1、新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升【课标要求】1了解三角函数线的意义2会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切【核心扫描】1三角函数线的概念(难点)2利用三角函数线求解简单三角不等式(重点)3对各种三角函数线的辨认(易混点)第2课时三角函数线及其应用新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升新知导学1三角函数的定义域函数 定义域 ysin R ycos R ytan?R?2k，kZ 温馨提示：当2k(kZ)时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于 0，所以 tan yx无意义 新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升2三角函数线三角函数线是表示三角
2、函数值的有向线段，线段的方三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值函数值的绝对值图示 新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升MPOMAT新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升温馨提示：温馨提示：当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的余弦值为0，正切值不存在新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升互动探究探究点1用三角函数线表示的三角函数的符号
3、是如何确定的？提示有向线段MP、AT 与y轴的正向相同时符号为正，反向时符号为负；有向线段 OM与x轴的正向相同时符号为正，反向时符号为负新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升探究点2如何作三角函数线？提示三角函数线的作法：作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线作正切线时，应从 A(1,0)点引x轴的垂线，交的终边(为第一或第四象限角)或终边的反向延长线(为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升思路探索 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时需依
4、据三角函数线的长度和正负类型一利用三角函数线比较大小【例 1】分别作出23和4 5的正弦线、余弦线和正切线，并比较 sin2 3和 sin4 5，cos23和 cos45，tan23和 tan4 5的大小新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升解 如图，sin23MP，cos23OM，tan23AT，sin45MP，cos45OM，tan45AT.显然|MP|MP|，符号皆正，sin23sin45；|OM|cos45；|AT|AT|，符号皆负，tan23tan45.新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升规律方法规律方法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三
5、步：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升【活学活用【活学活用1】比较sin 1 155与sin(1 654)的大小解 先把两角化成 0 360 间的角的三角函数 sin 1 155 sin(3360 75)sin 75，sin(1 654)sin(5360 146)sin 146.在单位圆中，分别作出 sin 75 和 sin 146的正弦线M2P2，M1P1(如图)M1P1sin(1 654)新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升思路探索思路探索 作出三角函数在边界的正弦线，然后观察角在什么范围内变化，再根据区域的范围
6、写出 的取值范围类型二利用三角函数线解不等式【例2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围(1)sin 32；(2)12cos32.解(1)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即?2k32k23，kZ.新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升(2)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即?2k232k6或2k60.解 不等式 2cos x10，即cos x12，在直角坐标系中作出单位圆，并作直线x12与单位圆相交，则图中阴影部分即为角x的终边的范围故满足条件的角x的取值范围为?x?2k3x2k3，kZ.新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升方法技巧数形结合法
7、证三角不等式正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的为负值三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便新 知 探 究题 型 探 究感 悟 提 升【示例】求证：当0，2时，sintan.思路分析 本题主要考查单位圆中的三角函数线、扇形 面积公式及数形结合的思想利用单位圆中角的正弦线及所对弧长，正切线所在等腰三角形、扇形及直角三角形的面积大小来解决 证明 如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PMOA于点M，连接AP，则有
8、：新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升题后反思 由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具.在 RtPOM中，sin MP；在 Rt AOT中，tan AT.又根据弧度制的定义，有 的长度为OP.易知SPOAS扇形POASAOT，即12OA MP12OA 12OA AT，即 sin 0，tan 0，?sin cos，tan 0.结合单位圆(如图所示)中三角函数线及 02.可知42或54.新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升1不论角的终边位置如何，在单位圆中作三角
9、函数线时，下列说法正确的是()A总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在解析由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确答案D新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升2如果MP、OM分别是角316的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()AMP OM0 BMP 0OM0 DOMMP 0 解析 如图可知，OMMP 0.答案 D 新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升3若sin 0，则的取值范围是_解析 sin 0，如图利用三
10、角函数线可得 2k2k，kZ.答案 2k，2k(kZ)新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升4函数ytan?x4的定义域是_ 解析 x4k2，即xk34，kZ.答案?x?xk34，kZ 新新 知知 探探 究究题题 型型 探探 究究感感 悟悟 提提 升升课堂小结1三角函数线的意义是表示三角函数的值，其长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负2三角函数线是解决三角函数问题的重要工具，在研究三角函数的性质，解三角不等式等方面有着广泛的应用，利用三角函数线可以将三角函数问题转化为几何问题解决体现了数形结合的思想3在利用不等式组的交集求含三角函数式的定义域时，除了考虑解析式本身的约束条件，还要顾及三角函数本身的定义域以及三角函数在各象限的符号问题.
