1、 1960 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1甲、解方程. 07552 2 =xx（限定在实数范围内） 解：移项得7552 2 =xx 两边平方得, 7552 2 =xx 整理得. 2, 2 1 , 0252 21 2 =+xxxx得 乙、 有 5 组蓝球队， 每组 6 队， 首先每组中各队进行单循环赛 （每 两队赛一次） ，然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？. 解：共需比赛 855 2 5 2 6 =+CC（场） 丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为 正数）. 解：设等比数列的首项为)0( aa，公比为)0( qq，即 ,
2、2 aqaqa 分别取此等比数列各项的对数，即 ,lg2lg,lglg,lgqaqaa+ 这就形成首项是,lga公差是qlg的等差数列 丁、求使等式 2 cos 2 sin1 2 xx =成立的 x 值的范围（x 是 0 07200的 角）. 解：要使等式 2 cos 2 sin1 2 xx =成立，必须, 0 2 cos x 由此可得角 2 x 在第一象限或第四象限 而已知条件中限定 x 为 0 07200的角， 由此可得360 2 27090 2 0 xx 或 .7205401800xx或 戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是 O，直径是 12mm,钢球放在小孔上测得钢
3、 球上端与机件平面的距离 CD 是 9mm，求 这小孔的直径 AB 的长 奎屯 王新敞 新疆 解：联结 OA 则 OA=OC=6（mm) OD=CD-OC=9-6=3(mm） 又)(33936 22 mmODAOAD= ).(362mmADAB= 己、四棱锥 P-ABCD 的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知 PA=3cm，P 到 BC 的距离是 5cm，求 PC 的长 奎屯 王新敞 新疆 解：ABCD是正方形， 而且 PA平面 ABCD， PBBC（三垂线定理） 在直角PAB 中 )(435 2222 cmPAPBAB= 在直角PBC 中 ).(4145 2222 cmBCPBPC=+
4、=+= 2有一直圆柱高是 20cm，底面半径是 5cm,它的一个内接长方体 的体积是 80cm 3，求这长方体底面的长与宽. C O A B D P A D B C 解：设长方体底面的长是 xcm，宽是 ycm.根据题意可得方程组， ).(52),(54 100 40 )52( 80020 22222 cmycmx yx xy yx xy = =+ = =+ = 解得 即 3从一船上看到在它的南30 0东的海面上有一灯塔，船以30里/ 小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西， 问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里） 奎屯 王新敞 新疆 解：由题意，船位于点O，看到灯 塔A，
5、半小时后船沿OB方向行至B， 由于A在B的正西，所以延长BA交OC 于C， 且必有BCOC 奎屯 王新敞 新疆 OBC=BOC=45 0， OC=BC=OBsin45 0=15 2 2 CA=OCtg30 0=15 2 2 2 3 = 2 65 （里） AB=CB-CA=5 . 4)33( 2 25 2 65 2 215 =（里） 故这时船与灯塔的距离约为4.5里 奎屯 王新敞 新疆 4要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为米 （1）求以矩形的一边长x表示窗户的面积y的函数; （2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程; （3）画出这函数的图像，并求出x的允许值范围 奎屯 王新敞 新疆 解： （
6、1）因为矩形周长为6米，所以若设其长为x米，则其宽为 O 东 450 300 C A B 南 3-x 奎屯 王新敞 新疆 窗户的面积y=x(3-x)=-x 2+3x. （2）由y=-x 2+3x，可得 4 9 ) 2 3 ( 2 +=xy故其顶点坐标为), 4 9 , 2 3 (对称轴方程为. 2 3 =x （3） 令x 2-3x=0， x 1=0,x2=3. 故图象与x轴相交于点（0，0） ， （3，0） ， 其图象如图 根据问题的实际意义，必须y0，所以x 的允许值范围为: 0x3. 5甲、已知方程0cos3sin42 2 =+ xx的两个根相等，且为锐 角，求和这个方程的两个根 奎屯 王
7、新敞 新疆 解：由题设，方程的两个根相等，故其判别式 .60, ).(2cos 2 1 cos , 02cos3cos2 , 0cos24)cos1 (16 , 0cos24sin16 , 0cos324)sin4(4 2 2 2 22 = = =+ = = = 为锐角由已知 舍或解之得 acb 由此，原方程化为 . 2 3 , 0 2 3 322 2 = =+ x xx 其相等的二根为 Y （ 4 9 , 2 3 ） O X 乙、a为何值时，下列方程组的解是正数？ =+ =+ 84 42 yx ayx 解：消去x，得,12)8(=ya . 8 816 , 8 12 a a x a y = =于是可得 欲使其解x,y均为正数，必须 . 8, 2 . 08 , 0816 , 0 8 12 , 0 8 816 aa aa aa a 即必须 故当2a时，方程组的解均为正数 奎屯 王新敞 新疆
