1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生湖北湖北卷卷文史文史类类数学试题数学试题 一、选择题一、选择题 奎屯 王新敞 新疆： ：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 奎屯 王新敞 新疆 1设BAQxxxBNkkxxA=+=则, 6|), 15|等于 （ ） A1,4 B1,6 C4,6 D1,4,6 2已知点 M（6，2）和 M2（1，7）.直线 y=mx7 与线段 M1M2的交点 M 分有向线段 M1M2的比为 3：2，则 m 的值为 （ ） A 2 3 B 3 2 C 4 1 D4 3已知函数)(, 31)(xf
2、xxf则处的导数为在 =的解析式可能为 （ ） A) 1( 3) 1()( 2 +=xxxf B) 1(2)(=xxf C 2 ) 1(2)(=xxf D1)(= xxf 4两个圆0124:0222: 22 2 22 1 =+=+yxyxCyxyxC与的公切线有且 仅有 （ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 5若函数的图象经过第二且) 10( 1)(+=aabaxf x 、三、四象限，则一定有 （ ） A010ba且 B01ba且 C010ba且 D01ba且 6四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H，则四面体 EFGH 的表面积与四面 体 ABCD 的表面积的比值是
3、（ ） A 27 1 B 16 1 C 9 1 D 8 1 7已知cba,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,cbcaba= （ ） A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8已知 42 54 )(, 2 5 2 + = x xx xfx则有 （ ） A最大值 4 5 B最小值 4 5 C最大值 1 D最小值 1 9已知数列 n a的前 n 项和), 2 , 1() 2 1 )(1(2) 2 1 (2 11 =+= nnbaS nn n 其中 a、b 是非零常数，则存在数列 n x、 n y使得 （ ） A
4、, nnnn xyxa其中+=为等差数列， n y为等比数列 B, nnnn xyxa其中+=和 n y都为等差数列 C, nnnn xyxa其中=为等差数列， n y都为等比数列 D, nnnn xyxa其中=和 n y都为等比数列 10若, 11 1 ba 则下列结论中不 正确的是 （ ） Aab ba loglog B2|loglog|+ab ba C1)(log 2 a b D|loglog|log|log|abab baba + 11将标号为 1，2，10 的 10 个球放入标号为 1，2，10 的 10 个盒子里，每个 盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不 一致的放
5、入方法种数为 （ ） A120 B240 C360 D720 12设)(tfy =是某港口水的深度 y（米）关于时间 t（时）的函数，其中240 t. 下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观观察，函数)(tfy =的图象可以近似地看成函数)sin(+=tAky的 图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数（ ） A24, 0, 6 sin312+=tty B24, 0), 6 sin(312+=t
6、ty C24, 0, 12 sin312+=tty D24, 0), 212 sin(312tty += 二、填空题：二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13Tan2010的值为 . 14已知 n xx)( 2 1 2 1 +的展开式中各项系数的和是 128，则展开式中 x5的系数 是 .（以数字作答） 15某校有老师 200 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人.现用分层抽样的方法从所有师 生中抽取一个容量为 n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为 80 人，则 n= . 16 设 A、B 为两个集合，下列四个命题： A B对任意B
7、xAx有, A B=BA A BAB A B存在BxAx使得, 其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上） 三、解答题：三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 已知) 3 2sin(, 2 , 0cos2cossinsin6 22 +=+求的值. 18 （本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，AC 与 BD 交于点 E，CB 与 CB1 交于点 F. （I）求证：A1C平 BDC1； （II）求二面角 BEFC 的大小（结果用反三角函数值表示）. F E A
8、BC D A1 B1C1 D1 19 （本小题满分 12 分） 如图， 在 RtABC 中， 已知 BC=a.若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点， 问BCPQ与 的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值. a AB C 20 （本小题满分 12 分） 直线12:1: 22 =+=yxCkxyl与双曲线的右支交于不同的两点 A、B. （）求实数 k 的取值范围； （）是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在， 求出 k 的值；若不存在，说明理由. 21 （本小题满分 12 分） 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措
9、施可供采用， 单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为 P）和所需费用如 下表： 预防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9 0.8 0.7 0.6 费用（万元） 90 60 30 10 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过 120 万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大. 22 （本小题满分 14 分） 已知cbxxxgbxxfcb+=+= 2 )()(, 0, 1的图象与函数函数的图象相切. （）求 b 与 c 的关系式（用 c 表示 b） ； （）设函数),()()()(+=在xgxfxF内有极值点，求 c 的取值范
10、围. 2004 年普通高年普通高等等学校招生学校招生湖北湖北卷卷文史文史类类数学试题数学试题 参考答案 一、选择题：一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1D 2D 3A 4B 5C 6C 7B 8D 9C 10D 11B 12A 二、填空题：二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13 3 3 1435 15192 16 17本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等基础知识和基本运算技能，满 分 12 分. 解法一：由已知得：0)cossin2)(cos2si
11、n3(=+ 0cossin20cos2sin3=+或 由已知条件可知)., 2 (, 2 , 0cos 即所以 . 3 2 tan, 0tan=于是 3 sin2cos 3 cos2sin) 3 2sin( +=+ . tan1 tan1 2 3 tan1 tan sincos sincos 2 3 sincos cossin )sin(cos 2 3 cossin 2 2 2 22 22 22 22 + + + = + + + = += 代入上式得将 3 2 tan= 3 26 5 13 6 ) 3 2 (1 ) 3 2 (1 2 3 ) 3 2 (1 ) 3 2 ( ) 3 2sin( 2
12、 2 2 即为所求+= + + + =+ 解法二：由已知条件可知所以原式可化为则, 2 , 0cos a F E A BC D A1 B1C1 D1 H . . 3 2 tan . 0 tan), 2 ( . 0 ) 1tan2)(2tan3( . 02tantan6 2 下同解法一 又 即 = =+ =+ 18本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.满分 12 分. 解法一： （）A1A底面 ABCD，则 AC 是 A1C 在底面 ABCD 的射影. ACBD.A1CBD. 同理 A1CDC1,又 BDDC1=D, A1C平面 BDC1. （）取 EF 的中点
13、H，连结 BH、CH， . . ., 2 2 的平面角是二面角 同理 CEFBBHC EFCH EFBHBFBE = 又 E、F 分别是 AC、B1C 的中点， . 3 1 arccos . 3 1 arccos) 3 1 arccos( 3 1 4 6 4 6 2 1) 4 6 () 4 6 ( 2 cos , . 4 6 2 3 . . 2 1 / 22 222 1 = = + = + = = = 的大小为故二面角 得由余弦定理中于是在 故 是两个全等的正三角形与 CEFB BHC CHBH BCCHBH BHC BCH BFCHBH CEFBEF ABEF 解法二： （）以点 C 为坐标
14、原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,0,0). D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1) z y x F E A B C D A1 B1C1 D1 a AB C Q P . , , . 011, 011 ).1 , 0 , 1(),0 , 1, 1 (), 1 , 1 , 1 ( 11 1 111 111 11 BDCCA DDCBD DCCABDCA DCCABDCA DCBDCA 平面 又 即 = =+= = （）同（I）可证，BD1平面 AB1C. . 3 1 arccos . 3 1 33 1 | ,cos ),1, 1
15、, 1(),1, 1, 1( . , 11 11 11 11 11 = = = = 的大小为故二面角 的平面角补角的大小 就是所求二面角则 CEFB BDCA BDCA BDCA BDCA BDDA 19本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能 力，满分 12 分. )()( , . 0,: ACAQABAPCQBP ACAQCQABAPBPAQAP ACABACAB = = = 解法一 .cos 2 1 )( 22 2 2 3 aa BCPQa ACABAPa APABACAPa ACABAQABACAPAQAP += += += += += . 0.,)(0
16、, 1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ= 解法二：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直 角坐标系. a x y AB C Q P .)( )()( ).2,2(),( ),(),( ).,(),( .| ,2| ), 0(),0 ,(),0 , 0(,| ,| 22 bycxyx byyxcxCQBP yxPQbcBC byxCQycxBP yxQyxP aBCaPQ bCcBAbACcAB += += = = = = 则的坐标为设点 且 则设 . 0,)(0, 1cos .cos .cos . | cos 22 2 2 其最大值为最大
17、时方向相同与即故当CQBCBCPQ aaCQBP abycx a bycx BCPQ BCPQ = += = = = 20本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能 力，满分 12 分. 解： （）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,121 22 =+=yxCkxyl . 022)2( 22 =+kxxk 依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故 . 22 . 0 2 2 0 2 2 , 0)2(8)2( , 02 2 2 22 2 = kk k k k kk k 的取值范围是解得 （）设 A、B 两点的坐标分别为),( 11 yx、),( 22
18、yx，则由式得 = =+ . 2 2 , 2 2 2 22 2 21 k xx k k xx 假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F（c,0）. 则由 FAFB 得： . 0) 1)(1()( . 0)( 2121 2121 =+ =+ kxkxcxcx yycxcx 即 整理得 . 01)() 1( 2 2121 2 =+cxxckxxk 把式及 2 6 =c代入式化简得 . 5 66 ).)(2, 2( 5 66 5 66 . 06625 2 的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知 舍去或解得 CABk kk kk + = = + = =+ 21本小题考
19、查概率的基础知识以及运用概率知识解决 实际问题的能力，满分 12 分. 解：方案 1：单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元.由表可知，采用甲措施， 可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为 0.9. 方案 2：联合采用两种预防措施，费用不超过 120 万元，由表可知.联合甲、丙两种预防 措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为 1(10.9)(10.7)=0.97. 方法 3：联合采用三种预防措施，费用不超过 120 万元，故只能联合乙、丙、丁三种预 防措施，此时突发事件不发生的概率为 1（10.8）(10.7)(10.6)=10.024=0.976. 综合上述三种预防方案可知
20、，在总费用不超过 120 万元的前提下，联合使用乙、丙、丁 三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大. 22本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分. 解： （）依题意，令. 2 1 , 12),()( b xbxxgxf =+=故得 .21, 0, 1 .4) 1(), 2 21 () 2 1 ( 2 cbcb cb b g b f += =+ = 得由于 （）.43)(.)(2)()()( 22223 cbbxxxFbcxcbbxxxgxfxF+=+= :)(,0)(, 0 ).3(4)(1216 . 043, 0)( 0 222 22 的变化如下
21、且有一个实根则若 则 即令 xFxxF cbcbb cbbxxxF = =+= =+= x ),( 0 x x0 （), 0 +x )(x F + 0 + 于是 0 xx =不是函数)(xF的极值点. )()(,0)(, 0 2121 xFxxxxxF=且有两个不相等的实根则若的变化如下： x ),( 1 x x1 ),( 21 xx 2 x （), 2 +x )(x F + 0 0 + 由此，)(,)( 21 xFxxxFxx是函数的极大值点是函数=的极小值点. 综上所述，当且仅当.),()(,0上有极值点在函数时+=xF )., 347()347 , 0( . 3473470 .321321,21 .330)3(4 2 + + += = 的取值范围是故所求 或解之得 或 或得由 c cc cccccb cbcbcb
