1、第二章 故障的统计检测原理 二元假设检验 多元假设检验 序贯概率比检验)(t图 不可接受行为率变化曲线图定义为不可接受行为率不可接受行为率，它是指控制系统在t时刻前的行为是可接受的，而在时刻t的行为是不可接受的概率。不可接受行为率随时间变化的规律因系统运行期限的不同而异，一般表现为三种形式：降低的、恒定的和升高的曲线。区是早期不可接受期早期不可接受期（下降的不可接受行为率），控制系统在运行初期，由于设计、工艺不良或元部件不合格等原因造成，可经过试运行、空载运行，再投入使用。对大多数系统来说，只需一周左右时间的试运行，就足以剔除大部分早期不可接受行为。区是运行寿命期运行寿命期，在这期间，不可接受
2、行为率基本上是恒定的，此期间发生的不可接受行为一般都是偶然的。区比区、区的时间长的多。区是损耗区损耗区，它的特征是不可接受行为率升高，这是由于老化或长期运行而造成的结果。三种类型的不可接受行为率在整个过程中形成一条浴盆浴盆式曲线式曲线。统计检验可归结为“假设检验”的问题。例如，有故障和无故障可作为两种假设，判断哪个假设为真，即是二元假设检验二元假设检验问题。判断多个假设中哪个为真即为多元假设检验多元假设检验。如果表征假设的参数可以在一个范围内变化，则为复合假设检验。设对某事物（元部件、系统等）的状态有两种假设：H0和H1，现要根据（0，T）时间内的观测量z(t)判决H0为真或H1为真。在故障检
3、测中，H0表示无故障，H1表示有故障。有四种可能性：（1）H0为真，判断H1为真，这称为误检，其概率写成PF；（2）H1为真，判断H0为真，这称为漏检，其概率写成PM；（3）H0为真，判断H0为真，这称为无误检，其概率为1PF；（4）H1为真，判断H1为真，这称为正确检测，其概率为PD=1PM。设观测值z构成的观测空间为Z，将Z划分为两个互不相交的子空间Z0和Z1，如下图所示。ZZ0Z1判决规则是：当zZ0时，判断H0为真；当z Z1时，判断H1为真。判决区域图设观测值z在H0或H1为真时的条件概率密度 和 已知，结合判决区域图，可得：1)(0ZFdzHzpP10)(1)(11ZZMdzHzp
4、dzHzpPDP1（1）（2）当z为标量时，PF和PM可由下图的阴影部分来表示。图中，zT是观测量的门限值。PF和PM的表示图二元假设检验的判决准则，应能产生尽量大的检测概率PD和尽量小的误检概率PF，但这两者是矛盾的。如由前面推导的PF和PM的公式（1）和（2）（如下）可知，若取Z1=Z，则有PD1，即有故障时不会漏检；但同时有PF1，即无故障时却误报为有故障。1)(0ZFdzHzpP10)(1)(11ZZMdzHzpdzHzpP（1）（2）DP1下面介绍几种常用的准则。因此，判决准则的选取应取PD和PF都获得满意的值，达到适当的折中。最小误差概率准则设P（H0）、P（H1）分别是H0、H1
5、为真时的先验概率，对于二元假设检验有P（H0）P（H1）1误差Pe包含两部分：出现H0时判断H1为真的错误和出现H1时判断H0为真的错误，即：PeP（H0）PF P（H1）PM （3）1)(0ZFdzHzpP10)(1)(11ZZMdzHzpdzHzpP将以下两式（1）、（2），代入上式（3），可得式（4）（1）（2）dzHzpHPdzHzpHPPZZe01)()()()(1100dzHzpHPHzpHPHPZ)()()()()(110011（4）上式右端的第二项与判决区的划分有关，划分判决区时，应使第二项积分号内的值在Z1区内为负（使Pe减小），而在Z0区内则应为正。0)()()()(101
6、100HHHzpHPHzpHP（5）上式的意义是：当左端的值大于零时，判断H0为真；小于零时，判断H1为真。式（5）可写成：dzHzpPdzHzpPZDZM10)(11)(11于是判决准则为：THPHPHzpHzpzLHH)()()()()(100101（6）式中，L（z）称为判决函数，它是一个似然比，即两个条件概率密度之比，T称为似然比门限。式（6）即为最小误差概率判决准则最小误差概率判决准则。贝叶斯准则（最小风险准则）设C01 H1为真判为H0漏检的代价因子；C10 H0为真判为H1误检的代价因子；C00 H0为真判为H0的代价因子；C11 H1为真判为H1的代价因子。在实际问题中，不同类
7、型的错误决策造成的后果是不同的。因此，对不同类型的错误，应给予不同的代价因子代价因子。于是贝叶斯风险（代价函数）R为FMPHPCPHPCR)()(010101)1)()1)(111000MFPHPCPHPC（7）一般情况下，令C00C110，即认为正确判断不产生风险，于是贝叶斯风险简化为：FMPHPCPHPCR)()(01010110)()()()(00101101ZZdzHzpHPCdzHzpHPCdzHzpHPCHzpHPCHPCZ)()()()()(110100101011（8）dzHzpPdzHzpPZDZM10)(11)(11同理，为使风险R最小，应使上式右端积分号内的值在Z1区内为
8、负，于是得出下面的贝叶斯判决准则：TCHPCHPHzpHzpzLHH01110001)()()()()(01（9）THPHPHzpHzpzLHH)()()()()(100101对比式（6）和式（9）可知，贝叶斯准则与最小误差概率准则的不同，仅在于门限门限T的值不同的值不同。当C01C10时，门限将减小，从而使漏检概率减小。（6）)()()()(11010010HzpHPCHzpHPC即：最大后验概率准则后验概率 和 分别是在给定观测量z的条件下，H0和H1为真的概率。)(0zHP)(1zHP1)()(0101HHzHPzHP（10）上式的物理意义是，当给定观测量后，H1为真的条件概率大于H0为
9、真的条件概率时，就判H1为真。最大后验概率准则为：利用贝叶斯公式，得)()()()(111HPHzpzpzHP)()()()(000HPHzpzpzHP（11a）（11b）式中，p（z）是全概率密度函数，)()()()()(0011HPHzpHPHzpzp将式（11）代入式（10）可得1)()()()()()(01001101HHHPHzPHPHzPzHPzHP即)()()()()(100101HPHPHzpHzpzLHH（12）结论：最大后验概率准则的判决公式和最小误差概率准则的判决公式是相同的。THPHPHzpHzpzLHH)()()()()(100101（6）最小误差概率准则 极小极大准
10、则在前面介绍的三种判断准则中，都需要确切知道先验概率P（H0）和P（H1）的值，而有时它们并无法知道。一种解决的方法是，先找出使贝叶斯风险为最大时的先验概率P（H0）的值，把它记作 ，并作为假想的P（H0）的值，这时得出的风险值记为R*。0P当P（H0）时，R*比贝叶斯风险R大，即0PR*RmaxR但不会离贝叶斯风险太远。dzHzpHPCdzHzpHPCRZZ01)()()()(11010010dzHzpHPCdzHzpHPCTTzz)()()()(11010010由式（8）式中，zT为观测量门限，它是P（H0）的函数。（13）)()()(1010100dzHzpCdzHzpCHdPdRTTz
11、z)()()(1()()(010010010HdPdzHzpHPCHzpHPCTTT（14）由贝叶斯似然比门限的表达式可知，上式第二个方括号内的值为零，于是有：TCHPCHPHzpHzpzLHH01110001)()()()()(01令上式为零，得出)()()(1010100dzHzpCdzHzpCHdPdRTTzz（15）dzHzpCdzHzpCTTzz)()(101010（16）即MFPCPC0110（17）上式称为极小极大方程。例：设C00C110，C101，C012，)2exp(21)(20zHzp2)1(exp21)(21zHzp求极小极大准则的门限zT及风险值。dzHzpCdzHz
12、pCTTzz)()(101010解：由式（16）得：dzzdzzTTzz2)1(exp212)2/exp(2122设：dzzzz2exp21)(2上式简化为：)1(2)(1TTzz由式（18）可近似求出（查积分表）：zT0.2（18）由01010001110001)(1)()()()()()(CHPCHPCHPCHPHzpHzpzLTTT可得：)(1 2)()(00HPHPzLT由式（12）)()()(01HzpHzpzL可得：)2/1exp()2exp()2)1(exp()()()(2201TTTTTTzzzHzpHzpzL（19）（20）将式（20）代入式（19），可计算出P（H0）0.6
13、。0P再由FMPPCPPCPRR0100010)1()(dzz2)1(exp2122.02MPCR01可得：4237.0在很多情况下，系统可能有多种状态，要检测系统属于哪一种状态，就要用多元假设检验。例如，系统中有M-1个传感器，则可有M个状态，即所有传感器无故障和M-1个传感器中任一个发生故障。假设，H0 所有传感器无故障；H1 第一个传感器有故障；HM-1 第M-1个传感器有故障。设H0、H1、HM-1的先验概率分别为P（H0）、P（H1）、P（HM-1），则有101)(MiiHP在实际情况中，我们关心的是如何根据观测量z的取值来判决哪个假设为真。将观测空间Z合理地划分出M个互不相交的区域
14、：Z=Z0Z1ZM-1如下图所示。图 多元假设检验的判决区域贝叶斯风险为：1010)()(MjjijijMiHDPHPCR式中，表示在Hj为真的条件下判决Hi为真的概率。)(jiHDP多元假设检验的贝叶斯准则（贝叶斯风险为最小的判决）等价于下面的判决：成立判i10Hmin)()()(MjjjijiHzPHPCz即计算i(z)（i=0，1，M-1），其中哪一个最小就判哪一个Hi成立。证明：因为 izjjidzHzpHDP)()(所以1010)()(MjjijijMiHDPHPCR1010)()(MjzjjijMiidzHzpHPCizjMiiiidzHzpHPC)()(101010)()(Mij
15、jzjjijMiidzHzpHPC由于101MijjjiZZ1)(zjdzHzp所以10)(MiiiiHPCR1010)()(MijjjjjijjMizdzHzpCCHPi上式第一项与判决区划分无关，故R最小等价于第二项的被积函数在Zi区内为最小，即10min)()()(MijjjjjijjiHzpCCHPzI由上式可推出：min)()()(10MjjjijiHzPHPCz证毕。例：设M-12，Cij1，ij 和Cij0，ij。画出此三元假设的判决区。解：由贝叶斯判决准则得真判时02010H,真判时10121H,真判时21202H,（1）（2）（3）将0、1、2的表达式代入式（1），可得)()
16、()()(2211HPHzpHPHzp)()()()(2200HPHzpHPHzp和)()()()(2211HPHzpHPHzp)()()()(1100HPHzpHPHzp时，判H0为真。（4）（5）引入)()()(011HzpHzpzL)()()(022HzpHzpzL则上面两个不等式（4）、（5）可写成为真判时和0202101H,)()()()()()(HPHPzLHPHPzL为真判时和12112101H,)()()()()()()(HPHPzLzLHPHPzL同理可得为真判时和22112202H,)()()()()()()(HPHPzLzLHPHPzL根据上面的判决关系可画出该三元假设的
17、判决区如下图所示。图 三元假设的判决区序贯概率比检验（Sequentical Probability Ratio test-SPRT）并不预先规定观测样本的数目，而是在检验过程中不断增加观测数据，一直到满足要求的PF和PM为止。固定抽样固定抽样：一个产品抽样检验方案规定按批抽样品20件，若其中不合格品件数不超过 3，则接收该批，否则拒收。在此，抽样个数20是预定的。序贯抽样序贯抽样：第一批抽出3个，若全为不合格品，拒收该批，若其中不合格品件数为x13，则第二批再抽3-x1个，若全为不合格品，则拒收该批，若其中不合格品数为 x23-x1，则第三批再抽3-x1-x2个，这样下去，直到抽满20件或抽
18、得 3个不合格品为止。对N次独立样本R(N)r(1),r(2),r(N)建立似然比Hr(n),pr(1),.Hr(n),pr(1),.)Hp(R(N)Hp(R(N)(R)L0101NN1kL(r(k)式中，)Hp(r(k)Hp(r(k)L(r(k)01比较比较：序贯抽样其效果与固定抽样相同，但抽样个数平均讲要节省些。此外，序贯抽样方案除了可节省抽样量之外,还有一种作用,即为了达到预定的推断可靠程度及精确程度，有时必须使用序贯抽样。给出两个门限T(H1)和T(H0)，则SPRT的判决规则为增加数据继续检验为真判决为真判决)T(H(R)L)T(HH)T(H(R)LH)T(H(R)L1N000N11
19、N由此可得出用SPRT的判决空间如下图所示。序贯概率比检验时判决空间的划分1、序贯概率比检验的门限检测门限T(H0)和T(H1)，可根据要求的PF和PM确定，满足)Hp(R(N)Hp(R(N)(R)L01N)T(H1时，R(N)落在判决区Z1中。在判决区Z1中积分上式可得：dR)Hp(R(N)T(HdR)Hp(R(N)11z01z1即F1D)PT(HP 故FMFD1PP-1PP)T(HdR)Hp(R(N)1z1DPdR)Hp(R(N)1z0FP同理，当满足)Hp(R(N)Hp(R(N)(R)L01N)T(H0时，R(N)落在判决区Z0中。在判决区Z0中积分上式可得：dR)Hp(R(N)T(Hd
20、R)Hp(R(N)00z00z1即)P-)(1T(HPF0M故FM0P-1P)T(H上述确定的检测门限T(H0)和T(H1)，称为瓦尔德瓦尔德（Wald）门限门限。FMFD1PP-1PP)T(H2、序贯概率比检验的平均检测时间设在H0和H1为真的条件下，用序贯概率比检验作出判决所需的平均样本数目分别为 和 。N为终止检验的样本数目。)HE(N0)HE(N1F000N00P-1)H)P(T(H),T(H(R)LHH真：为真判M100N01P)H)P(T(H),T(H(R)LHH真：为真判F011N10P)H)P(T(H),T(H(R)LHH真：为真判M111N11P-1)H)P(T(H),T(H
21、(R)LHH真：为真判当获得第N个样本而终止检验时有四种可能性：则终止检验时似然比LN（R）的平均值为：)P-)(1T(H)PT(H)PT(H)P-)(1T(H(R)ELM1M0F1F0N（当H0为真）（当H1为真）注意到在r(k)具有独立同分布的条件下，有 HlnLr(k)EH(R)ElnLN1kiiNHENHElnLr(k)ii（i=0,1）式中，是在Hi条件下r(k)的似然比。HLr(k)i（1）（2）（3）将式（1）代入式（3），可得HElnLr(k)lnT(HP)lnT(HP-(1HEN01F0F0将式（2）代入式（3），可得HElnLr(k)lnT(HP-(1)lnT(HPHEN1
22、1M0M1（4）（5）H0为真时，SPRT作出判决所需的平均样本数H1为真时，SPRT作出判决所需的平均样本数例：设r(k)为独立同分布状态随机序列，其方差为1，在H0假设下，其均值为0，在H1假设下，其均值为1。规定PF=PM0.1，求序贯概率比检验的平均时间。解：因为21)-(r(k)exp-)21(HpR(N)N1k2N12(k)rexp-)21(HpR(N)N1k2N0故2N-r(k)exp)Hp(R(N)Hp(R(N)(R)LN1k01NN1kN2N-r(k)(R)lnL-2.1970.1-10.1lnP-1Pln)lnT(HFM02.1970.10.1-1lnPP-1ln)lnT(
23、HFM1N1kN2N-r(k)(R)lnL在 中，令N=1，可得21-r(k)lnL(r(k)从而21H)21-E(rHElnLr(k)1121-H)21-E(rHElnLr(k)00再由上面推导的式（4）和式（5）：3.5HEN13.5HEN0即平均取4次样本即可满足检测性能的要求。HElnLr(k)lnT(HP)lnT(HP-(1HEN01F0F0HElnLr(k)lnT(HP-(1)lnT(HPHEN11M0M1可得：，r(k)在H1假设下均值为1；在H0假设下均值为0。3、缩短序贯概率比检验延迟的方法序贯概率比检验是不断增加数据数目一直到似然比达到某个门限为止。对数似然比可写成下面的递
24、推形式：)(ln)(ln)(ln)(ln11NrLRLkrLRLNNkN式中，111)(ln)(lnNkNkrLRL0)()(ln)(ln0101HHHNrpHNrpNrL0)()(ln)(ln0101HHHNrpHNrpNrL由式因此，在未发生故障前，对数似然比一直附加负值负值，使 可能很负，当故障发生后，必须积累一段正值项，才能使 变正而达到门限 ，这就造成了检测检测延迟延迟。)(lnRLN)(lnRLN)(ln1HT可以看出，对数似然比在递推过程中当H0为真时，附加一项负值负值，当H1为真时，附加一项正值正值。延迟情况如下图所示。图 序贯概率比检验造成检测延迟的情况为了克服检测延迟，可采
25、用补偿补偿的方法，即将似然比中负的累加项补偿至零。引入补偿信号U与似然比累加项叠加：)(ln0krLU当lnL(r(k)0当lnL(r(k)0仿真例子：假定观察序列x1，x2，xm，是来自具有未知均值为和已知方差为2的正态总体。现在用备择假设H1：=1来检验零假设H0：=0。则有 H0、H1成立下的联合概率密度函数分别为：miimiixmxmeHxPeHxP1212120221121021;21;n求似然比得：miiixxeHxPHxP1202122101;n作以下比较：1.BHxPHxP01;；接受零假设H0：=0；2.AHxPHxP01;；拒绝零假设H0：=0；3.AHxPHxPB01;；
26、则继续采下一个样本，并重新计算01;HxPHxP，重复以上的判断。1,1BAA,B为瓦尔德门限而接受备择假设 ；11:H。例1：信号由一段均值=135和一段均值=150，标准差相同（=5）的正态分布信号组成，这两段数据点个数分别为200个。取零假设H0：0=135及备择假设H1：1=150；=5；=0.01；=0.03050100150200250300350400120140160180幅值采样点（个）原信号050100150200250-20-10010采样点（个）SPRT检验图Ln(x)lnAlnB例2：信号由一段均值=135和一段均值=150，标准差相同（=25）的正态分布信号组成，这两段数据点个数分别为200个。取零假设H0：0=135及备择假设H1：1=150；=25；=0.01；=0.0305010015020025030035040050100150200250幅值采样点（个）原信号050100150200250-10-505采样点（个）SPRT检测图Ln(x)lnAlnB
