1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生湖南湖南卷卷文史类文史类数学试题数学试题 一、选择题：本大题 共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合要求的 奎屯 王新敞 新疆 1函数) 1 1lg( x y= 的定义域为 （ ） A0|xx B1|xx C10| xx D10| 或xx 2设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为，且 sin+cos=0，则 a,b 满足 （ ） A1=+ba B1=ba C0=+ba D0=ba 3设)( 1 xf 是函数 f(x)=x的反函数，则下列不等式中恒成立的是 （ ） A12)( 1 xxf B12)(
2、1 + xxf C12)( 1 xxf D12)( 1 + xxf 4 如果双曲线 1 1213 22 = yx 上一点P到右焦点的距离为13, 那么点P到右准线的距离是 （ ） A 5 13 B13 C5 D 13 5 5把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当 A、B C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时， 直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为 （ ） A90 B60 C45 D30 6某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为 了调查产品的情况， 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本， 记这项调查为 ；
3、 在丙地区中有 20 个特大型销售点， 要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况， 记这项调查为.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为 （ ） A分层抽样法，系统抽样法 B分层抽样法，简单随机抽样法 C系统抽样法，分层抽样法 D简单随机抽样法，分层抽样法 7若 f(x)=-x2+2ax 与 1 )( + = x a xg在区间1,2上都是减函数，则 a 的值范围是 （ ） A) 1 , 0()0 , 1( B 1 , 0()0 , 1( C （0，1） D 1 , 0( 8 已知向量)sin,(cos=a,向量) 1, 3(=b则|2|ba 的最大值， 最小值分别是 （ ） A0 ,24
4、 B24, 4 C16，0 D4，0 9若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是 （ ） 10从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为 （ ） A56 B52 C48 D40 11 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元(其 中工资性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元), 预计该地区自 2004 年起的 5 年内，农 民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长， 其它收入每年增加160元 奎屯 王新敞 新疆根据以上数据， 2008 年该地区农民人均收入介于 （ ） A4200
5、 元4400 元 B4400 元4600 元 C4600 元4800 元 D4800 元5000 元 12设集合 U=(x,y)|xR,yR, A=(x,y)|2x-y+m0, B=(x,y)|x+y-n0,那么点 P（2，3） )(BCA U 的充要条件是 （ ） A5, 1nm B5, 1nm C5, 1nm D5, 1nm 二、填空题：本大题、填空题：本大题 共共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上. 13 过点P （1， 2） 且与曲线y=3x2-4x+2在点M （1， 1） 处的切线平行的直线方程是_. 14 92
6、) 1 ( x x +的展开式中的常数项为_(用数字作答) 15 F1， F2是椭圆 C：1 48 22 =+ xx 的焦点， 在 C 上满足 PF1PF2的点 P 的个数为_. 16若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a0,且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 _. x y o A x y o D x y o C x y o B 三、解答题：本大题三、解答题：本大题 共共 6 小题，共小题，共 74 分分. 解答应写出必要的解答应写出必要的文字说明、证明过程或运算文字说明、证明过程或运算 步骤步骤. 17 （本小题满分 12 分） . coscossin2 1 , 2)
7、 4 tan( 2 的值求已知 + =+ 18 （本小题满分 12 分） 如图，在底面 是菱形的四棱锥 PABC中，ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=a2, 点 E 是 PD 的中点. （I）证明 PA平面 ABCD，PB平面 EAC； （II）求以 AC 为棱，EAC 与 DAC 为面的二面角的正切值. B C D A P E 19 （本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙 机床加工的零件不是一等品的概率为 4 1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不 是一等品的概率为 12 1 ,甲、丙两台机床加工的零件都是
8、一等品的概率为 9 2 . （）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； （）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. O t x y D B A C1 C2 B 20 （本小题满分 12 分） 已知数列an是首项为 a 且公比 q 不等于 1 的等比数列，Sn是其前 n 项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列. （I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列； （II）求和 Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2. 21 （本小题满分 12 分） 如图，已知曲线 C1：y=x3(x0)与曲线 C2:y=2x3+3x(x0)交于 O，A,直线 x=t
9、(0t0)作直线与抛物线交于 A,B 两点， 点 Q 是点 P 关于原点的对称点 奎屯 王新敞 新疆 （I）设点 P 分有向线段AB所成的比为，证明: )(QBQAQP （II）设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0，过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的 切线，求圆 C 的方程. B C D A P E B C D A P E G H 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生湖南湖南卷卷文史类文史类类类数学试题数学试题 参考答案参考答案 1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.A 10.C 11.B 12.A 132xy+4=0 1484
10、 152 16) 2 1 , 0( 17 （本小题满分 12 分） 解：由. 3 1 tan, 2 tan1 tan1 ) 4 tan(= + =+ 得 于是 . 3 2 1 3 1 2 1) 3 1 ( 1tan2 1tan coscossin2 cossin coscossin2 1 2 2 2 22 2 = + + = + + = + + = + 18 （）证法一 因为底面 ABCD 是菱形，ABC=60， 所以 AB=AD=AC=a， 在PAB 中， 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PAAB. 同理，PAAD，所以 PA平面 ABCD. 因为 DADCEDCBDCPDPB+=+
11、=2 .)()(ECEADCEDDAED+=+= 所以 PB、EA、EC共面. 又 PB平面 EAC，所以 PB/平面 EAC. 证法二 同证法一得 PA平面 ABCD. 连结 BD，设 BDAC=O，则 O 为 BD 的中点. 连结 OE，因为 E 是 PD 的中点，所以 PB/OE. 又 PB平面 EAC，OE平面 EAC，故 PB/平面 EAC. （）解 作 EG/PA 交 AD 于 G，由 PA平面 ABCD. 知 EG平面 ABCD. 作 GHAC 于 H，连结 EH，则 EHAC，EHG 即为二面角的 平面角. 又 E 是 PD 的中点，从而 G 是 AD 的中点， . 4 3 6
12、0sin, 2 1 , 2 1 aAGGHaAGaEG= 所以 . 3 32 tan= GH EG 19 （本小题满分 12 分） 解： （）设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件. 由题设条件有 = = = = = = . 9 2 )()( , 12 1 )(1 ()( , 4 1 )(1 ()( . 9 2 )( , 12 1 )( , 4 1 )( CPAP CPBP BPAP CAP CBP BAP 即 由、得)( 8 9 1)(CPBP= 代入得 27P(C)251P(C)+22=0. 解得 9 11 3 2 )(或=CP（舍去）. 将 3 2 )(=C
13、P 分别代入 、 可得 . 4 1 )(, 3 1 )(=BPAP 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是. 3 2 , 4 1 , 3 1 （）记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则 . 6 5 3 1 4 3 3 2 1)(1)(1)(1 (1)(1)(=CPBPAPDPDP 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为. 6 5 20 （）证明 由 471 3 ,2 ,aaa成等差数列， 得 417 34aaa+=， 即 .34 36 aqaaq+= 变形得 , 0) 1)(14( 33 =+qq 所以1 4 1 3
14、3 =qq或（舍去）. 由 . 16 1 12 1 1 )1 (12 1 )1 ( 12 3 3 1 6 1 3 6 = + = = q q qa q qa S S . 16 1 111 1 )1 ( 1 )1 ( 1 66 6 1 12 1 6 12 6 612 =+= = qq q qa q qa S S S SS 得 . 12 6 612 3 6 S SS S S = 所以 12S3，S6，S12S6成等比数列. （）解：.3232 )1(363 23741 +=+= n nn naqaqaqanaaaaT 即 .) 4 1 () 4 1 (3) 4 1 (2 12 anaaaT n n
15、 += ) 4 1 (得： ananaaaT nn n ) 4 1 () 4 1 () 4 1 (3) 4 1 (2 4 1 4 1 132 += .) 4 1 () 5 4 ( 5 4 ) 4 1 ( ) 4 1 (1 ) 4 1 (1 anaan a nn n += = 所以 .) 4 1 () 5 4 25 16 ( 25 16 anaT n n += 21 （本小题满分 12 分） 解： （）由 += = ,32 3 3 xxy xy 得交点 O、A 的坐标分别是（0，0） ， （1，1）. ),33( 2 1 | 2 1 |01| 2 1 )( 3 ttBDBDSStf OBDABO
16、 +=+= 即 ).10().( 2 3 )( 3 =ttttf （）. 2 3 2 9 )( 2 +=ttf 令0)(= t f 解得 . 3 3 =t 当, 0)(, 3 3 0tft时从而)(tf在区间) 3 3 , 0(上是增函数； 当, 0)(,1 3 3 tft时从而)(tf在区间) 1 , 3 3 (上是减函数. 所以当 3 3 =t时，)(tf有最大值为 . 3 3 ) 3 3 (=f 22解： （）依题意，可设直线 AB 的方程为 ,mkxy+=代入抛物线方程yx4 2 =得 . 044 2 =mkxx 设 A、B 两点的坐标分别是 ),( 11 yx、 122 ),(xyx
17、则、x2是方程的两根. 所以 .4 21 mxx= 由点 P（0，m）分有向线段AB所成的比为， 得., 0 1 2 121 x xxx = + + 即 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点， 故点 Q 的坐标是（0，m） ，从而)2 , 0(mQP =. ).)1 (,(),(),( 21212211 myyxxmyxmyxQBQA+=+= )1 (2)( 21 myymQBQAQP+= 2 21 21 2 1 2 2 2 1 2 1 4 4 )(2)1 ( 44 2 x mxx xxmm x xx x xx m + +=+= . 0 4 44 )(2 2 21 = + += x mm xx
18、m 所以 ).(QBQAQP （）由 = =+ ,4 , 0122 2 yx yx 得点 A、B 的坐标分别是（6，9） 、 （4，4）. 由 yx = 2 得 , 2 1 , 4 1 2 xyxy= 所以抛物线 yx4 2 =在点 A 处切线的斜率为3 6= =x y 设圆 C 的方程是,)()( 222 rbyax=+ 则 +=+ = .)4()4()9()6( , 3 19 2222 baba ba b 解之得 . 2 125 )4()4(, 2 23 , 2 3 222 =+=barba 所以圆 C 的方程是 , 2 125 ) 2 23 () 2 3 ( 22 =+yx 即 . 072233 22 =+yxyx
