1、第二講函數的連續性內容：1.連續性的介紹。2.連續性的定義。3.連續性的性質。4.連續性的應用。1.連續性的介紹：a.一般的連續性：若某一現象不停地出現，則稱此現象連續，如：時間不停地消失、地球不停地轉動、心臟不停地跳動、肺不停地呼吸、溪水不停地流動、太陽光不停地照射地球。b.函數的連續性：若函數的圖形沒有間斷、斷裂或跳動，則稱此函數連續。2211.(),()11111 (),()1,111 (1)xf xf xxxxxxf xf xxxxxf例 若則在不連續。因為所以且不存在，故其圖形如下：121221 ,12.(),()1 1 1 ,11(1)(1)()1,1,(1)111xxf xf x
2、xxxxxxf xxxfxx例 若則在不連續。因為且，所以其圖形如下：1211 ,1.(),()1 1,1xxf xf xxxx例 3 若則在不連續。直接觀察其圖形：1211 ,1.(),()1 1,1xxf xf xxxx例 4 若 則 在不連續。直接觀察其圖形：1,15.()1 ,1 ,()1 1,1xxf xxf xxxx例 若則 在不連續。直接觀察其圖形：121xy121xy.()1 ,()1 f xxf xx例 6 若則 在連續，其實f(x)在任意點皆連續。直接觀察其圖形：y1212.連續性的定義：a.觀察前節的例題：例 1.函數 在x=1 的左右極限分別為21()1xf xx221
3、111lim2 lim211xxxxxx與1 lim()2xf x即。此情形表示函數f(x)在 x=1的左右圖形很靠近，但 f(1)不存在，故 f(x)的圖形在 x=1有間斷的現象，所以 f(x)在x=1不連續。如果想要f(x)的圖形在 x=1連續，必須 f(1)的值能夠連接f(x)在 x=1的左右極限，即定義1(1)lim()2xff x，如此 f(x)在 x=1 就沒有間斷的現象，即 f(x)在x=1連續。211111,12.(),1lim()21 1 ,1lim()2,lim()2,f(1)=1lim(),()1(1)xxxxxxf xxf xxxf xf xf xf xxf例 函數在的
4、左右極限分別為與即但是故在不連續，除非重新定義。1111,13.(),x=1lim()2 lim()0,-1,1 lim()(1)()1()1xxxxxf xf xf xxxf xff xxf xx例 函數 在的左右極限分別為與即不存在。故無任何值可以連接在的左右極限值，此情形 的圖形在有斷裂的現象。1111,1.(),1lim()2 lim()0,-1,1 lim()(1)()1()1xxxxxf xxf xf xxxf xff xxf xx例 4 函數 在的左右極限分別為與即不存在。故無任何值可以連接在的左右極限值，此情形 的圖形在有斷裂的現象。1111,1.(),1lim()2 lim(
5、)0,1 ,1-1,1 lim()(1)()1()1xxxxxf xxf xf xxxxf xff xxf xx例 5 函數 在的左右極限分別為與即不存在。故無任何值可以連接在的左右極限值，此情形 的圖形在有斷裂的現象。11116.()1,1lim()2 lim()2,lim()2(1)2()1(1)lim()()1 ()1xxxxf xxxf xf xf xff xxff xf xxf xx例 函數 在的左右極限分別為與即 且恰巧連接在的左右極限值，即，故 的圖形在沒有間斷、跳動或斷裂的現象，因此 在連續。b.連續性的定義：綜整上面例題的討論，得到下面連續的定義：()()lim()()()(
6、)()lim()()xaxaf xif xii f aiii f af xf xxa若滿足下列條件：存在。存在。則稱在連續。注意：此定義的條件(i)描述f(x)在x=a的左右圖形很靠近，條件(ii)(iii)更進一步描述f(a)將f(x)在x=a左右兩邊的圖形連接在一起，故f(x)在x=a連續。因此，三個條件有任一條件不成立，則f(x)在x=a不連續。從這裡可以清楚知道，極限是連續的基礎。例 7.多項式函數f(x)在任意實數連續。直接經由第一講第7節的定理2可證得。例 8.有理函數f(x)再任一不使分母為零的實數連續。直接經由第一講第7節的定理2 可證得。例 9.絕對值函數 f(x)=|x|在
7、任意實數連續。可分為下列三種情形討論：0()0,()()0,()()(0)0 lim()0,()0 xixf xxxiixf xxxiiiff xf xx 當 連續。當 連續。因為且 所以 在 連續。故得證。10.nf(x)=x nf(x)=x 7nn例 為奇數，在任意實數連續，為偶數，在任意正實數連續直接經由第一講第 節的定理1可證得。3.連續性的性質：連續性經由四則運算、n次方或n次方根運算後，仍然具有連續性。定理1.若 f(x)與 g(x)在 x=c 連續，則,()0)kffgfgf gf gg c必須(,()0)nffnf cxcn及當 為偶數時在連續。注意：直接利用第一講第7節的定理
8、1及連續性的定義，即可證得此定理。23232233321.()0 ,2,01332 32 0()0 xxf xxcxxxxxxxcxxxxxxxxcf xxcxx例 證明 在連續。依據前節的例題，得 及 在連續。再引用定理，得 及 在連續，最後，得在連續,故得證。連續性經過合成運算後，仍然有連續性。2.()()()()lim()()lim()lim()()()()xcxcxcg xxcf xg cfgxxcfgxf g xfg xf g cfg c定理 若在 連續，且在連續，則合成函數在連續。直接引用連續性的定義，故得證。32322.()1 ()1 (),()()2 ()()()h xxxxg
9、 xxxxf xxg xf xh xfgx例 證明函數在任意實數連續。令且則與在任意實數連續，經由定理 得在任意實數連續。333.()()(),()()2()()()h xxg xxf xxg xf xh xfgx例 證明函數在任意正實數連續。令 且則在任意實數連續，且在任意正實數，經由定理 得 在任意正實數連續。224.()1 ()()()()2()()1h xxxg xxxf xxg xf xh xfgx例 證明函數在任意負實數或大於 的實數連續。令且，則在任意實數連續，且在任意正實數連續，經由 定理得在任意負實數或大於 的實數連續。最後，討論函數 f(x)在區間 的連續性。若f(x)在開
10、區間(a,b)連續，則表示f(x)在區間(a,b)的每一點連續。若f(x)在閉區間 a,b連續，則表示 f(x)在區間(a,b)的每一點連續，在a點右連續，在b點左連續。何謂右連續，左連續？其定義如下：lim()(),()lim()(),()xaxaf xf af xaf xf af xa若 則稱 在 點右連續，若 則稱 在 點左連續，注意：若f(x)在a點右連續且左連續，則f(x)在a點連續。反之亦然。2255255 5.()25 ()()-5,5,-5,52()-5,5 -5,5lim()lim250(5)lim()lim250(5)xxxxf xxf xD faf xxxf xxff x
11、xf例決定函數 連續的最大區間。函數 的定義域 若且引用定理，則證得 在區間連續。在或 的單邊極限，得，且 。故2()255,5f xx 在閉區間連續22200116.()()(),01,1,2,0 x=0=1lim()lim0(0)lim()limxxxxf xxxf xD ff xxxff xxx 例 決定函數 連續的最大區域。函數的定義域 ，若a-,0且引用定理，則 證得f(x)在區域(-)(1,)連續。在，或x的單邊極限，得 且 20(1)(),0ff xxx，故函數 在區域(-1,)連續。4.連續性的應用：a.利用連續性求函數的極限值。若 f(x)在 x=a 連續，則lim()()x
12、af xf a22222211.lim11(),x1f(x)x=2114 1 limlim()(2)3 12 1xxxxxxf xxxf xfx例 求 。因為函數 在時連續，所以在連續，故可直接引用連續性的定義，得：。22222222.lim 6()-,01,()2limlim()(2)226 xxxxxf xxxf xxxxf xf 例 求。經由前節例 得知函數 ，在區域連續，所以 在 連續，故可直接引用連續性的定義，得：。2322233.lim25 5()25()3lim25lim()(3)2534 xxxxf xxf xxxf xf 例 3 求。經由前節例 得知函數 ，在區間-5,5 連
13、續，所以 在連續 ，故可直接引用連續性的定義，得。231232311324.lim 32 1(),()132321 limlim()(1)1 12xxxxxxxxxf xf xxxxxxf xfxx例 求。經由前節例 得知函數在任意正實數連續，所以 在連續，故可直接引用連續性的定義，得。b.利用連續性決定方程式根的位置。首先介紹中間值定理。定理1.若 f(x)在區間a,b連續，且w介於f(a)與f(b)之間，則存在 使得 f(c)=w。,ca b此處利用圖形說明此定理的意義。bxyw1w2w3f(b)f(a)ac1c2c3c4c5c6此函數在區間 a,b 的圖形沒有間斷、跳動或斷裂的現象，所以
14、此函數在區間a,b連續。若w介於f(a)與f(b)之間，即 f(a)w f(b),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線，必定與函數曲線相交於一點，即存在 使得 f(c)=w。,ca b考慮函數不連續的情形，如下圖：yxabf(b)f(a)w此函數在區間 a,b 的圖形在x=d 有斷裂的現象，所以此函數在區間a,b不連續。若w介於f(a)與f(b)之間(如圖所示)，即 f(b)w f(a),且經過y軸的w點繪平行x軸的直線與函數曲線不相交，即不存在 使得 f(c)=w。,ca b注意：從上面的討論，可知道連續性是定理1的充分條件。但不是必要條件，此情形可從下面的圖得到驗證。yxabf(a)f(b)d
15、若 w 介於 f(a)與 f(b)之間，即 f(a)w f(b),且經過 y 軸的 w點繪平行x軸的直線，必定與函數曲線相交，即存在 使得 f(c)=w。但是很清楚，函數在x=d 不連續，故連續性不是定理1的必要條件。,ca b其次，討論方程式根的位置，稱為堪根定理。定理 2.若 f(x)在區間 a,b 連續且 f(a)f(b)0，則存在 ，使得f(c)=0。,ca b因為f(a)f(b)0，所以f(a)與f(b)異號，故0介於f(a)與f(b)之間，引用中間值定理，故存在 ，使得f(c)=0。,ca b535.()1-10 (-1)-2 0,(0)1 0,(0)(1)0-1,0 ()0 f
16、xxxxffffcf cc例 試證明函數有一根介於與 之間。因為且即，直接用堪根定理，則存在 使得。就是此函數的一根。5353152111111()1 0(1)0 222222133333311()1 0(24444442ffff注意：利用二分法，可以進一步縮小根的範圍。例 中-1和0 的中點為-，且-，即f-，故c-1,-。-和的中點是，且-，即f-)0 3142，故c-,-，此二分法可以無限次數地繼續進行下去，直到根所在的區間很小。例 6.若圓形鐵圈溫度的變化是連續的，則存在一直徑，其兩端的溫度相同。令此圓形鐵圈的半徑為 r 且圓心在原點，則鐵圈上任意點(x,y)的座標可寫成cos ,sin (cos,sin)xryrTT rr，因此鐵圈上的溫度可用表示之。()cos,sincos(),sin()(0)(,0)(,0)()(,0)(,0)(0)(0)()0(0)()(0)()0 (,0)(,0)(0)()(0)(ffT rrT rrfT rTrfTrT rfffffffT rTrffff 令 表示任意直徑兩端的溫度差，則 因此，得 且，故得 或 與 異號。若，則，故得證。若 與 異號，即)0()0,0,()0cos,sincos(),sin()fcf cT rc rcT rcrccc ，且 在區間連續，引用堪根定理，則存在 ，使得 ，即。因為角 與角 在相同直徑上，故得證。
