1、 2004 年高考试题全国卷 1 文科数学（必修+选修 I） (河南、河北、山东、山西等地区) 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟. 第 I 卷（选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）=P（A） P（B） 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C k nP k(1P)nk 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 奎屯 王新敞 新疆
2、 . 1设集合 U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，5，则 A（ U CB）= （ ） A2 B2，3 C3 D 1，3 2已知函数= + =)(, 2 1 )(, 1 1 lg)(afaf x x xf则若 （ ） A 2 1 B 2 1 C2 D2 3已知, a b均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|3ab+|= （ ） A7 B10 C13 D4 4函数1 1(1)yxx= +的反函数是 （ ） A) 1(22 2 +=xxxy B) 1(22 2 +=xxxy 球的表面积公式 S=4 2 R 其中 R 表示球的半径， 球的体积公式 V= 3 3 4 R， 其中 R 表示
3、球的半径 C) 1(2 2 =xxxy D) 1(2 2 =xxxy 5 73 ) 1 2( x x 的展开式中常数项是 （ ） A14 B14 C42 D42 6设) 2 , 0( 若, 5 3 sin=则) 4 cos(2 += （ ） A 5 7 B 5 1 C 2 7 D4 7椭圆1 4 2 2 =+ y x 的两个焦点为 F1、F2，过 F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点 为 P，则| 2 PF= （ ） A 2 3 B3 C 2 7 D4 8设抛物线xy8 2 =的准线与x轴交于点 Q，若过点 Q 的直线l与抛物线有公共点，则直线 l的斜率的取值范围是 （ ） A 2 1
4、, 2 1 B2，2 C1，1 D4，4 9为了得到函数) 6 2sin( =xy的图象，可以将函数xy2cos=的图象 （ ） A向右平移 6 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度 D向左平移 3 个单位长度 10 已知正四面体 ABCD 的表面积为 S， 其四个面的中心分别为 E、 F、 G、 H， 设四面体 EFGH 的表面积为 T，则 S T 等于 （ ） A 9 1 B 9 4 C 4 1 D 3 1 11从 1，2，9 这九个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概率 是 （ ） A 9 5 B 9 4 C 21 11 D 21 1
5、0 12已知cabcabaccbba+=+=+=+则, 2, 2, 1 222222 的最小值为 （ ） A3 2 1 B 2 1 3 C 2 1 3 D 2 1 +3 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13不等式 x+x30 的解集是 . 14已知等比数列,384, 3, 103 =aaan中则该数列的通项 n a= . 15由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=60，则动点 P 的轨迹方程为 . 16 已知 a、 b 为不垂直的异面直线，是一个平面， 则 a、
6、 b 在上的射影有可能是 . 两条平行直线 两条互相垂直的直线 同一条直线 一条直线及其外一点 在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 等差数列 n a的前 n 项和记为 Sn.已知.50,30 2010 =aa （）求通项 n a； （）若 Sn=242，求 n. 18 （本小题满分 12 分） 求函数 x xxxx xf 2sin2 cossincossin )( 2244 + =的最小正周期、最大值和最小值. 19 （本小题满分 12 分） 已知1
7、3)( 23 +=xxaxxf在 R 上是减函数，求a的取值范围. 20 （本小题满分 12 分） 从 10 位同学（其中 6 女，4 男）中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概 率均为 5 4 ，每位男同学能通过测验的概率均为 5 3 .试求： （I）选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率； （II）10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 21 （本小题满分 12 分） 如图， 已知四棱锥 PABCD， PBAD， 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形， 底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120. （I）求
8、点 P 到平面 ABCD 的距离； （II）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小. 22 （本小题满分 14 分） 设双曲线 C：1:)0( 1 2 2 2 =+=yxlay a x 与直线相交于两个不同的点 A、B. （I）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围： （II）设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且. 12 5 PBPA =求 a 的值. 2004 年高考试题全国卷 1 文科数学（必修+选修 I） (河南、河北、山东、山西) 参考答案 一、选择题一、选择题 DBCBABCCBACB 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共
9、16 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. 13x|x0 1432n 3 15 4 22 =+ yx 16 三、解答题三、解答题 17本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分 12 分. 解： （）由,50,30,) 1( 20101 =+=aadnaan得方程组 =+ =+ .5019 ,309 1 1 da da 4 分 解得. 2,12 1 =da 所以 .102 += nan7 分 （）由242, 2 ) 1( 1 = += nn Sd nn naS得方程 .2422 2 ) 1( 12= + nn n 10 分 解得).(2211舍去或=nn12 分
10、 18本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分 12 分. 解： xx xxxx xf cossin22 cossin)cos(sin )( 22222 + = . 2 1 2sin 4 1 )cossin1 ( 2 1 )cossin1 (2 cossin1 22 += += = x xx xx xx 所以函数)(xf的最小正周期是，最大值是, 4 3 最小值是. 4 1 12 分 19本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运 用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解：函数 f(x)的导数：. 163)( 2 +=xa
11、xxf3 分 （）当0)( x f（Rx）时，)(xf是减函数. )(0163 2 Rxxax+ . 3012360+=aaa且 所以，当)(, 0)(,3Rxxfxfa知由时是减函数；9 分 （II）当3=a时，133)( 23 +=xxxxf=, 9 8 ) 3 1 (3 3 +x 由函数 3 xy =在 R 上的单调性，可知 当3=a时，Rxxf)(）是减函数； （）当3a时，在 R 上存在一个区间，其上有, 0)( x f 所以，当3a时，函数)(Rxxf不是减函数. 综上，所求a的取值范围是（.3,12 分 20本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率
12、知识 解决实际问题的能力，满分 12 分. 解： （）随机选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率为 1 6 5 3 10 3 6 = C C ；6 分 （）甲、乙被选中且能通过测验的概率为 6 分 . 125 4 5 3 5 4 3 10 1 8 = C C ；12 分 21本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、 运算能力.满分 12 分. （I）解：如图，作 PO平面 ABCD，垂足为点 O.连结 OB、OA、OD、OB 与 AD 交于 点 E，连结 PE. ADPB，ADOB， PA=PD，OA=OD， 于是 OB 平分 AD，点 E 为 AD
13、的中点，所以 PEAD. 由此知PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角，4 分 PEB=120，PEO=60 由已知可求得 PE=3 PO=PEsin60= 2 3 2 3 3=， 即点 P 到平面 ABCD 的距离为 2 3 .6 分 （II）解法一：如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x 轴平行于 DA. ) 4 3 , 4 33 , 0(),0 , 2 33 , 0(), 2 3 , 0 , 0(的坐标为中点GPBBP.连结 AG. 又知).0 , 2 33 , 2(),0 , 2 3 , 1 (CA由此得到： 0, 0 ).0 , 0 , 2(), 2 3 ,
14、2 33 , 0( ), 4 3 , 4 3 , 1 ( = = = PBBCPBGA BCPB GA 于是有 所以的夹角BCGAPBBCPBGA,. 等于所求二面角的平面角，10 分 于是, 7 72 | cos= = BCGA BCGA 所以所求二面角的大小为 7 72 arccos.12 分 解法二：如图，取 PB 的中点 G，PC 的中点 F，连结 EG、AG、GF，则 AGPB，FG/BC， FG= 2 1 BC. ADPB，BCPB，FGPB， AGF 是所求二面角的平面角.9 分 AD面 POB，ADEG. 又PE=BE，EGPB，且PEG=60. 在 RtPEG 中，EG=PE
15、cos60= 2 3 . 在 RtPEG 中，EG= 2 1 AD=1. 于是 tanGAE= AE EG = 2 3 ， 又AGF=GAE. 所以所求二面角的大小为arctan 2 3 .12 分 22 （本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想 和综合解题能力.满分 14 分. 解： （I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组 =+ = . 1 , 1 2 2 2 yx y a x 有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 2 分 . 120 . 0)1 (84 . 01 224 2 + aa aaa a 且解
16、得所以 双曲线的离心率 分的取值范围为即离心率 且 且 6).,2()2, 2 6 ( 2 2 6 , 120. 1 11 2 2 + += + = e ee aa aa a e （II）设) 1 , 0(),(),( 12211 PyxByxA . 12 5 ).1,( 12 5 ) 1,(, 12 5 212211 xxyxyxPBPA=由此得8 分 由于 x1，x2都是方程的根，且 1a20， 分所以由 得消去所以 14. 13 17 , 0 60 289 1 2 ,. 1 2 12 5 , 1 2 12 17 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = aa a a x a a x a a x
