1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生浙江卷理工类浙江卷理工类数学试题数学试题 第第卷卷 (选择题选择题 共共 60 分分) 一一.选择题选择题: 本大题共本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. (1) 若 U=1,2,3,4, M=1,2,N=2,3, 则() U CMN= (A) 1,2,3 (B) 2 (C) 1,3,4 (D) 4 (2) 点P从(1,0)出发,沿单位圆1 22 =+ yx逆时针方向运动 3 2 弧长到达Q点,则Q的坐 标为 (A
2、) ) 2 3 , 2 1 ( (B) () 2 1 , 2 3 (C) () 2 3 , 2 1 (D) () 2 1 , 2 3 (3) 已知等差数列 n a的公差为 2,若 431 ,aaa成等比数列, 则 2 a= (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (4)曲线xy4 2 =关于直线 x=2 对称的曲线方程是 (A) xy48 2 = (B) 84 2 = xy (C) xy416 2 = (D) 164 2 = xy (5) 设 z=xy ,式中变量 x 和 y 满足条件 + 03 , 02 yx yx 则 z 的最小值为 (A) 1 (B) 1 (C) 3 (D) 3
3、 (6) 已知复数itziz+=+= 21 ,43,且 21 zz 是实数,则实数 t= (A) 4 3 (B) 3 4 (C) - 3 4 (D) - 4 3 (7) 若 n x x) 2 ( 3 +展开式中存在常数项,则 n 的值可以是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)在 ABC 中,“A30”是“sinA 2 1 ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 (9)若椭圆)0( 1 2 2 2 2 =+ba b y a x 的左、右焦点分别为 F1、F2，线段 F1F2被抛物线 y2=2bx 的焦点分
4、成 5：3 两段，则此椭圆的离心率为 3 2 1 -1 -2 -224 0 21 y=f(x) （A） 17 16 （B） 17 174 （C） 5 4 （D） 5 52 （10） 如图， 在正三棱柱 ABCA1B1C1中已知 AB=1， D 在棱 BB1 上，且 BD=1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 = （A） 3 （B） 4 （C） 4 10 arcsin（D） 4 6 arcsin （11）设)(x f 是函数 f(x)的导函数，y=)(x f 的图象 如图所示，则 y= f(x)的图象最有可能的是 2 1 -1 -2 -224 A 0 21 f x( ) = x
5、x-2() x-1() 2 1 -1 -2 -224 B 0 21 3 2 1 -1 -2 -3 -4-2246 C 0 21 f x( ) = x+0.7() x-3() x-1() 3 2 1 -1 -2 -3 -4-2246 D 0 21 f x( ) = - x+0.7() x-3() x-1() （12）若)(xf和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数，且方程0)(=xgfx有实数解， 则)(xfg不可能 是 （A） 5 1 2 + xx （B） 5 1 2 + xx （C） 5 1 2 x （D） 5 1 2 +x 第第卷卷 （非选择题（非选择题 共共 90 分）分） 二二.填
6、空题：三大题共填空题：三大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 16 分分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中横线上 把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 （13）已知 = , 0, 1 , 0, 1 )( x x xf则不等式)2()2(+xfxx5 的解集是 奎屯 王新敞 新疆 （14）已知平面上三点 A、B、C 满足3,4,5ABBCCA=则AB BCBC CA CA AB+ 的值等于 奎屯 王新敞 新疆 （15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1 个单位，经过 5 次跳动质点落在点（3，0） （允许重复过此点）处，则质点不
7、同的运动 方法共有 种（用数字作答） 奎屯 王新敞 新疆 （16）已知平面 和平面交于直线l，P 是空间一点，PA，垂足为 A，PB，垂足 为 B，且 PA=1，PB=2，若点 A 在 内的射影与点 B 在 内的射影重合，则点 P 到l的 A B C A1 B1C1 D 距离为 奎屯 王新敞 新疆 三三. 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 74 分分 奎屯 王新敞 新疆解 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 （17） （本题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 3
8、1 cos=A 奎屯 王新敞 新疆 （）求A CB 2cos 2 sin 2 + + 的值； （）若3=a，求 bc 的最大值 奎屯 王新敞 新疆 （18） （本题满分 12 分） 盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3 个，第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取 1 个球（假设取到每个 球的可能性都相同） 奎屯 王新敞 新疆记第一次与第二次取到球的标号之和为 奎屯 王新敞 新疆 （）求随机变量 的分布列； （）求随机变量 的期望 E 奎屯 王新敞 新疆 （19） （本题满分 12 分） 如图，已知正方形 ABCD
9、 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB=2，AF=1，M 是线段 EF 的中点 奎屯 王新敞 新疆 （）求证 AM平面 BDE； （）求二面角 ADFB 的大小； （20） （本题满分 12 分） 设曲线xey x( =0）在点 M（t,c-1）处的切线l与 x 轴 y 轴所围成的三角表面积 为 S（t） 奎屯 王新敞 新疆 （）求切线l的方程； （）求 S（t）的最大值 奎屯 王新敞 新疆 A B C D F E M （21） （本题满分 12 分） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A（1，0）点 P、Q 在双 曲线的右支上，支 M（m,0）到直线 AP 的距离为 1 奎屯 王新敞
10、 新疆 （）若直线 AP 的斜率为 k，且3, 3 3 k，求实数 m 的 取值范围； （）当12 +=m时，APQ 的内心恰好是点 M，求此双曲 线的方程 奎屯 王新敞 新疆 （22） （本题满分 14 分） 如图，OBC 的在个顶点坐标分别为（0,0） 、 （1,0） 、 （0,2）,设 P 为线段 BC 的中点,P 为 线段 CO 的中点,P3为线段 OP1的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3为线段 PnPn+1的中点,令 Pn的 坐标为(xn,yn),. 2 1 21+ += nnnn yyya （）求 321 ,aaa及 n a; （）证明;, 4 1 4 + =Nn y y n
11、n ()若记, 444 + =Nnyyb nnn 证明 n b是等比数列. 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4-224 A 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生浙江卷理工类浙江卷理工类数学试题数学试题 参考答案参考答案 一一.选择题选择题: 本大题共本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分. 1. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.C 12.B 二二.填空题填空题:本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 16 分分. 13. 2 3 ,( 14. -25 15. 5 16. 5
12、三.解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分. 17. (本题满分 12 分) 解: ()A CB 2cos 2 sin 2 + + =) 1cos2()cos(1 2 1 2 +ACB =) 1cos2()cos1 ( 2 1 2 +AA =) 1 9 2 () 3 1 1 ( 2 1 + = 9 1 () 3 1 cos 2 222 = + A bc acb 2222 2 3 2 abcacbbc+=, 又3=a . 4 9 bc 当且仅当 b=c= 2 3 时,bc= 4 9 ,故 bc 的最大值是 4 9 . (18) (满分 12 分) 解: ()由题意可得,随机变量 的取值是 2
13、、3、4、6、7、10 奎屯 王新敞 新疆 随机变量 的概率分布列如下 2 3 4 6 7 10 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09 随机变量 的数学期望 E=20.09+30.24+40.13+60.18+70.24+100.09=5.2. (19) (满分 12 分) 方法一 解: ()记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, O、M 分别是 AC、EF 的中点，ACEF 是矩形， 四边形 AOEM 是平行四边形， AMOE 奎屯 王新敞 新疆 OE平面 BDE， AM平面 BDE， AM平面 BDE 奎屯 王新敞 新疆 O A B C D F E M O
14、 A B C D F E M S ()在平面 AFD 中过 A 作 ASDF 于 S，连结 BS， ABAF， ABAD， ,AAFAD= AB平面 ADF， AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影， 由三垂线定理得 BSDF 奎屯 王新敞 新疆 BSA 是二面角 ADFB 的平面角 奎屯 王新敞 新疆 在 RtASB 中，, 2, 3 6 =ABAS ,60, 3tan=ASBASB 二面角 ADFB 的大小为 60 奎屯 王新敞 新疆 （）设 CP=t（0t2）,作 PQAB 于 Q，则 PQAD， PQAB，PQAF，AAFAB=， PQ平面 ABF，QE平面 ABF， PQQF 奎屯
15、 王新敞 新疆 在 RtPQF 中，FPQ=60 ， PF=2PQ 奎屯 王新敞 新疆 PAQ 为等腰直角三角形， ).2( 2 2 tPQ= 又PAF 为直角三角形， 1)2( 2 +=tPF， ).2( 2 2 21)2( 2 tt=+ 所以 t=1 或 t=3(舍去) 即点 P 是 AC 的中点 奎屯 王新敞 新疆 方法二 （）建立如图所示的空间直角坐标系 奎屯 王新敞 新疆 设NBDAC=，连接 NE， 则点 N、E 的坐标分别是（)0 , 2 2 , 2 2 、 （0,0,1）, NE=() 1 , 2 2 , 2 2 , 又点 A、M 的坐标分别是 （022，） 、 （) 1 ,
16、2 2 , 2 2 AM=（) 1 , 2 2 , 2 2 NE=AM且 NE 与 AM 不共线， NEAM 奎屯 王新敞 新疆 又NE平面 BDE， AM平面 BDE， AM平面 BDF 奎屯 王新敞 新疆 （）AFAB，ABAD，AF,AAD = AB平面 ADF 奎屯 王新敞 新疆 (2,0,0)AB = 为平面 DAF 的法向量 奎屯 王新敞 新疆 NE DB=（) 1 , 2 2 , 2 2 )0 ,2,2(=0， NENF=（) 1 , 2 2 , 2 2 )0 ,2,2(=0 得 NEDB,NENFNE 为平面 BDF 的法向量 奎屯 王新敞 新疆 cos= 2 1 ,AB NE
17、的夹角是 60 奎屯 王新敞 新疆 即所求二面角 ADFB 的大小是 60 奎屯 王新敞 新疆 （）设 P(t,t,0)(0t2)得 ( 2, 2,1),PFtt= CD=（2，0，0） 又PF 和 CD 所成的角是 60 奎屯 王新敞 新疆 N A B C D F E M P N A B C D F E M 21)2()2( 2)2( 60cos 22 + = tt t 解得 2 2 =t或 2 23 =t（舍去） ， 即点 P 是 AC 的中点 奎屯 王新敞 新疆 （20） （满分 12 分） 解： （）因为,)()( xx eexf = 所以切线l的斜率为, 1 e 故切线l的方程为).
18、(txeey tt = 即0) 1( 1 =+ teyxe t 奎屯 王新敞 新疆 （）令 y=0 得 x=t+1, 又令 x=0 得) 1( += tey t 所以 S（t）=) 1() 1( 2 1 1 + tet = 12 ) 1( 2 1 +et 从而).1)(1 ( 2 1 )( 1 ttetS+= 当t（0，1）时，)(t S 0, 当t（1,+）时,)(t S 0, 所以 S(t)的最大值为 S(1)= (21) (满分 12 分) 解: ()由条件得直线 AP 的方程),1( =xky 即. 0=kykx 因为点 M 到直线 AP 的距离为 1, , 1 1 2 = + k k
19、mk 即 2 2 1 1 1 1 kk k m+= + =. ,3, 3 3 k , 21 3 32 m 解得 3 32 +1m3 或-1m1- 3 32 . m 的取值范围是.3 , 3 32 1 3 32 1 , 1+ ()可设双曲线方程为),0( 1 2 2 2 =b b y x 由),0 , 1 (),0 , 12(AM+ 得2=AM. 又因为 M 是APQ 的内心,M 到 AP的距离为1,所以MAP=45,直线 AM 是PAQ 的角平分线,且 M 到 AQ、PQ 的距离均为 1 奎屯 王新敞 新疆因此， 1, 1= AQAP kk（不妨设 P 在第一象限） 直线 PQ 方程为22+=
20、x 奎屯 王新敞 新疆 直线 AP 的方程 y=x-1, 解得 P 的坐标是（2+2，1+2） ，将 P 点坐标代入1 2 2 2 = b y x得， 32 12 2 + + =b 所以所求双曲线方程为, 1 12 )32( 22 = + + yx 即. 1) 122( 22 =yx （22） （满分 14 分） 解：()因为 4 3 , 2 1 , 1 53421 =yyyyy， 所以2 321 =aaa，又由题意可知 2 1 3 + + = nn n yy y 3211 2 1 + += nnnn yyya = 22 1 1 21 + + + + nn nn yy yy =, 2 1 21nnnn ayyy=+ + n a为常数列 奎屯 王新敞 新疆 ., 2 1 =Nnaan ()将等式2 2 1 21 =+ +nnn yyy两边除以 2，得 , 1 24 1 21 = + + +nn n yy y 又 2 21 4 + + + = nn n yy y . 4 1 4 n n y y= + （）) 4 1 () 4 1 ( 444 44341 nn nnn yy yyb= + + =)( 4 1 444nn yy + =, 4 1 n b 又, 0 4 1 431 =yyb n b是公比为 4 1 的等比数列 奎屯 王新敞 新疆
