1、雅典时期的希腊数学（一）雅典时期的希腊数学（一）三大几何问题三大几何问题古希腊的变迁古希腊的变迁雅典时期：公元前6前3世纪公元前11世纪前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区公元前9前6世纪：希腊各城邦先后形成亚历山大后期：公元前30年公元640年西罗马帝国：公元395年公元476年东罗马帝国：公元395年公元1453年（610年改称拜占廷帝国）爱奥尼亚时期：公元前11世纪前6世纪亚历山大时期：公元前323年前30年罗马帝国：公元前27年公元395年希腊时期希腊化时期波希战争（前499前449）伯罗奔尼撒战争（前431前404）马其顿帝国：前6世纪前323年（前337年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位
2、，前334前323亚历山大东征）前48前30年凯撒、屋大维侵占埃及公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷诡辩学派与三大几何问题诡辩学派与三大几何问题 诡辩诡辩(sophism)学派：学派：巧辩学派创立、活动于雅巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中聚集了各典。这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、方面的学者大师，如文法、修辞、辨证法、人文，以修辞、辨证法、人文，以及几何、天文和哲学方面及几何、天文和哲学方面的学者，他们研究的主要的学者，他们研究的主要目标之一是用数学来探讨目标之一是用数学来探讨宇宙的运转。宇宙的运转。化圆为方：求作一正化圆为方：求作一正方形，使
3、其面积等于方形，使其面积等于一已知圆；一已知圆；三等分角：分任意角三等分角：分任意角为三等分；为三等分；倍立方体：求作一正倍立方体：求作一正方体，使其体积等于方体，使其体积等于已知正方体体积的已知正方体体积的2倍。倍。尺规作图的来历尺规作图的来历 几何作图，规定只能用无刻度的直尺和圆规。希几何作图，规定只能用无刻度的直尺和圆规。希腊人为什么这样规定呢？腊人为什么这样规定呢？希腊几何的基本精神。希腊几何的基本精神。奥林匹克精神。奥林匹克精神。圆和直线是几何学最基本的研究对象。圆和直线是几何学最基本的研究对象。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的
4、限制下从理论上去解决这些问题，这在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。重要的一步。三大问题的研究三大问题的研究(一一)化圆为方化圆为方 最早研究化圆为方问题的是：最早研究化圆为方问题的是：安纳萨戈拉斯安纳萨戈拉斯(Anaxagros,约公元前约公元前500-前前428)安提丰安提丰(Antiphon,约公元前约公元前480-前前411)提出用圆内接正多边形逼近圆面提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方积的方法来化圆为方.希波克拉底希波克拉底(Hippocrates,约公元前约公元前460-前前
5、377)解决了化月牙形为方解决了化月牙形为方.三大问题的研究三大问题的研究(二二)三等分角三等分角 这一问题研究最这一问题研究最有成效的是：有成效的是：希比阿斯希比阿斯(Hippias，约生，约生于公元前于公元前460)阿基米德阿基米德(Archimedes,公公元前元前287-前前212)三大问题的研究三大问题的研究(三三)倍立方体倍立方体 对倍立方体研究最有成效的是：对倍立方体研究最有成效的是：希波克拉底指出倍立方体问题可以化为求一线希波克拉底指出倍立方体问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题：段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题：a：x=x：y=y：2a。比他稍晚
6、的一些希腊数学家则借助某些特殊曲比他稍晚的一些希腊数学家则借助某些特殊曲线作出了可作为倍立方体问题解的比例中项线线作出了可作为倍立方体问题解的比例中项线段，其中最重大的成就是柏拉图学派的段，其中最重大的成就是柏拉图学派的梅内赫梅内赫莫斯莫斯（Menaechmus，公元前，公元前4世纪中）为解世纪中）为解决倍立方体问题而发现了决倍立方体问题而发现了圆锥曲线圆锥曲线。古希腊三大几何问题为什么不能解决呢？古希腊三大几何问题为什么不能解决呢？需要其它学科的知识需要其它学科的知识笛卡尔的解析几何的创立笛卡尔的解析几何的创立1837年，法国数学家旺策尔证明了三等分任意角与倍立方都是死题年，法国数学家旺策尔
7、证明了三等分任意角与倍立方都是死题1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方也是死题年，德国数学家林德曼证明了化圆为方也是死题 2000多年来，古希腊三大尺规作图问题：多年来，古希腊三大尺规作图问题：（1）三等分任意角）三等分任意角 （2）倍立方）倍立方 （3）化圆为方）化圆为方（1）三等分任意角）三等分任意角:设已知某角的角度为设已知某角的角度为 ，得，得则则 令令即问题转化为解方程：即问题转化为解方程：3a)3cos(a cos3cos4)3cos(3x cos为已知数）为已知数）（aaxx,343 （2）倍立方）倍立方23 x32 x（3）化圆为方）化圆为方 2x x求方程根的问题！求方
8、程根的问题！现代的眼光看现代的眼光看三大问题的解决三大问题的解决规尺数规尺数直尺与圆规直尺与圆规直线和圆直线和圆一次和二次方程式一次和二次方程式 所以要求它们的交点，我们至多只要解一个二次方程式就所以要求它们的交点，我们至多只要解一个二次方程式就可以把交点的坐标可以把交点的坐标用有理运算和平方根表示出来。用有理运算和平方根表示出来。凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以通过有限次的有理运算凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以通过有限次的有理运算和平方根表示出来。和平方根表示出来。三大问题的解决三大问题的解决规尺数规尺数,1QcbacbaW,12WcbacbaW,23WcbacbaW,1kkWcbac
9、baW（1）三等分任意角）三等分任意角 为已知数）为已知数）（aaxx,343 （2）倍立方）倍立方23 x32 x 直尺与圆规不能做出一般的立方根（无理数）直尺与圆规不能做出一般的立方根（无理数）三等分任意角和倍立方不可能尺规作图三等分任意角和倍立方不可能尺规作图（3）化圆为方）化圆为方 2x x是一个超越数，即是一个不能通过有理系数求根得是一个超越数，即是一个不能通过有理系数求根得到的数。到的数。化圆为方也不可能尺规作图化圆为方也不可能尺规作图启示和意义启示和意义 2000多年来，一代接一代地攻克三大难题，有人不禁要多年来，一代接一代地攻克三大难题，有人不禁要问这值得吗？假如实际中真遇到要
10、三等分角、立方倍积、问这值得吗？假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方，只要行之有效，何苦一定用尺规作图法解决？化圆为方，只要行之有效，何苦一定用尺规作图法解决？其实，数学研究并非一定要实用，数学家对每一个未知之其实，数学研究并非一定要实用，数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚，道个明白，这种执著追求的拗劲正是科谜都要弄个清楚，道个明白，这种执著追求的拗劲正是科学的精神。更为重要的是，对三大难题的研究，反过来促学的精神。更为重要的是，对三大难题的研究，反过来促进了数学的发展，出现了新的数学思想和方法，例如阿基进了数学的发展，出现了新的数学思想和方法，例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方
11、法，勃洛特用两块三角米德、帕普斯发现的三等分角的方法，勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题、等分圆周、作正多边形，高斯关于板解决立方倍积问题、等分圆周、作正多边形，高斯关于尺规作图标准的重大发现等等。每一次突破不仅是人类智尺规作图标准的重大发现等等。每一次突破不仅是人类智慧的胜利，使数学园地争奇竞艳，而且有利于科学技术的慧的胜利，使数学园地争奇竞艳，而且有利于科学技术的发展。发展。启示和意义启示和意义 特别值得提到的是，在三大几何难题获得解决的同时，法特别值得提到的是，在三大几何难题获得解决的同时，法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究，在国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究
12、，在1830年，年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法，从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础，论和方法，从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛，而三大几它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛，而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以，何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以，一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理论是在他死后论是在他死后14年才发表的，直到年才发表的，直到1870年，伽罗瓦理论年，伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍。才得到第一次全面清楚的介绍。虽然数学家在十九世纪就证明了三大难题是无解的，但许虽然数学家在十九世纪就证明了三大难题是无解的，但许多外行人，或许不知道无解的意义，或许没听过已经被证多外行人，或许不知道无解的意义，或许没听过已经被证明为无解这件事，还是锲而不舍地钻研这些题目。其中尤明为无解这件事，还是锲而不舍地钻研这些题目。其中尤其三分角最受人重视。其三分角最受人重视。
