1、 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数数 学学（理工农医类） 第卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） S=4R 2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P（AB）=P（A） P（B） 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概
2、率是 P. 3 3 4 RV= 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP =)1 ()( 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1与曲线 1 1 = x y关于原点对称的曲线为 （ ） A x y + = 1 1 B x y + = 1 1 C x y = 1 1 D x y = 1 1 2 已知=xxx2tan, 5 4 cos),0 , 2 (则 （ ） A 24 7 B 24 7 C 7 24 D 7 24 3= + 2 )3( 31 i i （
3、 ） Ai 4 3 4 1 + Bi 4 3 4 1 Ci 2 3 2 1 + Di 2 3 2 1 4已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A、C） ，则=AP（ ） A) 1 , 0(),(+ADAB B) 2 2 , 0(),(+BCAB C) 1 , 0(),(ADAB D) 2 2 , 0(),(BCAB 5设函数 = 0 , 0, 12 )( , 2 1 xx x xf x 若1)( 0 xf，则x0的取值范围是 （ ） A （1，1） B （1，+） C （，2）（0，+） D （，1）（1，+） 6等差数列 n a中，已知33, 4, 3 1 5
4、21 =+= n aaaa，则n为 （ ） A48 B49 C50 D51 7函数), 1 (, 1 1 ln+ + =x x x y的反函数为 （ ） A), 0(, 1 1 + + =x e e y x x B), 0(, 1 1 + + =x e e y x x C)0 ,(, 1 1 + =x e e y x x D)0 ,(, 1 1 + =x e e y x x 8棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A 3 3 a B 4 3 a C 6 3 a D 12 3 a 9设cbxaxxfa+= 2 )(, 0，曲线)(xfy =在点)(,( 00
5、 xfxP处切线的倾斜角的取值范 围为 4 , 0 ，则 P 到曲线)(xfy =对称轴距离的取值范围为 （ ） A 1 , 0 a B 2 1 , 0 a C| 2 | , 0 a b D| 2 1 | , 0 a b 10已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0 ,7(= xyFM、N 两点，MN 中点的横坐标为, 3 2 则此双曲线的方程是 （ ） A1 43 22 = yx B1 34 22 = yx C1 25 22 = yx D1 52 22 = yx 11已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P0
6、沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2，P3和 P4（入射角等于反射角）. 设 P4的坐标为（x4，0） ，若21 4 x ， 则tan的取值范围是 （ ） A （ 3 1 ，1） B） 3 2 , 3 1 ( C) 2 1 , 5 2 ( D) 3 2 , 5 2 ( 12一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A3 B4 C33 D6 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案填在题中横线上. 13 92 ) 2 1 ( x x 展开式中
7、9 x的系数是 . 14某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的 产品质量 奎屯 王新敞 新疆现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验， 这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 奎屯 王新敞 新疆 15某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分 （如图）.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方 法有 奎屯 王新敞 新疆（以数字作答） 16对于四面体 ABCD，给出下列四个命题 若 AB=AC，BD=CD，则 BCAD 若 AB=CD，AC=BD，则 BCAD 若 ABAC，BDC
8、D，则 BCAD 若 ABCD，BDAC，则 BCAD 1 2 3 4 5 6 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点 E 为 CC1中点，点 F 为 BD1中点. （1）证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线； （2）求点 D1到面 BDE 的距离. A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D E F 18 （本小题满分 12 分） 已知函数)0 , 0)(sin()(+=xxf是 R 上的偶函
9、数，其图像关于点 )0 , 4 3 ( M对称，且在区间 2 , 0 上是单调函数，求和的值. 19 （本小题满分 12 分） 设0a，求函数), 0()ln()(+=xaxxxf的单调区间. 20 （本小题满分 12 分） A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是 A1，A2，A3，B 队队员是 B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 A1对 B1 3 2 3 1 A2对 B2 5 2 5 3 A3对 B3 5 2 5 3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 A 队、
10、B 队最后所得总 分分别为、 （1）求、的概率分布； （2）求 E，E. 21 （本小题满分 14 分） 设 0 a为常数，且)(23 1 1 + =Nnaa n n n （1）证明对任意 0 1 2) 1(2) 1(3 5 1 , 1aan nnnnn n += ； （2）假设对任意1n有 1 nn aa，求 0 a的取值范围. 22 （本小题满分 14 分） 已知常数a0，向量 c c=（0，a） ，i i=（1，0） ，经过原点 O 以 c c+i i 为方向向量的直线与经 过定点 A（0，a）以 i i2c c 为方向向量的直线相交于点 P，其中R.试问：是否存在两 个定点 E、F，使
11、得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由. 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学试题（理工农医类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 5 分，满分 60 分 奎屯 王新敞 新疆 1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 13 2 21 146，30，10 15120 16 三、解答题 17本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识,考查空间想象能力和推
12、理能力.满分 12 分. A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D E F M （I）证法一：取 BD 中点 M，连结 MC，FM， F 为 BD1中点， FMD1D 且 FM= 2 1 D1D 又 EC= 2 1 CC1，且 ECMC， 四边形 EFMC 是矩形 EFCC1 3 分 又 CM面 DBD1 EF面 DBD1 BD1面 DBD1， EFBD1 故 EF 为 BD1与 CC1的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得 A 1 A B 1 B 1 C D 1 D E F x y )(OC B（0，1，0） ，D1（1，0，2） ，F) 1 , 2 1 , 2 1 ( C1（0，0
13、，2） ，E（0，0，1）.2 分 )2 , 0 , 0(),0 , 2 1 , 2 1 ( 1 =CCEF )2 , 1, 1 ( 1 =BD4 分 0, 0 11 =EFBDCCEF 即 EFCC1，EFBD1 故 EF 是 CC1与 BD1的公垂线.6 分 （II）解：连结 ED1，有 DBEDDBDE VV = 11 由（I）知 EF面 DBD1，设点 D1到面 BDE 的 距离为 d， 则 SDBCd=SDBD1EF.9 分 AA1=2AB=1. 2 2 ,2=EFEDBEBD 2 3 )2( 2 3 2 1 ,222 2 1 2 1 = DBCDBD SS 3 32 2 3 2 2
14、 2 = =d 故点 D1到平面 BDE 的距离为 3 32 . 18 本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算 能力.满分 12 分. 解：由)(xf是偶函数，得)()(xfxf=，即)sin()sin(+=+xx， 所以xxsincossincos= 对任意x都成立，且0，所以得0cos=， 依题设0，所以解得 2 =.4 分 由)(xf的图象关于点 M 对称，得) 4 3 () 4 3 (xfxf+= ， 取, 0=x得), 4 3 () 4 3 ( ff=所以, 0) 4 3 (= f 4 3 cos) 24 3 sin() 4 3 ( =+=f，
15、 2 , 1 , 0, 24 3 , 0, 0 4 3 cos=+=kk 得又， 8 分 , 2 , 1 , 0),12( 3 2 =+=kk. 当k=0 时， 2 , 0) 23 2 sin()(, 3 2 在+=xxf上是减函数； 当k=1 时， 2 , 0) 2 2sin()(, 2 在+=xxf上是减函数； 当2k时， 2 , 0) 2 sin()(, 3 10 在+=xxf上不是单调函数. 所以，综合得2 3 2 =或. 12 分 19本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满 分 12 分. 解：)0( 1 2 1 )( + =x axx xf
16、. 2 分 当0, 0xa时 0)42(0)( 22 +axaxxf. 0)42)0)( 22 +axaxxf （i）当1a时，对所有0x，有0)42( 22 +aax. 即0)( x f，此时)(xf在), 0( +内单调递增. 5 分 （ii）当1=a时，对1x，有0)42( 22 +axax， 即0)( x f，此时)(xf在（0，+）内单调递增，在), 1 ( +内单调递增 又知函数)(xf在 x=1 处连续，因此，函数)(xf在（0，+）内单调递增7 分 （iii）当10 a时，令0)( x f，即0)42( 22 +axax. 解得aaxaax+122,122或. 因此，函数)(x
17、f在区间)122 , 0(aa内单调递增，在区间),122(+aa 内也单调递增. 10 分 令0)42(, 0)( 22 +axaxxf即， 解得aaxaa+122122. 因此，函数)(xf在区间)122 ,12-2aaaa+（内单调递减. 12 分 20本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的 能力.满分 12 分. 解： （1）、的可能取值分别为 3，2，1，0. 75 8 5 2 5 2 3 2 )3(=P 75 28 5 2 5 3 3 2 5 2 5 2 3 1 5 3 5 2 3 2 )2(=+=P 5 2 5 2 5 3 3 1 5 3
18、5 2 3 1 5 3 5 3 3 2 ) 1(=+=P， 25 3 5 3 5 3 3 1 )0(=P 4 分 根据题意知+=3，所以 P(=0)=P(=3)= 75 8 , P(=1)=P(=2)= 75 28 P(=2)=P(=1)= 5 2 , P(=3)=P(=0)= 25 3 . 8 分 （2） 15 22 25 3 0 5 2 1 75 28 2 75 8 3=+=E； 因为+=3，所以 . 15 23 3=EE 12 分 21本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问 题和解决问题的能力，满分 14 分. （1）证法一： （i）当 n=1 时
19、，由已知a1=12a0，等式成立； （ii）假设当 n=k（k1）等式成立，则,2) 1(2) 1(3 5 1 0 1 aa kkkkk k += 那么 0 11 1 2) 1(2) 1(3 5 2 323aaa kkkkkk k k k + + += .2) 1(2) 1(3 5 1 0 1111 a kkkkk+ += 也就是说，当 n=k+1 时，等式也成立. 根据（i）和（ii） ，可知等式对任何 nN+，成立. 6 分 证法二：如果设),3(233 1 1 1 = n n nn n aa 用 1 1 23 = n n n aa代入，可解出 5 1 =. 所以 5 3n n a 是公比
20、为2，首项为 5 3 1 a 的等比数列. ).()2)( 5 3 21 ( 5 3 1 0+ =Nnaa n n n 即 .2) 1( 5 2) 1(3 0 1 aa nn nnn n + + = 6 分 （2）解法一：由 n a通项公式 .23) 1( 5 23) 1(32 0 1 111 1 aaa nn nnn nn + + = )( 1 Nnaa nn 等价于 ).() 2 3 () 15() 1( 2 0 1 + Nna nn 8 分 （i）当 n=2k1，k=1，2，时，式即为 32 0 22 ) 2 3 () 15() 1( kk a 即为 . 5 1 ) 2 3 ( 5 1
21、32 0 + k a 式对 k=1，2，都成立，有 . 3 1 5 1 ) 2 3 ( 5 1 1 0 =+ a 10 分 （ii）当 n=2k，k=1，2，时，式即为 .) 2 3 () 15() 1( 22 0 12 kk a 即为 . 5 1 ) 2 3 ( 5 1 22 0 + k a 式对 k=1，2，都成立，有 . 0 5 1 ) 2 3 ( 5 1 212 0 =+ a 12 分 综上，式对任意 nN*，成立，有. 3 1 0 0 a 故a0的取值范围为). 3 1 , 0( 14 分 解法二：如果 1 nn aa（nN*）成立，特别取 n=1，2 有 . 031 001 =aa
22、a . 06 012 =aaa 因此 . 3 1 0 0 a 9 分 下面证明当. 3 1 0 0 a时，对任意 nN*， . 0 1 nn aa 由an的通项公式 .235) 1(23) 1(32)(5 0 1111 1 aaa nnnnn nn += （i）当 n=2k1，k=1，2时， 0 111 1 2352332)(5aaa nnn nn += 0252322 111 =+ nnn 12 分 （ii）当 n=2k，k=1，2时， 0 111 1 2352332)(5aaa nnn nn += . 02332 11 nn 故a0的取值范围为). 3 1 , 0( 14 分 22本小题主
23、要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定 曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分 12 分. 解：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值. i=（1，0） ，c=（0，a） ， c+i=（，a） ，i2c=（1，2a）. 2 分 因此，直线 OP 和 AP 的方程分别为 axy = 和 axay2=. 4 分 消去参数，得点 ),(yxP 的坐标满足方程 22 2)(xaayy=. 整理得 . 1 ) 2 ( ) 2 ( 8 1 2 2 2 = + a a y x 7 分 因为, 0a所以得： （i）当 2 2 =a时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F； （ii） 当 2 2 0 a时， 方程表示椭圆， 焦点) 2 , 2 1 2 1 ( 2 a aE和) 2 , 2 1 2 1 ( 2 a aF为 合乎题意的两个定点； （ iii ） 当 2 2 a时 ， 方 程 也 表 示 椭 圆 ， 焦 点) 2 1 ( 2 1 , 0( 2 +aaE和 ) 2 1 ( 2 1 , 0( 2 aaF为合乎题意的两个定点. 12 分
