1、. 第五讲第五讲 二次函数的最值问题二次函数的最值问题 二次函数 2 (0)yaxbxc a?是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a ?时， 函数在 2 b x a ? ?处取得最小值 2 4 4 acb a ? ，无最大值；当0a ?时，函数在 2 b x a ? ?处取得 最大值 2 4 4 acb a ? ，无最小值 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问 题同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用 【例【例 1】当22x? ?时，求函数 2 23yxx?的最大值
2、和最小值 分析：分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得 到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值 解：解：作出函数的图象当1x ?时， min 4y? ?，当2x ? ?时， max 5y? 【例【例 2】当12x?时，求函数 2 1yxx? ?的最大值和最小值 解：解：作出函数的图象当1x ?时， min 1y? ?，当2x ?时， max 5y? ? 由上述两例可以看到， 二次函数在自变量x的给定范围内， 对应的图象是抛物线上的一 段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置， 函数在所给
3、自变量x的范围的图象形状各异 下面给出一 些常见情况： 【例【例 3】当0x ?时，求函数(2)yxx? ?的取值范围 解：解：作出函数 2 (2)2yxxxx? ?在0x ?内的图象 可以看出：当1x ?时， min 1y? ?，无最大值 . 所以，当0x ?时，函数的取值范围是1y ? ? 【例【例 4】当1txt? ?时，求函数 2 15 22 yxx?的最小值(其中t为常数) 分析：分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位 置 解：解：函数 2 15 22 yxx?的对称轴为1x ?画出其草图 (1) 当对称轴在所给范围左侧即1t ?时： 当xt?时
4、， 2 min 15 22 ytt? ?； (2) 当对称轴在所给范围之间即1101ttt? ? ?时： 当1x ?时， 2 min 15 113 22 y? ? ?； (3) 当对称轴在所给范围右侧即110tt? ?时： 当1xt? ?时， 22 min 151 (1)(1)3 222 yttt? 综上所述： 2 2 1 3,0 2 3,01 15 ,1 22 tt yt ttt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 【例【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价x(元
5、)满足一次函数1623 ,3054mxx? (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利 润为多少？ 解：解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x?元， 那么m件的销售利润为(30)ym x?，又1623mx? 2 (30)(1623 )32524860,3054yxxxxx? ? (2) 由(1)知对称轴为42x ?，位于x的范围内，另抛物线开口向下 ?当42x ?时， 2 max 3 42252 424860432y? ? ? ?当每件商品的售价定为 42 元时每天有最
6、大销售利润，最大销售利润为 432 元 . A 组组 1 抛物线 2 (4)23yxmxm?， 当m= _ 时， 图象的顶点在y轴上； 当m= _ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _ 时，图象过原点 2用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3求下列二次函数的最值： (1) 2 245yxx?； (2) (1)(2)yx x? 4求二次函数 2 235yxx?在22x? ?上的最大值和最小值，并求对应的x的值 5对于函数 2 243yxx?，当0x ?时，求y的取值范围 6求函数 2 3532yxx?的最大值和最小值 7已知关于x的函数 22 (21)1yxtx
7、t?，当t取何值时，y的最小值为 0？ B 组组 1已知关于x的函数 2 22yxax?在55x? ?上 (1) 当1a ? ?时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a为实数时，求函数的最大值 2函数 2 23yxx?在0mx?上的最大值为 3，最小值为 2，求m的取值范围 3 设0a ?， 当11x? ?时， 函数 2 1yxaxb? ?的最小值是4?， 最大值是 0， 求, a b 的值 4已知函数 2 21yxax?在12x? ?上的最大值为 4，求a的值 5求关于x的二次函数 2 21yxtx?在11x? ?上的最大值(t为常数) 练练 习习 . 第第五讲五讲 二次函数的最值问题答案
8、二次函数的最值问题答案 A 组组 14 14 或 2， 3 2 2 2 2 16 l m 3(1) 有最小值 3，无最大值；(2) 有最大值 9 4 ，无最小值 4当 3 4 x ?时， min 31 8 y?；当2x ? ?时， max 19y? 55y ? ? 6当 5 6 x ?时， min 3 3 6 y?；当 2 3 x ?或 1 时， max 3y? 7当 5 4 t ? ?时， min 0y? B 组组 1(1) 当1x ?时， min 1y?；当5x ? ?时， max 37y? (2) 当0a ?时， max 2710ya?；当0a ?时， max 27 10ya? 221m? ? ? 32,2ab? ? 4 1 4 a ? ?或1a ? ? 5当0t ?时， max 22yt?，此时1x ?；当0t ?时， max 22yt?，此时1x ? ?
