1、一、解决实际问题的两大步骤一、解决实际问题的两大步骤二、常见的数学模型二、常见的数学模型三三、不等式不等式的实际应用的实际应用1.按模型分2.按条件分实际问题实际问题数学问题数学问题建模建模还原还原164 164 不等式的实际应用不等式的实际应用1.线性规划2.其他不等式不等式概述不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求 最 值不等式的性质不等式的性质(一一)作用作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二二)性质：性质：3.重要的不等式多多益善十四条 文字背诵是关键1.1.基本性质基本性质大小的定义大小的定义对称性对称性传递性传递性对一个不等式的运算对一个不等式的运算(变形变形)加(减)
2、:如果ab，那么a+cb+c乘(除)：如果ab,且c0,那么acbc如果ab,且c0,那么acbc方：2.2.运算性质运算性质正值可方奇无限对多个不等式的运算对多个不等式的运算(变形变形)同号可倒：乘：注1.若2个不等式需进行减减(除除)运算，一般是转换成加加(乘乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性 加：同向可正值同向可3.3.重要的重要的(经典)不等式不等式11均值不等式：cba11133abc当且仅当当且仅当a=b=c时，时，“=”成立成立33333cba3cba当且仅当当且仅当=时等号成立时等号成立2 2+2 22 2 当且仅当=时等号成立若,R+,则211+2+22+
3、213柯西不等式 i：一般式 ii：向量式|baba12三角形(绝对值)不等式|-|-|+|+|,2121取时或当且仅当nnbbbaaa14排序不等式反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和解不等式概述解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式整式不等式分式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式指数不等式对数不等式对数不等式三角不等式三角不等式线性规划四成立解不等式概述解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根2.解法：形法数法函数图像线性规划“纯”不等式法函数(单调性)法标根法解一元标根法解一元n次不等式次不等式一正二方
4、三穿线 奇穿偶切右上方上大下小中为等 函数简图是本质解分式不等式解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1.1.图象图象(标根标根)法：法：2.2.公式公式(口诀口诀)法：法：口诀1：大于号要两头 小于号要中间解一元二次不等式解一元二次不等式口诀2：一正二方三大头 无根大全小为空数形结合“或”字型 书写格式整体观解不等式组解不等式组通法通法:“截”成不等式组解连不等式解连不等式特法特法:左右是常数时，可变形成高次不等式解绝对值不等式解绝对值不等式1.单绝对值号+右端常数型：2.单绝对值号+右端变量型：3.双绝对值号型：1.数法：解根式不等式解根式不等式2.形法：零点分段法函数图象法
5、 绝对值几何意义法大于号要中间,小于号要两头数法形法要灵活陷阱有三：正值可方Domain“=”的取舍形法数法巧构函数是关键上大下小中方程同底法取对数法其他法单调性法注：对数不等式要注意Domain解指对不等式解指对不等式解三角不等式解三角不等式（一）基础型背诵法1.若xsin02.若xcos03.若xtan0,则xxcosxsin4.若5.若xsinxtan,则x,则x,则x,则x数形结合周期性 上大下小中方程（二）其他型图象法（一）基础型基础型背诵法背诵法1.若xsin02.若xcos03.若xtan0,则xxcosxsin4.若5.若xsinxtan,则x,则x,则x,则xtanxsinx
6、x若x为锐角，则xcossinxcosxsin xcosxsin xtanxsin xtanxsin xtanxsin xtanxsin x线性规划简述线性规划简述点坐标线方程面不等式形形数数1.含义：简言之，图象法解二元不等式2.步骤：一面二线三找点 来先去后为最值解析几何的基础1.直线对坐标平面的划分0CByAx0AxByC和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面划分成两个区域0CByAx,将坐标平面划分成两个半平面直线其坐标必适合同一个不等式,位于同一半平面内的点（同侧同号，异侧异号）二元不等式与平面域二元不等式与平面域注：直线划分坐标面 先画直线定边线有等为实反为虚 特点验证确定面左小右大
7、 A要正 上大下小 B要正(二元一次不等式表示平面域)1.1.直线型：直线型：常见的几类目标函数常见的几类目标函数2.2.曲线型：曲线型：3.3.其他型：其他型：直线平移型：直线旋转型：直线旋移型：点线距离型：00 xxyyzbyaxzyxz|cbyaxz(a,b为常数,截距)(x0,y0为常数,斜率)(,为参量,截距)(a,b,c为常数,距离)圆伸缩型：2020)()(yyxxz(x0,y0为常数,半径)向量型：已知两正数,，若四个式子中有一个为常数，且与能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法 多元有优势小作抓“等”字 大作“正常等”注2：书写格式 三因一果注3：常见题型 明考暗考配
8、凑连用 嵌积重点11+2+2，2.综合法不等式常用的证明方法不等式常用的证明方法1.比较法3.分析法6.放缩法4.数学归纳法7.辅助函数法作差比较法作商比较法5.反证法形法形法数法数法1.函数图象2.线性规划3.其他图象A-B=A-B=x1 x2 x3 xnx21+x22+x2nO作差变形三判断 不是化简是变形变到显然与 O比 因式分解及配方作差比较法简介：作差比较法简介：若a,bR+，则1baba作商比较法简介：作商比较法简介：综合法：综合法：反证法：反证法：分析法：分析法：由因导果顺推法由因导果顺推法执果索因逆推法执果索因逆推法假设归谬三存真假设归谬三存真 正难则反及正难则反及显然显然至多
9、至少存在性至多至少存在性 肯定否定唯一性肯定否定唯一性已知可知1未知需知1已知未知需知2可知2辅助函数法辅助函数法:放缩法放缩法:欲证欲证A AB,B,若能若能证证A A,B B同时成立同时成立,则有则有A AB B构造辅助函数，利用其单调性或最值证明不等式构造辅助函数，利用其单调性或最值证明不等式最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法通法特法2.2.含参不等式恒成立：含参不等式恒成立：形法数法(2)(1)1.1.含参不等式含参不等式常成立：常成立：3.3.含参不等式含参不等式能成立：能成立：4.4.含参不等式含参不等式恰成立：恰成立：恒成立常成立一、一、描述方式繁多：描述方式繁多：二、二
10、、解法多样且灵活：解法多样且灵活：三、常成立是基础三、常成立是基础 恒成立是重点：恒成立是重点：含参不等式四种成立含参不等式四种成立分类讨论1.1.含参不等式常成立含参不等式常成立分类讨论：(1)(1)实质：实质：具体问题具体分析化复杂为简单，化陌生为熟练，化大为小；是根据研究对象的共同性和差异性，将其分为不同种类的思想方法；(2)(2)作用：作用：分类标准要统一；(3)(3)原则：原则：分类讨论时，要不重不漏；分类讨论要逐级进行，建议尽量书写序号能避免分类标准，尽量避免之先分后合，能合必合小作：小作：一般的，不等式解集的端点值是方程的根大作：大作：回归到含参不等式常常成立2.2.含参不等式恰
11、成立含参不等式恰成立最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法通法特法3.3.含参不等式恒成立：含参不等式恒成立：形法数法(2)(1)4.4.含参不等式能成立：含参不等式能成立：用最值法，求与含参不等式恒成立“相反”的最值即可一、解决实际问题的两大步骤一、解决实际问题的两大步骤二、常见的数学模型二、常见的数学模型三三、不等式不等式的实际应用的实际应用1.按模型分2.按条件分实际问题实际问题数学问题数学问题建模建模还原还原163 163 不等式的实际应用不等式的实际应用1.线性规划2.其他不等式二、常见的数学模型二、常见的数学模型1.按模型分2.按条件分一次二次三次对号分段绝对值幂函数型指数函数
12、型 对数型三角函数模型已知模型未知概率与统计概率与统计排列组合解三角形线性规划函数方程不等式不等式数列一、解决实际问题的两大步骤一、解决实际问题的两大步骤实际问题实际问题数学问题数学问题建模建模还原还原练习练习1.1.线性规划线性规划(1)课本P：91 练习2 某厂拟生产甲、乙两种适销产品每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A,B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h,加工1件乙所需工时分别为2h,1h.A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h.如何安排生产可使收入最大？解:设每月生产甲,乙产品分别为x和y件,每月收入为Z千元则
13、目标函数为Z3x2y，满足的条件是x x2y2y4004002x2xy y500500 x x0 0y y0 0XYO400200250500由图可知目标函数线经过点M(200，100)时，Z最大M(200,100)即 Zmax 3x2y800（千元）故生产甲产品200件,乙产品100件,收入最大,为80万元x x2y2y4004002x2xy y500500 x x0 0y y0 0Z3x2y练习练习2.2.其他不等式的实际应用其他不等式的实际应用(2)(2)课本课本P P：81 A81 A组组 Ex6Ex6 某文具店购进一批新型台灯若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提
14、高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？析：设每盏台灯售价x元，则15302(15)400 xxx即即 1515，2020）(3)(3)课本课本P P：81 B81 B组组 Ex4Ex4 据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起，多长时间之后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约多长法1：建立如图所示的坐标系，中心为(a,b),则2300a为),2300(b222450)2300(b,由题意得即150|b而7.
15、132015023001520300记风暴,即风暴中心答:从现在起13.7小时后，该码头将受到热带风暴中心的影响，影响15小时法2：如图，记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后,在ABC中,由余弦定理得整理得解得 热带风暴到达B点位置,OA=600,AB=20t22245022600202400600tt)(15215230215230h01575212042tt215230215230t)(7.13215230h而 ，答:从现在起13.7小时后，该码头将受到热带风暴中心的影响，影响15小时OAB=450B B A A (4)(4)课本课本P P：100 A100 A组组 Ex2Ex2 一段
16、长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？解：设菜园的长和宽分别为x，y,则 x+2y=30 菜园的面积为xyS)2(21yx212()22xy2225当且仅当即 时取等号x=2y且x+2y=30215,15yx18xy(0 x18,0y15)答：矩形的长、宽分别为 时菜园的面积最大，最大面积为mm215,1522225m(5)(5)课本课本P P：101 A101 A组组 Ex3Ex3 已知矩形的周长为36,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长，宽各为多少时旋转形成的圆柱侧面积最大?最大侧面积是多少？答：当矩形
17、的长与宽均为9时，圆柱的侧面积最大解：如图，设矩形的长与宽分别为x，y,圆柱的侧面积为S则2x+2y=36，即x+y=18当且仅当x=y且x+y=18，即x=y=9时取等号xyS2因222yx162xy(6)(6)课本课本P P：101 B101 B组组 Ex1Ex1 设矩形ABCD(ABCD)的周长为24，把ABC沿AC向ADC折叠，AB折叠后交DC于点P，设AB=x 求ADP的最大面积及相应x的值法1：设AB=x，PC=a，则AD=12-x，PD=x-a易得RTADPRTCBl P,在RTADP中,根据勾股定理得故AP=C P=a即222)()12(aaxx故axPD所以xx72186xx
18、x7212)12(21xx7212)21218(6272108当且仅当 即 时取等号xx72mx26xxxa72122PDADSADP21法2：设ADx，DPy，则AP27210822yx 所以又xyyxxyyx2,222故有12)22(xy2xySADP，即)223(72xy)223(36即 时取等号当且仅当 x=y 且1222yxyxmyx2612易得RTADPRTCBl P,故AP=C P1222yxyx(7)(7)课本课本P P：101 B101 B组组 Ex2Ex2 如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面c米的C处看此树，离此树多远看A、B的视角最大？A A C C
19、 B B E E 法1：如图，AE=a，BE=b，ADCD在RtBDC中,故设BCD=,ACB=,CDxxcbtanxca)tan(在RtADC中,)tan(tan)()(2cbcaxxbaxcbcaxba)()(2cbcaba即 时取等号当且仅当xcbcax)()(2cbcaxc c D D 点P是边OM上的一动点，如图，已知点A，B是MON的边ON上的两个定点，则当且仅当ABP的外接圆OPOA OB（当且仅当 时，APB最大）A A P P B B O O M MN N 法法2.2.米勒定理：米勒定理：与边OM相切于点P时，APB最大米勒定理：米勒定理：点P是边OM上的一动点，则当且仅当A
20、BP的外接圆与已知点A,B是MON的边ON上的两个定点，边OM相切于点P时，APB最大米勒定理：米勒定理：点P是边OM上的一动点，则当且仅当ABP的外接圆与已知点A,B是MON的边ON上的两个定点，边OM相切于点P时，APB最大A A P P B B O O M MN N P P2 2P P1 1证明:，而AP2B=APB 易得AP2BAP1B故APB最大根据切割线定理得，2OPOA OB即当OPOA OB时ACB最大A A C C B B D D 如图，设ADCD)(2cbcax当ABC的外接圆与CD相切时，法法2.2.米勒定理：米勒定理：，由米勒定理得视角ACB最大即当且仅当 时，ACB最大作业：1.课本P：75 B组 Ex32.课本P：101 A组 Ex4预习：复习与小结
