1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数数 学学 参参考考公公式式： 若事件,A B互斥，则 ()( )( )P ABP AP B 若事件,A B相互独立， 则()( ) ( )P ABP A P B 若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 ( )(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kC ppkn 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SSh 其中 12 ,S S分别表示台体的上、 下底面积，h表 示台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的 高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示
2、锥体的底面积，h表示锥体的 高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选选择择题题部部分分（共共 4 40 0 分分） 一一、选选择择题题：本本大大题题共共 1 10 0 小小题题，每每小小题题 4 4 分分，共共 4 40 0 分分, ,在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项 中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的. . 1.已知全集1,0,1,2,3U ，集合0,1,2A， 1 0 1B , ,，则 UA B （） A.1B.0,1 C. 1,2,3 D.1,0,1,3 【答案】A 【解析】 【分析】 本题借根据交集、补集的定
3、义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】= 1,3 U C A，则 1 U C AB 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2.渐近线方程为0xy的双曲线的离心率是（） A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 本题根据双曲线的渐近线方程可求得1ab，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基 础知识、基本计算能力的考查. 【详解】因为双曲线的渐近线为0xy，所以= =1a b，则 22 2cab ，双曲线的 离心率2 c e a . 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 3.若实数 ,
4、x y满足约束条件 340 340 0 xy xy xy ，则32zxy的最大值是（） A.1B. 1 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题， 注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为 顶点的三角形区域（包含边界） ，由图易得当目标函数=3 +2zxy经过平面区域的点(2,2)时， =3 +2zxy取最大值 max 3 22 210z . 【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于
5、作图欠准确而影响答案 的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理， 利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh 柱体 ，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高，若某 柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（） A. 158B. 162 C. 182 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常 规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，
6、其中一个 上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为 2646 336162 22 . 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多 观察、细心算. 5.若0,0ab，则“4ab”是 “4ab ”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取, a b的 值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能 力的考查. 【
7、详解】当0, 0ab时， 2abab ，则当4ab时，有2 4abab ，解得 4ab ，充分性成立；当=1, =4ab时，满足4ab ，但此时=54a+b，必要性不成立， 综上所述，“4ab”是“4ab ”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用 “赋值法”，通过特取, a b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 6.在同一直角坐标系中，函数 11 ,log(0 2 a x yyxa a 且0)a 的图象可能是（） A.B. C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题通过讨论a的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数
8、的图象和，结合选项，判 断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a时，函数 x ya过定点(0,1)且单调递减，则函数 1 x y a 过定点(0,1)且 单调递增，函数 1 log 2 a yx 过定点 1 ( ,0) 2 且单调递减，D 选项符合；当1a 时，函数 x ya过 定 点(0,1)且 单 调 递 增 ， 则 函 数 1 x y a 过 定 点(0,1)且 单 调 递 减 ， 函 数 1 log 2 a yx 过定点 1 ( ,0 2 ）且单调递增，各选项均不符合.综上，选 D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和
9、性质掌握不熟，导致判断失误； 二是不能通过讨论a的不同取值范围，认识函数的单调性. 7.设01a，则随机变量X的分布列是： 则当a在0,1内增大时（） A.D X增大B.D X减小 C.D X先增大后减小D.D X先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a变化的增大或减小规律， 常用方法就是将方差用参数a表示， 应用函数知识求解. 本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目 有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法 1：由分布列得 1 () 3 a E X ，则 2222 111111211 ()01 33
10、3333926 aaa D Xaa ，则当a在 (0,1)内增大时，()D X先减小后增大. 方法 2：则 2 222 2 1(1)222213 ()()0 3399924 aaaa D XE XE Xa 故选 D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手； 二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式. 8.设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点） ，记直 线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平 面角为，则（） A., B., C., D., 【答案】B 【解析】 【分析】 本题以三
11、棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念， 以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大 小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法 1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为O，则P在底面投影D在线 段AO上，过D作DE垂直AE，易得/ /PEVG，过P作/PFAC交VG于F，过D作 / /DHAC，交BG于H，则,BPFPBDPED ，则 coscos PFEGDHBD PBPBPBPB ，即，tantan PDPD EDBD ，即y ， 综上所述，答案为 B. 方法 2：由最小角定理，记VABC的平面角为（显
12、然 ） 由最大角定理 ，故选 B. 法 2： （特殊位置）取VABC为正四面体，P为VA中点，易得 33322 2 cossin,sin,sin 6633 ，故选 B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置 法”，寻求简便解法. 9.已知, a bR，函数 32 ,0 ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x ，若函数( )yf xaxb恰有 三个零点，则（） A.1,0ab B.1,0ab C.1,0ab D.1,0ab 【答案】D 【解析】 【分析】 本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结
13、合思想 的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为 ( )yf x 与yaxb，有三个交点. 当BC AP 时， 2 ( )(1)()(1)fxxaxaxa x，且(0)0,(0)ffa，则 （1）当1a 时，如图 ( )yf x 与yaxb不可能有三个交点（实际上有一个） ，排除 A， B （2）当1a 时，分三种情况，如图 ( )yf x 与yaxb若有三个交点，则0b ，答案选 D 下面证明：1a 时， BCAP 时 32 11 ( )( )(1) 32 F xf xaxbxaxb， 2 ( )(1)(1)F xxaxx xa ，则(0)0
14、 , ( +1)F a，才能保证至少有两个零点， 即 3 1 0(1) 6 ba ，若另一零点在0 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及, a b两个参数，故按“一元化” 想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底 10.设, a bR，数列 n a中， 2 1 , nnn aa aab ，b N ,则（） A. 当 10 1 ,10 2 baB. 当 10 1 ,10 4 ba C. 当 10 2,10ba D. 当 10 4,10ba 【答案】A 【解析】 【分析】 本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确 定不动点
15、出发，通过研究选项得解. 【详解】 选项 B： 不动点满足 2 2 11 0 42 xxx 时， 如图， 若 1 11 0, 22 n aaa ， 排除 如图，若a为不动点 1 2 则 1 2 n a 选项 C： 不动点满足 2 2 19 20 24 xxx ， 不动点为 ax1 2 ， 令2a ， 则210 n a ， 排除 选项 D： 不动点满足 2 2 117 40 24 xxx ， 不动点为 171 22 x ， 令 171 22 a ， 则 171 10 22 n a ，排除. 选项 A：证明：当 1 2 b 时， 222 213243 1113117 ,1 2224216 aaaa
16、aa， 处理一：可依次迭代到 10 a； 处理二：当4n时， 22 1 1 1 2 nnn aaa ，则 1 17117171 161616 log2loglog2 n nnn aaa 则 1 2 1 17 (4) 16 n n an ，则 6 264 10 2 1716464 631 1114710 161616216 a . 故选 A 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点， 进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解. 非非选选择择题题部部分分（共共 1 11 10 0 分分） 二二、填填空空题题：本本大大题题共共 7 7 小小题题，多多空空题题
17、每每题题 6 6 分分，单单空空题题每每题题 4 4 分分，共共 3 36 6 分分 11.复数 1 1 z i （i为虚数单位） ，则| z _. 【答案】 2 2 【解析】 【分析】 本题先计算z，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力 的考查. 【详解】 112 | |1|22 z i . 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题. 12.已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230xy与圆相切于点 ( 2, 1)A ，则m _，r _. 【答案】(1).2m (2). 5r 【解析】 【分析】 本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首
18、先通过确定直线AC的斜率，进一步得到其 方程，将(0,)m代入后求得m，计算得解. 【 详 解 】 可 知 11 :1(2) 22 AC kAC yx ， 把(0,)m代 入 得2m ， 此 时 |4 15rAC. 【点睛】 ：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆 的几何性质. 13.在二项式 9 ( 2)x的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_. 【答案】(1).16 2(2).5 【解析】 【分析】 本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项 展开式的通项入手，根据要求，考察x的幂指数，使问题得解. 【
19、详解】 9 ( 2)x的通项为 9 19( 2) (0,1,29) rrr r TCx r 可得常数项为 09 19( 2) 16 2TC， 因系数为有理数，1,3,5,7,9r=，有 246810 T , T , T , T , T共 5 个项 【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记 混，其次，计算要细心，确保结果正确. 14.在VABC中，90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上，若45BDC， 则BD _；cosABD_. 【答案】(1). 12 2 5 (2). 7 2 10 【解析】 【分析】 本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三
20、角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通 过引入CDx，在BDC、ABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解 【详解】在ABD中，正弦定理有： sinsin ABBD ADBBAC ，而 3 4, 4 ABADB , 22 ACABBC5 ， 34 sin,cos 55 BCAB BACBAC ACAC ，所以 12 2 5 BD . 7 2 coscos()coscossinsin 4410 ABDBDCBACBACBAC 【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 15.已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在 以原点O为圆心，O
21、F为半径的圆上，则直线PF的斜率是_. 【答案】 15 【解析】 【分析】 结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆 方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法 1：由题意可知|=|2OFOM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM，设( , )P x y可得 22 (2)16xy， 联立方程 22 1 95 xy 可解得 321 , 22 xx （舍） ，点P在椭圆上且在x轴的上方， 求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k 方法 2：焦半径公式应用 解析 1：由题意可知|2O
22、F |=|OM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM，即 3 4 2 pp aexx 求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形 结合思想，是解答解析几何问题的重要途径. 16.已知aR，函数 3 ( )f xaxx，若存在tR，使得 2 |(2)( )| 3 f tf t，则实数a的 最大值是_. 【答案】 max 4 3 a 【解析】 【分析】 本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究 2 (2)( )23642f tf tat
23、t入手，令 2 3641,)mtt，从而使问题加以转 化，通过绘制函数图象，观察得解. 【详解】使得 222 (2)( )2 (2)(2)223642f tf tatt ttatt， 使得令 2 3641,)mtt，则原不等式转化为存在 1 1,|1| 3 mam，由折线函数， 如图 只需 1 1 3 a ，即 4 3 a ，即a的最大值是 4 3 【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 17.已知正方形ABCD的边长为 1，当每个(1,2,3,4,5,6) i i取遍时， 123456 |ABBCCDDAACBD 的最小值是_；最大值是_. 【答案】(1). 0
24、(2).2 5 【解析】 【分析】 本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式， 利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】 12345613562456 ABBCCDDAACBDABAD 要使 123456 ABBCCDDAACBD 的最小，只需要 13556246 0 ，此时只需要取 123456 1,1,1,1,1,1 此时 123456 min 0ABBCCDDAACBD 等号成立当且仅当 1356 , 均非负或者均非正，并且 2456 , 均非负或者均非 正。 比如 123456 1,1,1,1,11 则 123456 max 202 5ABB
25、CCDDAACBD . 点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一 道向量和不等式的综合题。 【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 三三、解解答答题题：本本大大题题共共 5 5 小小题题，共共 7 74 4 分分，解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算 步步骤骤. . 18.设函数( )sin ,f xx xR. （1）已知0,2 ),函数()f x是偶函数，求的值； （2）求函数 22 () () 124 yf xf x 的值域. 【答案】 （1） 3 , 2 2 ； （2） 33 1,1
26、22 . 【解析】 【分析】 (1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值； (2)首先整理函数的解析式为sinyaxb的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：sinf xx， 函数为偶函数，则当0x 时， 2 xkkZ ，即 2 kkZ ，结合 0,2可取0,1k ，相应的值为 3 , 2 2 . (2)由函数的解析式可得： 22 sinsin 124 yxx 1 cos 21 cos 2 62 22 xx 1 1cos 2cos 2 226 xx 131 1cos2sin2sin2 222 xxx 133 1cos2sin2 222 xx 3 1sin
27、2 26 x . 据此可得函数的值域为： 33 1,1 22 . 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式 的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.如图，已知三棱柱 111 ABCABC，平面 11 A ACC 平面ABC,90ABC， 11 30 , ,BACA AACAC E F分别是 11 ,AC AB的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线EF与平面 1 ABC所成角的余弦值. . 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 5 . 【解析】 【分析】 (1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂
28、直； (2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦 值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】(1)如图所示，连结 11 ,AE B E， 等边 1 AAC中，AEEC，则 3 sin0sin 2 BA， ， 平面 ABC平面 11 A ACC，且平面 ABC平面 11 A ACCAC， 由面面垂直的性质定理可得： 1 AE 平面ABC，故 1 AEBC， 由三棱柱的性质可知 11 ABAB，而ABBC，故 11 ABBC，且 1111 ABAEA， 由线面垂直的判定定理可得：BC 平面 11 AB E， 结合EF平面 11 AB E，故EF
29、BC. (2)在底面 ABC 内作 EHAC，以点 E 为坐标原点，EH,EC, 1 EA方向分别为 x,y,z 轴正方向建立 空间直角坐标系Exyz. 设1EH ，则 3AEEC ， 11 2 3AACA,3,3BCAB， 据此可得： 1 33 0,3,0 ,0 ,0,0,3 ,0, 3,0 22 ABAC ， 由 11 ABAB 可得点 1 B的坐标为 1 3 3 ,3,3 2 2 B ， 利用中点坐标公式可得： 3 3 ,3,3 4 4 F ，由于 0,0,0E ， 故直线 EF 的方向向量为： 3 3 ,3,3 4 4 EF 设平面 1 ABC的法向量为 , ,mx y z ，则： 1
30、 3333 , , 330 2222 3333 , ,00 2222 m ABx y zxyz m BCx y zxy ， 据此可得平面 1 ABC的一个法向量为 1, 3,1m ， 3 3 ,3,3 4 4 EF 此时 64 cos, 53 5 5 2 EF m EF m EFm ， 设直线 EF 与平面 1 ABC所成角为，则 43 sincos,cos 55 EF m . 【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空 间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平 面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的
31、计算问题，往往可以利用空间 向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 20.设等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 4a ， 43 aS，数列 n b满足：对每 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N成等比数列. （1）求数列, nn ab的通项公式； （2）记, 2 n n n a Cn b N证明： 12+ 2,. n CCCn n N 【答案】 （1）21 n an，1 n bn n； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求得数列 n a的首项和公差确定数列 n a的通项公式，然后结合三项成等比数列的充 分必要条件整理计算即可确定数列 n b的通
32、项公式； (2)结合(1)的结果对数列 n c的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法 即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由题意可得： 1 11 24 3 2 33 2 ad adad ，解得： 1 0 2 a d ， 则数列 n a的通项公式为. 其前 n 项和 022 1 2 n nn Sn n . 则1,1,12 nnn n nb n nbnnb成等比数列，即： 2 1112 nnn n nbn nbnnb ， 据此有： 2 222 121112121 nnnnn nnn nbbn nnnnnbn nbb， 故 22 1 12121 (1)(1)(1)(2) n n
33、nn nn bn n nnn n n nn . (2)结合(1)中的通项公式可得： 1122 21 211 n n n an Cnn bn nnnnnn ， 则 12 210221212 n CCCnnn. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解， ，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式 的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21.如图，已知点(10)F ，为抛物线 2 2(0)ypx p，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于 ,A B两点，点C在抛物线上，使得VABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q 在点F右侧.记,AFGCQG的面积为 12 ,S S. （1）
34、求p的值及抛物线的标准方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G的坐标. 【答案】 （1）1，1x ； （2） 3 1 2 ，2,0G. 【解析】 【分析】 (1)由焦点坐标确定 p 的值和准线方程即可； (2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合 均值不等式的结论即可求得 1 2 S S 的最小值和点 G 的坐标. 【详解】 (1)由题意可得1 2 p ， 则2,24pp， 抛物线方程为 2 4yx， 准线方程为1x . (2)设 1122 ,A x yB xy， 设直线 AB 的方程为1 ,0yk xk，与抛物线方程 2 4yx联立可得：
35、 2222 240k xkxk，故： 2222 2 4 2,1 k xxx x， 12121212 4 2,444yyk xxy yxx k ， 设点 C 的坐标为 33 ,C xy，由重心坐标公式可得： 123 3 G xxx x 3 2 14 2 3 x k ， 123 3 G yyy y 3 1 4 3 y k ， 令0 G y 可得： 3 4 y k ，则 2 3 3 2 4 4 y x k .即 222 1441 2 33 8 2 G k x kk ， 由斜率公式可得： 1313 22 311313 4 44 AC yyyy k yyxxyy ， 直线 AC 的方程为： 33 13
36、4 yyxx yy ， 令0y 可得： 2 313313 313 3 4444 Q yyyyyyyy y xx ， 故 11 1 1 22 181 21 323 118 223 GF y Sxxyy kk ， 且 3 2 2 13 3 118 224 2 3 QG yy y Sxxy k ， 由于 3 4 y k ，代入上式可得： 1 2 2 228 33 y S kkk ， 由 1212 4 ,4yyy y k 可得 1 1 44 y yk ，则 1 2 1 4 4 y k y ， 则 22 11 1 22 1 2 11 1 2 2 81 233 22 228 44 33 yy S yS y
37、y kkk y k 2 1 2 1 4 2 48 816 8 y y 2 1 2 1 43 21 248 2816 8 y y . 当且仅当 2 1 2 1 48 8 8 y y ，即 2 1 84 3y ， 1 62y 时等号成立. 此时 1 2 1 4 2 4 y k y ， 2 81 22 3 G x k ，则点 G 的坐标为2,0G. 【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与 系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重 心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22.
38、已知实数0a ，设函数( )= ln1,0.f xaxxx （1）当 3 4 a 时，求函数 ( )f x的单调区间； （2）对任意 2 1 ,) e x均有 ( ), 2 x f x a 求a的取值范围. 注：e2.71828.为自然对数的底数. 【答案】 （1） fx的单调递增区间是3,单调递减区间是0,3； （2） 2 0 4 a . 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可. (2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即 可. 【详解】(1)当 3 4 a 时， 3 ln1 4 f xxx
39、，函数的定义域为0,，且： 34331312 42141 41 312 xxxx fx xxx x x xxx ， 因此函数 fx的单调递增区间是3,单调递减区间是0,3. (2)构造函数 ln1 2 x axg a xx ， 注意到： 22 111 210 2 ga eaee ， 注意到0a 时 2 111 221 2 a aeee 恒成立，满足 22 111 210 2 ga eaee ； 当0a 时， 22 111 210 2 ga eaee ，不合题意， 且 1 120 2 g a ，解得： 2 4 a ，故 2 0 4 a . 下面证明 2 0 4 a 刚好是满足题意的实数 a 的取
40、值范围. 分类讨论： (a)当1x 时， 2 ln1ln12 24 x axxxxx a g x ， 令 2 ln12 4 xxxx ，则： 111 2 22 12 x xxx 122(1) 2 21 xxxx xx 2 2 21231 2 21( 122(1) xxxx xxxxxx 32 2 14851 2 21122(1)2 21231 xxxx xxxxxxxxxx ， 易知 0x，则函数 x单调递减， 10g xx，满足题意. (b)当 2 1 1x e 时， 0g x 等价于 2 1 ln10 2 axxax ， 左侧是关于 a 的开口向下的二次函数 a, 其判别式 1 12ln4lnxxxxxxx x ， 令t x ，注意到当 1 t e 时, 2 2 141 4ln0 tt tt tt ， 于是 x在 2 1 ,1x e 上单调递增,而 15 2ln20 44 ， 于是当 2 1 1 , 4 x e 时命题成立, 而当 1 ,1 4 x 时,此时 a的对称轴为 1 2ln x a x 随着x递增, 于是对称轴在 5 8ln2 a 的右侧,而 52 8ln24 成立，
