1、 2004 年普通高等学校招生天津卷理工类数学试题 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 奎屯 王新敞 新疆第一卷 1 至 2 页，第二卷 3 至 10 页 奎屯 王新敞 新疆考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 祝各位考生考试顺利！ 第一卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 1. 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 奎屯 王新敞 新疆如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号 奎屯 王新敞 新疆答在试卷上
2、的无效 奎屯 王新敞 新疆 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么)()()(BPAPBAP+=+ 奎屯 王新敞 新疆 如果事件 A、B 相互独立，那么)()()(BPAPBAP= 奎屯 王新敞 新疆 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式ShV= 柱体 奎屯 王新敞 新疆 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 奎屯 王新敞 新疆 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1. i 是虚数单位， 3 )2)(1( i ii+ = A. i+1 B. i1 C. i 31+ D.
3、i 31 2. 不等式2 1 x x 的解集为 A. )0, 1 B. ), 1+ C. 1,( D. ), 0( 1,(+ 3. 若平面向量b 与向量a )2,1 (=的夹角是180，且53=b ，则b A. )6,3( B. )6,3( C. )3,6( D. )3,6( 4. 设 P 是双曲线1 9 2 2 2 = y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 1 , 023Fyx=、F2 分别是双曲线的左、右焦点，若3| 1 =PF，则= | 2 PF A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. 若函数) 10(log)(=axxf a 在区间2,aa上的最大值是最小值的 3
4、 倍，则 a= A. 4 2 B. 2 2 C. 4 1 D. 2 1 6. 如图，在棱长为 2 的正方体 1111 DCBAABCD 中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分 别是 1 CC、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 1 FD所成的角的余弦值等于 A. 5 10 B. 5 15 C. 5 4 D. 3 2 A B C D A1B1 C1D1 OF E 7. 若) 1, 2(P为圆25) 1( 22 =+yx的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 A. 03= yx B. 032=+ yx C. 01=+ yx D. 052= yx 8. 已知数列 n a，那么“对任意的*
5、Nn，点),( nn anP都在直线12 += xy上”是 “ n a为等差数列”的 A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数), 0)(2 6 sin(2 =xxy为增函数的区间是 A. 3 , 0 B. 12 7 , 12 C. 6 5 , 3 D. , 6 5 10. 如图，在长方体 1111 DCBAABCD 中，AB=6，AD=4，3 1 =AA 奎屯 王新敞 新疆分别过 BC、 11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分， 其体积分别记为 11 1DFDAEA VV =， 1111 2DFCFAEBE VV =， CF
6、CBEB VV 1111 3 = 奎屯 王新敞 新疆若 1:4:1: 321 =VVV，则截面 11EFD A 的面积为 A. 104 B. 38 C. 134 D. 16 A B C D A1 D1 C1 B1 E F E1 F1 11. 函数 1 2 3 = x y（01x）的反函数是 A. ) 3 1 (log1 3 +=xxy B. ) 3 1 (log1 3 +=xxy C. ) 1 3 1 (log1 3 +=xxy D. ) 1 3 1 (log1 3 +=xxy 12. 定义在 R 上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且 当 2 , 0 x时，xx
7、fsin)(=，则) 3 5 ( f的值为 A. 2 1 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3 2004 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第二卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 奎屯 王新敞 新疆 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚 奎屯 王新敞 新疆 题号 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 13. 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5:3:2，现用
8、分层 抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件 奎屯 王新敞 新疆那么此样本的容量 n= 奎屯 王新敞 新疆 14. 如果过两点)0,(aA和), 0(aB的直线与抛物线32 2 =xxy没有交点， 那么实数 a 的取值范围是 奎屯 王新敞 新疆 15. 若)( . )21 ( 2004 2004 2 210 2004 Rxxaxaxaax+=，则 =+)( . )()()( 20040302010 aaaaaaaa 奎屯 王新敞 新疆（用数字作答） 16. 从 1，3，5，7 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数字，组成没有重复 数字的四
9、位数，其中能被 5 整除的四位数共有 个 奎屯 王新敞 新疆（用数字作答） 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 17. （本小题满分 12 分） 已知 2 1 ) 4 tan(=+ ， （1）求tan的值； （2）求 2cos1 cos2sin 2 + a 的值 奎屯 王新敞 新疆 18. （本小题满分 12 分） 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛， 设随机变量表示所选 3 人中女生的 人数 奎屯 王新敞 新疆 （1）求的分布列； （2）求的数学期望； （3）求“所选 3 人中女生人数1”的概率 奎屯
10、 王新敞 新疆 19. （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD底面 ABCD， PD=DC， E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F 奎屯 王新敞 新疆 （1）证明 PA/平面 EDB； （2）证明 PB平面 EFD； （3）求二面角 CPBD 的大小 奎屯 王新敞 新疆 A B C D P E F 20. （本小题满分 12 分） 已知函数xbxaxxf3)( 23 +=在1=x处取得极值 奎屯 王新敞 新疆 （1）讨论) 1 (f和) 1(f是函数)(xf的极大值还是极小值； （2）过点)16, 0(A作曲线)(
11、xfy =的切线，求此切线方程 奎屯 王新敞 新疆 21. （本小题满分 12 分） 已知定义在 R 上的函数)(xf和数列 n a满足下列条件： 1211 ), . , 4, 3, 2)(,aanafaaa nn = ， ) . , 4, 3, 2)()()( 11 = naakafaf nnnn ，其中 a 为常数，k 为非零常数 奎屯 王新敞 新疆 （1）令 nnn aab= +1 *)(Nn，证明数列 n b是等比数列； （2）求数列 n a的通项公式； （3）当1|k时，求 n n a lim 奎屯 王新敞 新疆 22. （本小题满分 14 分） 椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为2
12、2，相应于焦点 F（c，0） （0c）的准线l与 x 轴相交于点 A，|OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 奎屯 王新敞 新疆 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0=OQOP，求直线 PQ 的方程； （3）设AQAP=（1） ，过点 P 且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点 M， 证明FQFM= 奎屯 王新敞 新疆 2004 年普通高等学校招生天津卷理工类数学参考解答 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 奎屯 王新敞 新疆 15 DAACA 610 BABCC 1112 DD 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小
13、题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 13. 80 14. ) 4 13 ,( 15. 2004 16. 300 三. 解答题： 17. 本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力， 满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）解： tan1 tan1 tan 4 tan1 tan 4 tan ) 4 tan( + = + =+ 由 2 1 ) 4 tan(=+ ，有 2 1 tan1 tan1 = + 解得 3 1 tan= （2）解法一： 1cos21 coscossin2 2cos1 cos2sin 2 22 + = + 6 5 2 1 3 1 2
14、1 tan cos2 cossin2 = = 解法二：由（1） ， 3 1 tan=，得cos 3 1 sin= 22 cos 9 1 sin= 22 cos 9 1 cos1= 10 9 cos 2 = 于是 5 4 1cos22cos 2 =， 5 3 cos 3 2 cossin22sin 2 = 代入得 6 5 5 4 1 10 9 5 3 2cos1 cos2sin 2 = + = + 18. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念， 考查运用概率知识解决实际问 题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）解：可能取的值为 0，1，2 奎屯 王新敞
15、新疆 2, 1, 0,)( 3 6 3 42 = = k C CC kP kk 奎屯 王新敞 新疆 所以，的分布列为 0 1 2 P 5 1 5 3 5 1 （2）解：由（1） ，的数学期望为 1 5 1 2 5 3 1 5 1 0=+=E （3）解：由（1） ， “所选 3 人中女生人数1”的概率为 5 4 ) 1()0() 1(=+=PPP 19. 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能 力和推理论证能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 方法一： （1）证明：连结 AC，AC 交 BD 于 O，连结 EO 奎屯 王新敞 新疆 底面 ABCD 是正方形
16、，点 O 是 AC 的中点 在PAC中，EO 是中位线，PA / EO 而EO平面 EDB 且PA平面 EDB， 所以，PA / 平面 EDB O A B C D P E F （2）证明： PD底面 ABCD 且DC底面 ABCD，DCPD PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线， PCDE 奎屯 王新敞 新疆 同样由 PD底面 ABCD，得 PDBC 奎屯 王新敞 新疆 底面 ABCD 是正方形，有 DCBC，BC平面 PDC 奎屯 王新敞 新疆 而DE平面 PDC，DEBC 奎屯 王新敞 新疆 由和推得DE平面 PBC 奎屯 王新敞 新疆 z y x G A
17、 B C D P E F 而PB平面 PBC，PBDE 又PBEF 且EEFDE=，所以 PB平面 EFD 奎屯 王新敞 新疆 （3）解：由（2）知，DFPB ，故EFD是二面角 CPBD 的平面角 奎屯 王新敞 新疆 由（2）知，DBPDEFDE, 奎屯 王新敞 新疆 设正方形 ABCD 的边长为 a，则aBDaDCPD2,= aBDPDPB3 22 =+=， aDCPDPC2 22 =+= aPCDE 2 2 2 1 = 奎屯 王新敞 新疆 在PDBRt中，a a aa PB BDPD DF 3 6 3 2 = = = 奎屯 王新敞 新疆 在EFDRt中， 2 3 3 6 2 2 sin=
18、 a a DF DE EFD， 3 =EFD 奎屯 王新敞 新疆 所以，二面角 CPBD 的大小为 3 奎屯 王新敞 新疆 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设aDC = 奎屯 王新敞 新疆 （1）证明：连结 AC，AC 交 BD 于 G，连结 EG 奎屯 王新敞 新疆 依题意得) 2 , 2 , 0(), 0, 0(),0, 0,( aa EaPaA 奎屯 王新敞 新疆 底面 ABCD 是正方形，G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为)0, 2 , 2 ( aa 且 ) 2 , 0, 2 (), 0,( aa EGaaPA= 奎屯 王新敞 新疆 EGPA2=，这表明 PA
19、/EG 奎屯 王新敞 新疆 而EG平面 EDB 且PA平面 EDB，PA/平面 EDB 奎屯 王新敞 新疆 （ 2 ） 证 明 ； 依 题 意 得)0,(aaB，),(aaaPB= 奎屯 王新敞 新疆又 ) 2 , 2 , 0( aa DE =，故0 22 0 22 =+= aa DEPB 奎屯 王新敞 新疆 DEPB 奎屯 王新敞 新疆 由已知PBEF ， 且EDEEF=， 所以PB平面 EFD 奎屯 王新敞 新疆 （3）解：设点 F 的坐标为),( 000 zyx，PBPF=，则 ),(),( 000 aaaazyx= 奎屯 王新敞 新疆 从而azayax)1 (, 000 = 奎屯 王新
20、敞 新疆所以 ) 2 1 (,) 2 1 ( ,() 2 , 2 ,( 000 aaaz a y a xFE= 奎屯 王新敞 新疆 由条件PBEF 知，0=PBFE，即 0) 2 1 () 2 1 ( 222 =+aaa，解得 3 1 = 点 F 的坐标为) 3 2 , 3 , 3 ( aaa ，且 ) 6 , 6 , 3 ( aaa FE=，) 3 2 , 3 , 3 ( aaa FD= 0 3 2 33 222 =+= aaa FDPB 即FDPB ，故EFD是二面角 CPBD 的平面角 奎屯 王新敞 新疆 69189 2222 aaaa FDFE=+=，且 a aaa FE 6 6 36
21、369 | 222 =+=，a aaa FD 3 6 9 4 99 | 222 =+=， 2 1 3 6 6 6 6 | cos 2 = = = aa a FDFE FDFE EFD 奎屯 王新敞 新疆 3 =EFD 奎屯 王新敞 新疆 所以，二面角 CPBD 的大小为 3 奎屯 王新敞 新疆 20. 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方 法，以及分析和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）解：323)( 2 +=bxaxxf，依题意，0) 1() 1 (=ff，即 = =+ . 0323 , 0323 ba ba 解得
22、0, 1=ba 奎屯 王新敞 新疆 ) 1)(1( 333)(,3)( 23 +=xxxxfxxxf 奎屯 王新敞 新疆 令0)(= x f，得1, 1=xx 奎屯 王新敞 新疆 若), 1 () 1,(+x，则0)( x f，故 )(xf在) 1,(上是增函数， )(xf在), 1 (+上是增函数 奎屯 王新敞 新疆 若) 1, 1(x，则0)( x f，故 )(xf在) 1, 1(上是减函数 奎屯 王新敞 新疆 所以，2) 1(=f是极大值；2) 1 (=f是极小值 奎屯 王新敞 新疆 （2）解：曲线方程为xxy3 3 =，点)16, 0(A不在曲线上 奎屯 王新敞 新疆 设切点为),(
23、00 yxM，则点 M 的坐标满足 0 3 00 3xxy= 奎屯 王新敞 新疆 因) 1( 3)( 2 00 =xxf，故切线的方程为)(1(3 0 2 00 xxxyy= 注意到点 A（0，16）在切线上，有 )0)(1( 3)3(16 0 2 00 3 0 xxxx= 化简得8 3 0 =x，解得2 0 =x 奎屯 王新敞 新疆 所以，切点为)2, 2(M，切线方程为0169=+ yx 奎屯 王新敞 新疆 21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问 题和解决问题的能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）证明：由0 121 =aab，可得 0
24、)()()( 1212232 =aakafafaab 奎屯 王新敞 新疆 由数学归纳法可证0 1 = +nnn aab*)(Nn 奎屯 王新敞 新疆 由题设条件，当2n时 1 1 1 + = nn nn n n aa aa b b 1 1) ()( = nn nn aa afaf k aa aak nn nn = = 1 1) ( 因此，数列 n b是一个公比为 k 的等比数列 奎屯 王新敞 新疆 （2）解：由（1）知，*)( 12 1 1 1 nnaakbkb nn n = 当1k时，)2( 1 1 )( . 1 12121 =+ n k k aabbb n n 当1=k时，)(1( . 1
25、2121 aanbbb n =+ )2( n 奎屯 王新敞 新疆 而 112312121 )( . )()( . aaaaaaaabbb nnnn =+=+ )2( n 所以，当1k时 k k aaaa n n = 1 1 )( 1 121 )2( n 奎屯 王新敞 新疆 上式对1=n也成立 奎屯 王新敞 新疆所以，数列 n a的通项公式为 *)( 1 1 )( 1 Nn k k aafaa n n += 当1=k时 )(1( 121 aanaan= )2( n 奎屯 王新敞 新疆 上式对1=n也成立，所以，数列 n a的通项公式为 )()(1(aafnaan+= *)(Nn， （2）解：当1
26、|k时 1 1 )(limlim 1 k k aafaa n n n n += k aaf a += 1 )( 22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）解：由题意，可设椭圆的方程为)2( 1 2 2 2 2 =+a y a x 奎屯 王新敞 新疆 由已知得 = = ).(2 , 2 2 22 c c a c ca 解得2,6=ca 所以椭圆的方程为1 26 22 =+ yx ，离心率 3 6 =e 奎屯 王新敞 新疆 （2）解：由（1）可得 A
27、（3，0） 奎屯 王新敞 新疆 设直线 PQ 的方程为) 3( =xky 奎屯 王新敞 新疆由方程组 = =+ )3( , 1 26 22 xky yx 得062718) 13( 2222 =+kxkxk 依题意0)32(12 2 =k，得 3 6 3 6 k 奎屯 王新敞 新疆 设),(),( 2211 yxQyxP，则 13 18 2 2 21 + =+ k k xx， 13 627 2 2 21 + = k k xx 奎屯 王新敞 新疆 由直线 PQ 的方程得) 3(),3( 2211 =xkyxky 奎屯 王新敞 新疆于是 9)( 3) 3)(3( 2121 2 21 2 21 +=x
28、xxxkxxkyy 奎屯 王新敞 新疆 0=OQOP，0 2121 =+yyxx 奎屯 王新敞 新疆 由得15 2 =k，从而) 3 6 , 3 6 ( 5 5 =k 奎屯 王新敞 新疆 所以直线 PQ 的方程为035=yx或035=+yx （2）证明：), 3(), 3( 2211 yxAQyxAP= 奎屯 王新敞 新疆由已知得方程组 =+ =+ = = . 1 26 , 1 26 , ),3(3 2 2 2 2 2 1 2 1 21 21 yx yx yy xx 注意1，解得 2 15 2 =x 因),(),0, 2( 11 yxMF，故 ), 1) 3(), 2( 1211 yxyxFM+= ), 2 1 (), 2 1 ( 21 yy = = 奎屯 王新敞 新疆 而), 2 1 (), 2( 222 yyxFQ =，所以 FQFM= 奎屯 王新敞 新疆
