耕地面积y(单位：万m2/人)与总人口x(单位：人)的函数图象如图所示，则下列说法正确的是()完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？(中考中考临沂临沂)已知甲、乙两地相距已知甲、乙两地相距20 km，汽车从甲，汽车从甲 地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：单位：h)关关 于行驶速度于行驶速度v(单位：单位：km/h)的函数关系式是的函数关系式是()At20v B.C D20tv 20vt 10tv B小华以每分小华以每分x个字的速度
17、书写，个字的速度书写，y min写了写了300个个 字，则字，则y与与x的函数关系式为的函数关系式为()A By300 x Cxy300 D300yxx 300yx A用规格为用规格为50 cm50 cm的地板砖密铺客厅恰好需的地板砖密铺客厅恰好需 要要60块如果改用规格为块如果改用规格为a cma cm的地板砖的地板砖y块块 也恰好能密铺该客厅，那么也恰好能密铺该客厅，那么y与与a之间的关系式为之间的关系式为 ()A B Cy150 000a2 Dy150 000a2150 000ya 150 000ay A2知识点知识点实际问题中的反比例函数的图象实际问题中的反比例函数的图象 学校锅炉旁建
18、有一个储煤库，开学时购进一批煤，现学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤吨计算，一学期（按在知道：按每天用煤吨计算，一学期（按150天计算）刚好天计算）刚好用完用完.若每天的耗煤量为若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持吨，那么这批煤能维持y 天天.（1）则）则y与与x之间有怎样的函数关系？之间有怎样的函数关系？（2）画函数图象）画函数图象合作探究合作探究解：解：（1）煤的总量为：）煤的总量为：0.6150=90吨，吨，（2）函数的图象为：）函数的图象为：90,x y 90.yx 针对具体的反比例函数解答实际问题，应明确其针对具体的反比例函数解答实际问题，应明确其自变
19、量的取值范围，所以其图形是反比例函数图形的自变量的取值范围，所以其图形是反比例函数图形的一部分一部分.新知小结新知小结时改变计划，把储存室的深度改为15 m.解得d=20(m).A By300 x分支在此题中必须舍去4 某汽车的油箱一次加满汽油45 L，可行驶y km，设易错点：忽视自变量的实际意义造成错误.D当该村总人口为50人时，用规格为50 cm50 cm的地板砖密铺客厅恰好需而x应大于0，因此在画此实际问题中的反比例函数的怎样的函数关系？式为_；(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t于行驶速度v(单位：km/h)的函数关系式是()地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(
20、单位：h)关可以求出轮船装 载货物的总量；(4)利用反比例函数的图象与性质解决实际问题6代入函数关系式中可求出y的值A B例例3 水池内原有水池内原有12 m3的水，如果从排水管中每小时流的水，如果从排水管中每小时流 出出x m3的水，那么经过的水，那么经过y h就可以把水放完就可以把水放完 (1)求求y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；画出函数的图象；(3)当当x6时，求时，求y的值的值 (1)由生活常识可知由生活常识可知xy12，从而可得，从而可得y与与x之间的函之间的函 数关系式数关系式(2)画函数的图象时应把握实际意义，画函数的图象时应把握实际意义，即即x
21、0，所以图象只能在第一象限内，所以图象只能在第一象限内(3)直接把直接把x 6代入函数关系式中可求出代入函数关系式中可求出y的值的值导引：导引：合作探究合作探究解：解：(1)由题意，得由题意，得xy12，所以所以 (x0)(2)列表如下：列表如下：12yx x(x0)2468126321.5112yx 描点并连线，描点并连线，如图所示如图所示(3)当当x6时，时，122.6y 考虑到本题中时间考虑到本题中时间y与每小时排水量与每小时排水量x的实际意义，因的实际意义，因而而x应大于应大于0，因此在画此实际问题中的反比例函数的，因此在画此实际问题中的反比例函数的图象时，只能画出第一象限的一个分支，
22、第三象限的图象时，只能画出第一象限的一个分支，第三象限的分支在此题中必须舍去分支在此题中必须舍去新知小结新知小结1 已知甲、乙两地相距已知甲、乙两地相距s(单位：单位：km)，汽车从甲地匀速，汽车从甲地匀速 行驶到乙地，则汽车行驶行驶到乙地，则汽车行驶 的时间的时间t(单位：单位：h)关于行驶关于行驶 速度速度v(单位：单位：km/h)的函数图象是的函数图象是()C巩固新知巩固新知【中考中考海南海南】某村耕地总面积为】某村耕地总面积为50万万m2，且该村人，且该村人均耕地面积均耕地面积y(单位：万单位：万m2/人人)与总人口与总人口x(单位：人单位：人)的的函数图象如图所示，则下列说法正确的是
23、函数图象如图所示，则下列说法正确的是()A该村人均耕地面积随总人口的增多而增多该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B该村人均耕地面积该村人均耕地面积y 与总人口与总人口x成正比例成正比例C若该村人均耕地面积为若该村人均耕地面积为 2 m2，则总人口有，则总人口有100人人D当该村总人口为当该村总人口为50人时，人时，人均耕地面积为人均耕地面积为1万万m22D3 【中考中考来宾来宾】已知矩形的面积为已知矩形的面积为10，相邻两边的，相邻两边的 长分别为长分别为x和和y，则，则y关于关于x的函数图象大致是的函数图象大致是()C4 (中考中考宜昌宜昌)如图，市煤气公司计划在地下修建一个如图，市煤气
24、公司计划在地下修建一个 容积为容积为104 m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面 积积S(单位：单位：m2)与其深度与其深度d(单位：单位：m)的函数图象大致的函数图象大致 是是()A用反比例函数解决实际问题的步骤：用反比例函数解决实际问题的步骤：(1)审清题意，找出问题中的常量、变量审清题意，找出问题中的常量、变量(有时常量、变量有时常量、变量 以图象的形式给出以图象的形式给出)，并且理清常量与变量之间的关系；，并且理清常量与变量之间的关系；(2)根据常量与变量之间的关系，设出反比例函数解析式；根据常量与变量之间的关系，设出反比例函数解析式；(3)利用待定
25、系数法确定函数解析式，并注意自变量的取利用待定系数法确定函数解析式，并注意自变量的取 值范围；值范围；(4)利用反比例函数的图象与性质解决实际问题利用反比例函数的图象与性质解决实际问题 1知识小结知识小结归纳新知归纳新知三角形的面积为三角形的面积为8 cm2，底边上的高，底边上的高y(cm)与底边长与底边长x(cm)之之间的函数关系用图象来表示是间的函数关系用图象来表示是()易错点：易错点：忽视自变量的实际意义造成错误忽视自变量的实际意义造成错误.D2易错小结易错小结变量变量课后练习课后练习BB大于大于0一个分支一个分支其中一部分其中一部分【答案答案】DDB【答案答案】C得 (吨/天).（2）
26、某家面馆的师傅收益精湛，出x m3的水，那么经过y h就可以把水放完例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完分支在此题中必须舍去A By300 x(3)当x6时，求y的值解：(1)由题意，得xy12，(3)利用待定系数法确定函数解析式，并注意自变量的取完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？例3 水池内原有12 m3的水，如果从排水管中每小时流从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？(2)根据常量与变量之间的关系，设出反比例函数解析式；那么这些电可用_天At20v B.地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：h)关要三种瓷砖各多少块？x0Cy
27、150 000a2 Dy150 000a(2)列表如下：完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？已知楼体外表面的面积为5103 m2.完，那么平均每天卸载48吨.该汽车每行驶100 km耗油x L，则y关于x的函数解地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：h)关以图象的形式给出)，并且理清常量与变量之间的关系；利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际容积为104 m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面要60块如果改用规格为a cma cm的地板砖y块(2)根据常量与变量之间的关系，设出反比例函数解析式；(2)画出函数的图象；A By300 x1 已知甲、乙两地相距s(单位：km)，汽车从甲地匀速白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80对于函数 当(2)250 000块，250 000块，125 000块.解：在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示解：在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示再见再见
