1、 1979 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学（理科） 一 （本题满分一 （本题满分 6 6 分）分） 若(z-x) 2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z 成等差数列 奎屯 王新敞 新疆 证：(z-x) 2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-22y(z+x)+4y2 =(z+x-2y) 2=0 2y=x+z,所以，x,y,z 成等差数列 奎屯 王新敞 新疆 二 （本题满分二 （本题满分 6 6 分）分） x x xxtg xctg x 2 2 22 2 2 csc sin 1 csc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : . c
2、sc1 1 1 1 1 1 : = = + = = 原式解 化简 三 （本题满分三 （本题满分 6 6 分）分） 甲，乙二容器内都盛有酒精 奎屯 王新敞 新疆甲有 V1公斤，乙有 V2公斤 奎屯 王新敞 新疆甲中纯酒精与 水（重量）之比为 m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为 m2:n2 奎屯 王新敞 新疆问将二者混合 后所得液体中纯酒精与水之比是多少？ 1 11 1 1111 2222 2222 1 1221 1222211 11221122 1 1221 1222211 11221122 :(),(), (),() ()() ()() ()() ()( mvnv mnmn m vn v mn
3、mn mvm vmv mnm v mn mnmnmnmn nvn vnv mnn v mn mnmnmnmn + + + += + + += + 解 甲中含纯酒精公斤 含水公斤 乙中含纯酒精公斤 含水公斤 甲乙共含纯酒精 公斤 甲乙共含水 ) , 公斤 混合后 纯酒精与水之比为 1 1222 2111 1222 211 ()():()()mv mnm v mnnv mnn v mn+ 四 （本题满四 （本题满 6 6 分）分） 叙述并证明勾股定理 奎屯 王新敞 新疆 证：略 奎屯 王新敞 新疆 五 （本题满五 （本题满 1010 分）分） 外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线 D 里以内的区
4、域 奎屯 王新敞 新疆设 A 及 B 是我们的观测站，A 及 B 间的距离为 S 里，海岸线是过 A，B 的直线， 一外国船在 P 点， 在 A 站测得BAP=同时在 B 站测得BAP= 奎屯 王新敞 新疆问 及满足什么简单的三角函数值不等式， 就应当向此未经特许的外国 船发出警告，命令退出我海域？ 解：作 PCAB 于 C，设 PC=d， 在直角三角形 PAC 中，AC=dctg 在直角三角形 PC 中，BC=dctg P A B C S=AC+BC=d（ctg+ctg） 奎屯 王新敞 新疆 当 dD，即 ctg+ctg D S 时，应向外国船发出警告 奎屯 王新敞 新疆 六 （本题满分六
5、（本题满分 1010 分）分） 设三棱锥 V-ABC 中，AVB=BVC=CVA=直角 奎屯 王新敞 新疆 求证：ABC 是锐角三角形 奎屯 王新敞 新疆 证一：设 VA=a，VB=b，VC=c，AB=p， BC=q，CA=r 奎屯 王新敞 新疆 于是 p 2= a 2+b2, q2=b2+c2, r2=c2+ a 2 奎屯 王新敞 新疆 由余弦定理： 2222222 22222222 () cos0 2 . abcabca CAB abcaabca CAB + = + 为锐角 同理，ABC，BCA 也是锐角 奎屯 王新敞 新疆 证二：作 VDBC，D 为垂足 奎屯 王新敞 新疆因 VA 垂直
6、于平面 VAC，所以 VABC 又 BCVD，所以 BC 垂直于平面 VAD，从而 BCAD 及在ABC 中，A 在 BC 边上的垂足 D 介于 B 和 C 之间 奎屯 王新敞 新疆因此， B 和C 都是锐角，同理可证A 也是锐角 奎屯 王新敞 新疆 七 （本题满分七 （本题满分 1212 分）分） 美国的物阶从 1939 年的 100 增加到四十年后 1979 年的 500，如果每 年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x0.1,可用： ln(1+x)x，取 lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率 x 应满足 100（1+X) 40=500,即（1+X)40=5. C V
7、D A B 取自然对数有 40ln(1+x)=ln5. 又 lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.30.7=1.61 利用 ln(1+x)x,则有 xln5/40=1.61/40=0.040254% 答：每年约增长百分之四 奎屯 王新敞 新疆 八 （本题满分八 （本题满分 1212 分）分） 设 CEDF 是一个已知圆的内接矩 形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延 长线相交于点 A，与 CF 的延长线 相交于点 B 奎屯 王新敞 新疆求证： 3 3 AC BC AE BF = 证：连接 CD 奎屯 王新敞 新疆因CFD=900，所以 CD 为圆 O 的直径， 又 AB 切圆
8、 O 于 D， CDAB 奎屯 王新敞 新疆又在直角三角形 ABC 中，ACB=900， AC 2=ADAB，BC2=BDBA 奎屯 王新敞 新疆 (1) . 2 2 AC BC AD BD = 又因 BD 2=BCBF，AD2=ACAE 奎屯 王新敞 新疆 (2) 2 2 AEAC BFBC AD BD = 由（1）与（2）得 3 3 4 4 AC BC AE BF AC BC AEAC BFBC = C E F A B D 九 （本题满分九 （本题满分 1414 分）分） 试问数列) 4 sin100lg(,), 4 sin100lg(), 4 sin100lg(,100lg 12 n 前
9、多少项 的和的值最大？并求这最大值 奎屯 王新敞 新疆（lg2=0.301) 解：该数列的第 k 项为： 2lg) 1( 2 1 2) 4 sin100lg( 1 = ka n k 所以这个数列是递减等差数列，且其首项为 2 奎屯 王新敞 新疆要使前 k 项的和最大， 必须前 k 项都是正数或 0，而从第 k+1 项起以后都是负数 奎屯 王新敞 新疆因此，k 应 适合下列条件： 114 1 2(1)lg20, (1) 2 1 2(1) 1lg20, (2) 2 :(1)14.2(2)13.2 ,14 14,14 91 14280.301014.30. 22 k k kk kNk k aa S
10、= = + = 解此不等式组 由得由得 又 取前项的和 十 （本题满分十 （本题满分 1818 分）分） 设等腰OAB 的顶点为 2，高为 h 奎屯 王新敞 新疆 1在OAB 内有一动点 P，到三边 OA，OB，AB 的距离分别为|PD|， |PF|，|PE|，并且满足关系|PD|PF|=|PE| 2 奎屯 王新敞 新疆求 P 点的轨迹 奎屯 王新敞 新疆 2在上述轨迹中定出点 P 的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF| 奎屯 王新敞 新疆 Y A D P E O h X F B 解：设 OP 与正 X 轴的夹角为，P 的坐标为（x,y）,则 0,.(2) 25 (1sin ) 2 552s
11、in 1sin 5 15 552sin52sin 5 (,) 52sin52sin PDPEPFy hh xhx hhtg ytg hhtg P += += + + = + + 由可知所以这里右端取正号 代入得 所求点 的坐标为 xtgy xyyyx hyx yxxhyx PFPEPD OAAA hEAE h EOOAEAA h h hy h x h yx h x hyhxx xhyx PEPFPD yx OPOPPF yx OPOPPD yxOP = = =+ +=+ =+ = = =+ = + =+ = = += +=+= = = += 5 1 ,sincos5cos4cossin )2(
12、),1 () 2cos h (0,(h,0) (2) .cos2 cossincossin . 2 .,. cos sin . cos .: . cos sin ,)0 , cos ( ) cos sin () cos ( 0 coscos 2 0cos 0cos2cos (1) ,)(cossin cossin )sincoscos(sin)sin( cossin )sincoscos(sin)sin( . 2222222222 22 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22222 22222 2 22 得由点点及此直线通过 即 得由条件 的切线是而且圆在是圆上一点的半径 是圆是圆的中心则作直线在注意 等腰三角形内的一部分所求轨迹是此圆在所给 为半径的圆以为中心这是以 即 得除以 即 得由条件
