1、 2004 年高考试题全国卷 2 理科数学（必修选修） (四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的 （1）已知集合 Mx|x24，Nx|x22x30，则集合 MN （A）x|x2 （B）x|x3 （C）x|1x2 （D）x|2x3 （2） 54 2 lim 2 2 1 + + xx xx n （A） 2 1 （B）1 （C） 5 2 （D） 4 1 （3）设复数 2 1 2 3 i，则 1 （A） （B）2 （C） 1 （D） 2 1 （4）已知圆 C 与圆(x1)2y21 关于直线
2、 yx 对称，则圆 C 的方程为 （A）(x1)2y21 （B）x2y21 （C）x2(y1)21 （D）x2(y1)21 （5）已知函数 ytan(2x)的图象过点( 12 ,0)，则 可以是 （A） 6 （B） 6 （C） 12 （D） 12 （6）函数 yex的图象 （A）与 yex的图象关于 y 轴对称 （B）与 yex的图象关于坐标原点对称 （C）与 ye x 的图象关于 y 轴对称 （D）与 ye x的图象关于坐标原点对称 （7）已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 2 ，则球 心 O 到平面 ABC 的距离为 （A） 3 1 （B） 3 3
3、 （C） 3 2 （D） 3 6 （8）在坐标平面内，与点 A(1，2)距离为 1，且与点 B(3，1)距离为 2 的直线共有 （A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条 （9）已知平面上直线l的方向向量) 5 3 , 5 4 (=e ，点 O(0,0)和 A(1,-2)在l上的射影分别是 O1 和 A1，则 11A Oe ，其中 （A） 5 11 （B） 5 11 （C）2 （D）2 （10）函数 yxcosxsinx 在下面哪个区间内是增函数 （A）( 2 ， 2 3 ) （B）(，2) （C）( 2 3 ， 2 5 ) （D）(2， 3) （11）函数 ysin4xcos2x
4、 的最小正周期为 （A） 4 （B） 2 （C） （D）2 （12）在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有 （A）56 个 （B）57 个 （C）58 个 （D）60 个 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线上 （13）从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有个红球，则随机变 量的概率分布为 0 1 2 P （14）设 x，y 满足约束条件 ，yx y，x ，x 12 0 则 z3x2y 的最大值是 （15） 设中心在原点的椭圆与双曲线 2x22y21
5、有公共的焦点， 且它们的离心率互为倒数， 则该椭圆的方程是 （16）下面是关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号) 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） (本小题满分 12 分) 已知锐角三角形 ABC 中，sin(AB) 5 3 ，sin(AB) 5 1 ()求证：tanA2tanB； ()设 AB3，求 AB
6、 边上的高 （18）(本小题满分 12 分) 已知 8 个球队中有 3 个弱队，以抽签方式将这 8 个球队分为 A、B 两组，每组 4 个求 ()A、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； ()A 组中至少有两个弱队的概率 （19）(本小题满分 12 分) 数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1 n n2+ Sn（n1，2，3，） 证明： ()数列 n Sn 是等比数列； ()Sn14an （20）(本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACB90o，AC1，CB2，侧棱 AA11，侧 面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D，B1C1的中点为 M ()
7、求证：CD平面 BDM； ()求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小 （21）(本小题满分 12 分) 给定抛物线 C：y24x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点 ()设 l 的斜率为 1，求OA与OB夹角的大小； ()设FBAF，若4，9，求 l 在 y 轴上截距的变化范围 (22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)ln(1x)x，g(x)xlnx (1)求函数 f(x)的最大值； (2)设 0ab，证明：0g(a)g(b)2g( 2 ba + )(ba)ln2 2004 年高考试题全国卷 2 理科数学（必修选修） (四川、吉林、黑龙江
8、、云南等地区) 答案： 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 （1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15） 2 1 x2y21 （16） 17(I)证明：sin(A+B)= 5 3 ,sin(A-B)= 5 1 = =+ 5 1 sincoscossin 5 3 sincoscossin BABA BABA = = 5 1 sincos 5 2 cossin BA BA 2
9、tan tan = B A ，BAtan2tan=. (II)解： 2 0. B(,2)或 B(,-2)，又 F(1,0), 得直线 l 的方程为(-1)y=2(x-1)或(-1)y=-2(x-1) 奎屯 王新敞 新疆 当4,9时，l 在 y 轴上的截距为 1 2 或- 1 2 奎屯 王新敞 新疆 由 1 2 = 1 2 1 2 + + ，可知 1 2 在4，9上是递减的， 4 3 1 2 3 4 ，- 3 4 - 1 2 4 3 奎屯 王新敞 新疆 直线 l 在 y 轴上截距的变化范围是 3 4 , 4 3 4 3 , 3 4 奎屯 王新敞 新疆 22(I)解解：函数 f(x)的定义域是(-1,), f(x)=1 1 1 + x .令 f(x)=0，解得 x=0，当-10 时, f(x)a,所以 F(b)0,即 00 时,0)( xG,因此 G(x)在 (0,+)上为减函数，因为 G(a)=0,ba,所以 G(b)0.即 g(a)+g(b)-2g( 2 ba + )(b-a)ln2.
