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1、 2005 年高考数学年高考数学辽宁辽宁卷卷试题及答案试题及答案奎屯王新敞新疆本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 第卷（选择题，共 60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 2 4 RS= 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A B)=P(A) P(B) 其中 R 表示球的半径如果事件 A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 3 3 4 RV= 球次的概率 knkk nn PPCkP =)1 ()( 其中 R 表

2、示球的半径一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1复数. 1 1 1 + + = i i z在复平面内，z 所对应的点在（） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2极限)(lim 0 xf xx 存在是函数)(xf在点 0 xx =处连续的（） A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 3设袋中有 80 个红球，20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为（） A 10 100 6 10 4 80 C CC B 10 100

3、 4 10 6 80 C CC C 10 100 6 20 4 80 C CC D 10 100 4 20 6 80 C CC 4已知 m、n 是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若/,则mm；若/,则；若/,/,则nmnm；若 m、n 是异面直线，/,/,/,则nnmm 其中真命题是（） A和 B和 C和 D和 5函数1ln( 2 +=xxy的反函数是（） A 2 xx ee y + = B 2 xx ee y + = C 2 xx ee y = D 2 xx ee y = 6若0 1 1 log 2 2 + + a a a ，则a的取值范围是（）

4、 A), 2 1 (+ B), 1 ( + C) 1 , 2 1 ( D) 2 1 , 0( 7 在 R 上定义运算).1 (:yxyx=若不等式1)()(+axax对任意实数x成立，则（） A11a B20 a C 2 3 2 1 a D 2 1 2 3 a 8若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m，则 m 的范围是（） A （1，2） B （2，+） C3，+) D （3，+） 9 若直线02=+cyx按向量) 1, 1 ( =a平移后与圆5 22 =+ yx相切，则 c 的值为（） A8 或2 B6 或4 C4 或6 D2 或8 10已知)(x

5、fy =是定义在 R 上的单调函数，实数 21 xx ，, 1 , 1 21 + + = xx a + + = 1 12 xx ，若| )()(| )()(| 21 ffxfxf，则（） A0 B0= C10 D1 11 已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线xy4 2 =的准线重合，则该双曲线与抛物线xy4 2 =的交点到原点的距离是（） A23+6 B21 C21218+ D21 12 一给定函数)(xfy =的图象在下列图中，并且对任意) 1 , 0( 1 a，由关系式)( 1nn afa= + 得到的数列 n a满足)( * 1 Nnaa nn + ，

6、则该函数的图象是（） 1 1 o y x 1 1 o y x 1 1 o y x1 1 o y x A B C D 第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 13 n xx)2( 2 1 2 1 的展开式中常数项是 . 14如图，正方体的棱长为 1，C、D 分别是两条棱的中点，A、B、M 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 . 15用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有个.（用数字作答） 16是正实

7、数，设)(cos)(| +=xxfS是奇函数，若对每个实数a，) 1,(+aaS的元素不超过 2 个，且有a使) 1,(+aaS含 2 个元素，则的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分）已知三棱锥 PABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点, ABC，PEF 都是正三角形，PFAB. （）证明 PC平面 PAB；（）求二面角 PABC 的平面角的余弦值；（）若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12的球面上，求ABC 的边长. 18 （本小题满分 12 分）如图，在直径为 1

8、的圆 O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中. 0 xy （）将十字形的面积表示为的函数；（）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ M D C B A E A B C P F y y x x O 19 （本小题满分 12 分）已知函数).1( 1 3 )( + + =x x x xf设数列 n a满足)(, 1 11nn afaa= + ，数列 n b满足).(|,3| * 21 NnbbbSab nnnn += （）用数学归纳法证明 1 2 ) 13( n n n b；（）证明. 3 32 n S 20 （本小题满分 12 分）某工厂生产甲、乙两种产品，每

9、种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为 A 级时，产品为一等品，其余均为二等品. （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P甲、P乙；（）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求、的分布列及 E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用资. 金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下

10、，x、y 为何值时，yExEz+=最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）工序产品第一工序第二工序甲 0.8 0.85 乙 0.75 0.8 概率等级产品一等二等甲 5（万元） 2.5（万元）乙 2.5（万元） 1.5（万元）利润项目产品工人（名）资金（万元）甲 8 8 乙 2 10 用量 21 （本小题满分 14 分）已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 =+ba b y a x 的左、右焦点分别是 F1（c，0）、F2（c，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2| 1 aQF=点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上

11、，并且满足. 0| , 0 22 =TFTFPT （）设x为点 P 的横坐标，证明x a c aPF+= | 1 ；（）求点 T 的轨迹 C 的方程；（）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F1MF2的面积 S=. 2 b若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. 22 （本小题满分 12 分）函数)(xfy =在区间（0，+）内可导，导函数)(x f 是减函数，且. 0)( x f 设 mkxyx+=+), 0( 0 是曲线)(xfy =在点（)(, 00 xfx）得的切线方程，并设函数 .)(mkxxg+= （）用 0 x、)( 0 xf、)( 0 x

12、f 表示 m；（）证明：当)()(,), 0( 0 xfxgx+时；（）若关于x的不等式), 0 2 3 1 3 2 2 +在xbaxx上恒成立，其中 a、b 为实数，求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系. T Q P F2 F1 o y x 2005 年高考数学年高考数学辽宁辽宁卷卷试题及答案试题及答案参考答案参考答案说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则奎屯王新敞新疆二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解

13、答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分奎屯王新敞新疆三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数奎屯王新敞新疆四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分奎屯王新敞新疆一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分. 1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算奎屯王新敞新疆每小题 4 分，满分 16 分奎屯王新敞新

14、疆 13160 14 3 2 15576 162 ,( 奎屯王新敞新疆解： |( )cos ()Sf xx =+是奇函数 213113 |, 22222 k SkZ + = 对每个实数a，) 1,(+aaS的元素不超过 2 个，且有a使) 1,(+aaS含 2 个元素，也就是说S中任意相邻的两个元素之间隔必小于 1，并且S中任意相邻的三个元素的两间隔之和必大于等于 1 22 1212 22 且奎屯王新敞新疆三、解答题 17本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分 12 分. （）证明：连结

15、CF. ., 2 1 2 1 PCAPACBCEFPE= .,PCFABABPFABCF平面 ,PABPCABPCPCFPC平面平面4分（）解法一：,CFABPFAB O E A B C P D F PFC为所求二面角的平面角. 设 AB=a，则 AB=a，则aCF a EFPF 2 3 , 2 = . 3 3 2 3 2 cos= a a PFC8 分解法二：设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. PAFPABPAE,.PAC 得 PA=PB=PC. 于是 O 是ABC 的中心. PFO为所求二面角的平面角. 设 AB=a，则. 2 3 3 1 , 2 aOF a PF= . 3 3

16、cos= PF OF PFO8 分（）解法一：设 PA=x，球半径为 R. ,PBPAPABPC平面 124.23 2 =RRx，ABCxR=. 2. 3得的边长为22.12 分解法二：延长 PO 交球面于 D，那么 PD 是球的直径. 连结 OA、AD，可知PAD 为直角三角形. 设 AB=x，球半径为 R. , 2 3 3 2 , 6 6 tan. 32,124 2 xOAxPFOOFPOPDR= 22. 22). 6 6 32( 6 6 ) 3 3 ( 2 的边长为于是ABCxxxx=.12 分 18本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函

17、数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分 12 分. （）解：设 S 为十字形的面积，则 2 2xxyS= ). 24 (coscossin2 2 =4 分（）解法一： , 2 1 )2sin( 2 5 2 1 2cos 2 1 2sincoscossin2 2 =S 其中 . 5 52 arccos= 8 分当 S, 2 2, 1)2sin(时即 = 最大.10 分所以，当S, 5 52 arccos 2 1 4 时+= 最大. S 的最大值为. 2 15 12 分解法二：因为,coscossin2 2 =S 所以cossin2sin2cos2 22 +=

18、S .2sin2cos2+=8 分令 S=0，即, 02sin2cos2=+ 可解得)2arctan( 2 1 2 += 10 分所以，当)2arctan( 2 1 2 += 时，S 最大，S 的最大值为. 2 15 12 分 19本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分 12 分奎屯王新敞新疆（）证明：当. 1 1 2 1)(,0 + += x xfx时因为 a1=1，所以*).( 1Nnan 2 分下面用数学归纳法证明不等式. 2 ) 13( 1 n n n b （1）当 n=1 时，b1=13 ，不等式成立，（2）假

19、设当 n=k 时，不等式成立，即. 2 ) 13( 1 k k k b 那么 k k kk a a ab + = + 1 |3| ) 13( |3| 11 6 分 1 3 1( 3 1) . 22 k k k b + 所以，当 n=k+1 时，不等也成立奎屯王新敞新疆根据（1）和（2），可知不等式对任意 nN*都成立奎屯王新敞新疆 8 分（）证明：由（）知， . 2 ) 13( 1 n n n b 所以 1 2 21 2 ) 13( 2 ) 13( ) 13( + += n n nn bbbS 2 13 1 ) 2 13 (1 ) 13( = n 10 分 . 3 3 2 2

20、 13 1 1 ) 13(= 故对任意. 3 3 2 , n SNn（12 分） 20 （本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分 12 分. （）解：. 6 . 08 . 075. 0,68. 085. 08 . 0= 乙甲 PP2 分（）解：随机变量、的分别列是 5 2.5 P 0.68 0.32 , 2 . 432. 05 . 268. 05=+=E . 1 . 24 . 05 . 16 . 05 . 2=+=E6 分（）解：由题设知 + + . 0 , 0 ,4028 ,60

21、105 y x yx yx 目标函数为 .1 . 22 . 4yxyExEz+=+=8 分作出可行域（如图）：作直线: l , 01 . 22 . 4=+yx 将 l 向右上方平移至 l1位置时，直线经过可行域上的点 M 点与原点距离最大，此时yxz1 . 22 . 4+= 10 分取最大值. 解方程组 =+ =+ .4028 ,60105 yx yx 得. 4, 4=yx即4, 4=yx时，z 取最大值，z 的最大值为 25.2 .12 分 21本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分.

22、（）证法一：设点 P 的坐标为).,(yx 由 P),(yx在椭圆上，得 .)( )()(| 2 2 2 2 2222 1 x a c a x a b bcxycxPF += +=+= 由0,+acx a c aax知，所以 .| 1 x a c aPF+=3 分证法二：设点 P 的坐标为).,(yx记,| ,| 2211 rPFrPF= 则.)(,)( 22 2 22 1 ycxrycxr+=+= 由.|,4,2 11 2 2 2 121 x a c arPFcxrrarr+=+得 2.5 1.5 P 0.6 0.4 M(4,4) 5x+10y=60 8x+2y=40 5 6 o y x

25、是. 222 ayx=+7 分（）解法一：C 上存在点 M（ 00, y x）使 S= 2 b的充要条件是 = =+ .|2 2 1 , 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由得ay | 0 ，由得.| 2 0 c b y 所以，当 c b a 2 时，存在点 M，使 S= 2 b；当 c b a 2 时，不存在满足条件的点 M.11 分当 c b a 2 时，),(),( 002001 yxcMFyxcMF=，由 2222 0 22 021 bcaycxMFMF=+=， 212121 cos|MFFMFMFMFMF=， 2 2121 sin| 2 1 bMFFMFMFS=，得.

26、 2tan 21 = MFF 解法二：C 上存在点 M（ 00, y x）使 S= 2 b的充要条件是 = =+ .|2 2 1 , 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由得.| 2 0 c b y 上式代入得 . 0)( 22 2 4 22 0 += c b a c b a c b ax 于是，当 c b a 2 时，存在点 M，使 S= 2 b；当 c b a 2 时，不存在满足条件的点 M.11 分当 c b a 2 时，记 cx y kk cx y kk MFMF = + = 0 0 2 0 0 1 21 , ，由,2| 21 aFF知90 21MF F，所以 . 2| 1

27、 |tan 21 21 21 = + = kk kk MFF 14 分 22本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分 12 分（）解：).()( 000 xfxxfm=2 分（）证明：令. 0)(),()()(),()()( 00 =xhxfxfxhxfxgxh则因为)(x f 递减，所以)(x h 递增，因此，当0)(, 0 xhxx时；当0)(, 0 xhxx时.所以 0 x是)(xh唯一的极值点，且是极小值点，可知)(xh的最小值为 0，因此

28、, 0)(xh即).()(xfxg6 分（）解法一：10 b，0a是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1 (,1 22 +baxxbaxx即对任意), 0 +x成立的充要条件是 .)1 (2 2 1 ba 另一方面，由于 3 2 2 3 )(xxf= 满足前述题设中关于函数)(xfy =的条件，利用（II）的结果可知， 3 2 2 3 xbax=+ 的充要条件是：过点（0，b）与曲线3 2 2 3 xy = 相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为 .)2( 2 1 bxby+= 于是3 2 2 3 xbax+ 的充要条件是.)2( 2 1 ba 10 分综上，不等

29、式 3 2 2 2 3 1xbaxx+对任意), 0 +x成立的充要条件是 .)1 (2)2( 2 1 2 1 bab 显然，存在 a、b 使式成立的充要条件是：不等式.)1 (2)2( 2 1 2 1 bb 有解、解不等式得 . 4 22 4 22+ b 因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.12 分（）解法二：0, 10ab是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1 (,1 22 +baxxbaxx即对任意), 0 +x成立的充要条件是 .)1 (2 2 1 ba8 分令 3 2 2 3 )(xbaxx+=，于是 3 2 2 3 xbax+

30、对任意), 0 +x成立的充要条件是 . 0)(x 由.0)( 3 3 1 =axxax得当 3 0 ax时; 0)( x 当 3 ax时，0)( x ，所以，当 3 = ax时，)(x取最小值.因此0)(x成立的充要条件是0)( 3 a，即.)2( 2 1 ba10 分综上，不等式 3 2 2 2 3 1xbaxx+ 对任意), 0 +x成立的充要条件是 .)1 (2)2( 2 1 2 1 bab 显然，存在 a、b 使式成立的充要条件是：不等式 2 1 2 1 )1 (2)2(bb 有解、解不等式得 . 4 22 4 22+ b 因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.12 分

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