1、24.1.4 圆周角第二十四章第二十四章 圆圆【学习目标】【学习目标】1.理解圆周角的概念，2.掌握圆周角的性质及推论。3.灵活运用圆周角的性质进行证明与计算。【课 前 预 习】【课 前 预 习】1在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为（）A30 B60 C30 或150 D120 或60 2如果点O为ABC的外心，BOC=70，那么BAC等于 A35 B110 C145 D35或145 3已知下列命题：若ab，则cacb；若a0，则=a；对角线互相平分且相等的四边形是菱形；如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A4个B3个 C2个 D1个 4已
2、知ABC中，AB=AC，A=50，O是ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则ADB的度数是（）A50B65C65或50D115或65 5已知点A（-4，0），B（2，0）若点C在一次函数y=x+2的图象上，且ABC是直角三角形，则点C的个数是（）A1B2C3D421【课前预习】答案【课前预习】答案1C 2D 3D 4D 5B圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心的角叫圆心角,BOC.BOC.导入新课导入新课 问题2 如图，BACBAC的顶点和边有哪些特点?A A BACBAC的顶点在O上，角的两边分别交O于B、C
3、两点.【学习探究】【学习探究】圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2一、旧知回放一、旧知回放:.OBC答：答：相等相等.2.2.圆心角的度数和它所对的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系的度数的关系?B B3 3、下列命题是真命题的是、下列命题是真命题的是()()1)1)垂直弦的直径平分这条弦垂直弦的直径平分这条弦2)2)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等3)3)圆既是轴对称图形圆既是轴对称图形,还是中心还是中心对称图形对称图形A 1)2)B 1)3)A 1)2)B 1)3)C 2)3)D 1)2)C 2)3)D 1)2)3)3)圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版
4、2课前热身课前热身1111、如图，、如图，O O中，中，AOB=100AOB=100，则，则ABAB弧的度数为弧的度数为_，AnBAnB弧的度数为弧的度数为_。A AO OB B n n1001002602602 2、判断题：、判断题：(1)(1)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等 。(2)(2)等弦对等弧等弦对等弧 。(3)(3)等弧对等弦等弧对等弦 。(4)(4)长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧 。(5)(5)平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦 。圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系AB
5、CDOABOABO相等的圆心角所对的弧相等的圆心角所对的弧相等相等，所对的弦所对的弦相等相等 所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABCDOABOABO如果两个如果两个圆心角圆心角、两条两条弧弧、两条两条弦弦中有中有一组量一组量相等，相等，中有中有一组量一组量相等，那么它们所对应的相等，那么它们所对应的其余各组量其余各组量都分别都分别相等相等圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版21.1.圆心角的定义圆心角的定义?.OBC答答:顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角.圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人
6、教版2.O OB BC CA A特征：特征：角的顶点在圆上角的顶点在圆上.角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.圆周角定义圆周角定义:顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角并且两边都和圆相交的角叫叫圆周角圆周角.圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2辩一辩辩一辩 图中的图中的CDECDE是圆周角吗是圆周角吗?C CD DE EC CD DE EC CD DE EC CD DE E圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2如图所示的角，哪些是圆周角如图所示的角，哪些是圆周角圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2练习：练习：1 1、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理判别
7、下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是图图图图图图图图图图2 2、指出图、指出图中的圆周中的圆周角。角。A AO OB BC CACO ACB ACO ACB BCO OAB OAB BAC OAC OAC ABO ABO CBO ABC圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2ABCO有没有圆周角？有没有圆周角？有没有圆心角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们有什么共同的特点？它们都对着它们都对着同一条弧同一条弧圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2ABCOABCOABCOABCODABCOD 下列图形中，哪些图形中的圆心角下列图形中
8、，哪些图形中的圆心角BOCBOC和圆周角和圆周角A A是同对一条弧。是同对一条弧。圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有 什么关系？什么关系？(1)(1)当圆心在圆周角的一边上时当圆心在圆周角的一边上时,证明证明:(:(圆心在圆周角上圆心在圆周角上)结论：一条弧所对的圆周角等于它所对结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.C CO OB BA ABACCOCOA BOCBAC 21CBACBOC 圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版22.2.当圆心在圆周角外部时当圆心在圆周角外部时结论结
9、论:一条弧所对的圆周角等于它所对一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.提示提示:能否转化为能否转化为1 1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.21nABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,2121OD DA AB BC C圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版23.3.当圆心在圆周角内部时当圆心在圆周角内部时提示提示:能否转化为能否转化为1 1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.21nABD=AOD,CBD=CO
10、D,ABD=AOD,CBD=COD,2121O OA AB BC CD D结论结论:一条弧所对的圆周角等于它所对一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2结论结论:圆周角的定理：圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。这条弧所对的圆心角的一半。圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2A AB BC CO O如图，已知在如图，已知在 O O 中，中，BOC=150BOC=150，求，求A A圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版22
11、2、如图，、如图，A A是圆是圆O O的圆周角，的圆周角，A=40A=40，求，求OBCOBC的度数。的度数。OCBA圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2练习：练习：2.2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100AOB=100，则，则ACB=_ACB=_。O OA AB BC CB BA AO O.7070 x x1.1.求圆中角求圆中角X X的度数的度数130130A AO O.X X120120 C C C C D D B B3 3、如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为为圆心，圆心，C C、D D为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=500
12、 0，则则CAD=_CAD=_2525圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2做做看做做看一、判断一、判断1 1、顶点在圆上的角叫圆周角。、顶点在圆上的角叫圆周角。2 2、圆周角的度数等于所对弧上的圆心角度数的一半。、圆周角的度数等于所对弧上的圆心角度数的一半。.O O3636或或1441442 2、如图，已知圆心角如图，已知圆心角AOB=100AOB=100，求圆周角，求圆周角ACB=_ACB=_、ADB=_ADB=_。D DA AOCB1、半径为、半径为R R的圆中，有一弦分圆的圆中，有一弦分圆周成周成1 1：4 4两部分，则弦所对的圆两部分，则弦所对的圆周角的度数是周角的度数是 。二
13、、计算二、计算1301305050圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2CB已知：已知：AOB=100，求，求ACB的的度数度数AO圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版23.3.已知已知O O中弦中弦ABAB的等于半径的等于半径,求弦求弦ABAB所对所对 的圆心角和圆周角的度数的圆心角和圆周角的度数.O OA AB B圆心角为圆心角为6060圆周角为圆周角为3030或或150150.圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2 OCAB1 1、已知、已知AOBAOB7575，求：求：ACB=ACB=。OCAB 2 2、已知、已知AOBAOB120120，求：求：ACB=ACB=OD
14、BAC3 3、已知、已知ACDACD3030，求：求：AOB=AOB=OBAC4 4、已知、已知AOBAOB110110，求：求：ACB=ACB=圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2例例1.1.如图：如图：OAOA、OBOB、OCOC都是都是 O O的半径的半径 AOB=2BOC.AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.ACB=2BAC.AOB=2BOCAOB=2BOCA AO OB BC CACB=2BACACB=2BAC证明：证明：规律规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角同弧所对的圆周角和圆
15、心角,然后再灵活运用圆周角定理然后再灵活运用圆周角定理 分析分析:AB:AB所对圆周角是所对圆周角是ACB,ACB,圆心角是圆心角是AOB.AOB.则则ACB=AOB.BCACB=AOB.BC所对圆周角是所对圆周角是 BAC,BAC,圆心角是圆心角是BOC,BOC,则则 BAC=BOCBAC=BOC ACB=AOBACB=AOBBAC=BOCBAC=BOC圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2n圆周角圆周角:ABC,ABC,ADC,AEC.ADC,AEC.n这三个角的大小有什这三个角的大小有什么关系么关系?.?.圆周角圆周角当球员在当球员在B,D,EB,D,E处射门时处射门时,他所处的位
16、置对球门他所处的位置对球门ACAC分别形成三个张角分别形成三个张角ABC,ABC,ADC,AEC.ADC,AEC.这三个角这三个角的大小有什么关系的大小有什么关系?.?.B BA AC CB BA AC CB BA AC CB BA AC CB BA AC CB BA AC CB BA AC CD DE ED DO OE E圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通人们可以通过其中的圆弧形玻璃过其中的圆弧形玻璃AB AB 观看窗内的海洋动物观看窗内的海洋动物,同学甲站在同学甲站在圆心的圆心的O O 位
17、置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C C，他们的视角（他们的视角（AOB AOB 和和ACBACB）有什么关系？如果同学丙、）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置丁分别站在他靠墙的位置D D和和E E，他们的视角（，他们的视角（ADB ADB 和和AEBAEB ）和同学乙的视角相同吗？）和同学乙的视角相同吗？甲OBA丙D乙C丁E探 究圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2试找出下图中所有相等的圆周角。圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2 同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
18、相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。OBACDOCBAFED思考：思考：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？2 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。推推 论论 1 1圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版24 4、如图，、如图，ABAB是是O O的直径的直径 =，A=30A=30，则，则BOD=BOD=。5、如图，OA、OB、O
19、C都是O的半径，AOB=2BOC，ACB与BAC的大小有什么关系？为什么？BCBDOABDCOABC60圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2半圆或直径所对的圆周角等于多少度？半圆或直径所对的圆周角等于多少度？O OA AB BC C2.902.90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是否是直径？否是直径？圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2 推推 论论 2 2 半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是9090；9090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。如果三角形一边上的中线等于这条边的如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
20、。一半，那么这个三角形是直角三角形。推推 论论 3 3OBADEC什么时候圆周角是直角？反什么时候圆周角是直角？反过来呢？过来呢？直角三角形斜边中线有什么直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？性质？反过来呢？圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2例题例题:如图，如图，ABAB为为O O的直径，的直径，A=70A=70，求，求ABCABC的度数的度数。ABCO解：解：ABAB为为O O的直径的直径C=90C=90，又，又A=70A=70 B=20 B=20 圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2ABAB是是O O的直径的直径,BCD=30,BCD=300 0,则则ABD=_ABD=
21、_O OD DC CA AB B30300 0圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2例例 如图，如图，O O直径直径ABAB为为10cm10cm，弦，弦ACAC为为6cm6cm，ACBACB的平分的平分线交线交O O于于D D，求，求BCBC、ADAD、BDBD的长的长86102222ACABBC又在又在RtRtABDABD中，中，ADAD2 2+BDBD2 2=AB=AB2 2，221052(cm)22ADBDAB解：解：ABAB是直径，是直径，ACBACB=ADBADB=90=90在在RtRtABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB，AD=BDAD=BD.ACDBCD 例题例
22、题OABCD圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2练习练习 1 1、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（分别为（2x+1002x+100）和（和（5x305x30），求这，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。条弧所对的圆心角和圆周角的度数。2 2、如图，、如图，A A是圆是圆O O的圆周角，的圆周角，A=40A=40，求求OBCOBC的度数。的度数。OCBA圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版21.1.如图如图,内接于内接于O,O,BD,BD是是O O的直径的直径,BD,BD交交ACAC于点于点E,E,连接连接DC,DC,则则 （）.A.B
23、.A.B.C.D.C.D.050A060ABCAEB07001100900120圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2【课 后 练 习】【课 后 练 习】1下列说法中，正确的是（）A直径所对的弧是半圆 B相等的圆周角所对的弦相等 C两个半圆是等弧 D一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半 2下列命题中，正确的有（）平面内三个点确定一个圆；平分弦的直径平分弦所对的弧；半圆所对的圆周角是直角；相等的圆周角所对的弦相等；在同圆中，相等的弦所对的弧相等 A1个 B2个C3个D4个 3已知，AB为圆O的一条弦，AOB=80，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A40B140 C70D40或140 4
24、下列命题中，真命题的是（）A平分弦的直径垂直于弦；B任意三个点确定一个圆；C相等的圆心角所对的弧相等 D90的圆周角所对的弦是直径；5下列有关圆的一些结论，其中正确的是（）A圆内接四边形对角互补B相等的圆心角所对的弧相等 C平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D任意三点可以确定一个圆圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2 6直角三角形的两边长为6和8，则此三角形的外接圆半径为（）A5 B4 C5或4 D5或 7已知，AB是O的弦，且OA=AB，则AOB的度数为（）A30 B45 C60 D90 8下列说法正确的是（）A三点确定一个圆 B正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形 C等弧
25、所对的圆周角相等 D三角形的外心到三边的距离相等 9下列说法正确的是（）A顶点在圆上的角是圆周角 B两边都和圆相交的角是圆周角 C圆心角是圆周角的2倍D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 10在O中，同弦所对的圆周角()A相等B互补C相等或互补 D都不对圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版211如图，O是ABC的外接圆，若角AOB=100，ACB=_12若一条弦分圆为1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是_.13平面内有四个点A、O、B、C，其中AOB=1200，ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是_14若O的弦AB所对的圆心角为80，则弦AB所对的圆周角的度数是_15已知在半径为2的O中，圆内接三角形ABC的边AB2 ,则C的度数为_2圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2【课后练习】答案【课后练习】答案1A 2B 3D 4D 5A 6C 7C 8C 9D 10C1150或1301236或144.132，3，41440或1401545或135圆周角课件模板人教版2圆周角课件模板人教版2
