1、6.3三角形的中位线三角形的中位线ABCDEF老汉的难题古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三角形的耕地，想分给四个儿子。他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。这可难坏了老汉，你能帮帮他吗？连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形有三条中位线因为D、E分别为AB、AC的中点三角形的中位线和三角形的中线不同同理DF、EF也为ABC的中位线EDFACB所以 DE为 ABC的中位线 注意 怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?小组合作沿中位线剪开,再旋转.沿中位线剪开,再旋转.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。三角形中位线定理四边形ADEF
2、是平行四边形如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。已知:如图所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC证明：如图转接BN,CM证明：如图，延长DE到F，AB,BC=2，DC=EF=(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.DE BC 且 DE=BC议一议:如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使延长DE到F，使EF=DE ADDB，BEEC，如图6-3-21，已知ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向
3、外侧作两个等边ABM和CAN D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EFABCDEF 已知：如图所示，DE是ABC 的中位线 求证：DE BC，且DE=BC 。AE=CE、AED=CEF、DE=EFADE CFE证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF.A=ECF、AD=CF CF AB又 BD=AD CF=BD四边形DBCF是平行四边形DE BC 且 DE=BC DF BC DF=BC证明：DE延长DE到F，使EF=DE连接AF、CF、DC AE=EC，DE=EF，四边形ADCF是平行四边形F四边形BCFD是平行四边形证法2：CF AD/CF BD/DE
4、BC，12DEBC 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半DEABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DEBC，DE=BC12三角形中位线定理：符号语言：议一议议一议:如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点求证：四边形EFGH是平行四边形四边形四边形问题问题连接对角线连接对角线三角形问题三角形问题（三角形中位线定理）（三角形中位线定理）ABCDEFHG2.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？分别分别画出画出AC、BC中点中点M、N，量出量出M、N两点间距离，则两点间距离，则A
5、B=2MN.NM根据是三角形中位线定理根据是三角形中位线定理随堂练习例1(10分)如图，已知E为 ABCD中DC边的延长线上的一点，且CEDC，连接AE，交BC于点F，连接AC交BD于点O，连接OF，试说明AB2OF.例2.已知，如图6-3-10，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，NPM=120，求MNP的度数.例3求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分已知:如图所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC求证：AE、DF互相平分证明 连结DE、EF ADDB，BEEC，DEAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）同理
6、EFAB四边形ADEF是平行四边形 AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）ABCDEF证：证：点点E,F分别为分别为BC,AC的中点的中点 EF AB,EF=1/2AB DAC=EFC=90 AD=1/2AB，AD=EF,AF=CF,ADF FEC(SAS)DF=EC BE=EC,DF=BE例4：在ABC中，BAC=90，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由课后作业第三边且等于第三边的一半 ADDB，BEEC，三角形的中位线和三角形的中线不同 AE=CE、AED=CEF、如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长B
7、C至点F,使怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?D为AB的中点，等边ABC的边长是2,连结三角形两边中点的线段如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,AF=CF,连结三角形两边中点的线段求证:EF与MN互相平分.证明：如图，延长DE到F，又 BD=AD CF=BD 点E,F分别为BC,AC的中点证明连结DE、EF证明：如图，延长DE到F，根据是三角形中位线定理证明：如图转接BN,CM已知:如图所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC 1.如图,E是 ABCD的边DC的延长线上一点，且CE=DC,AE交BC于点F,AC交BD于点O,连接OF求证:A
8、B=20F 2.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是BD,AC的中点.求证:EF与MN互相平分.3.如图6-3-20，BM，CN分别平分ABC的外角ABD，ACE，过点A分别作BM，CN的垂线，垂足分别为点M，N，交CB，BC的延长线于点D，E，连接MN.求证：MN=（AB+BC+AC）.4.如图6-3-21，已知ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边ABM和CAN D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EF证明：如图转接BN,CM备用习题1.2.3.4.如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB
9、,AC的中点,延长BC至点F,使解:(1)D,E分别为AB,AC的中点,所以DE BC,CF=BC,所以DE FC,即DE=CF/21四边形DBCF是平行四边形 AF=CF,使EF=DE，连接CF.AE=EC，DE=EF，证明：如图转接BN,CM如图6-3-20，BM，CN分别平分ABC的外角ABD，ACE，过点A分别作BM，CN的垂线，垂足分别为点M，N，交CB，BC的延长线于点D，E，连接MN.所以DE FC,即DE=CF已知，如图6-3-10，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，NPM=120，求MNP的度数.例4：在ABC中，BAC=9
10、0，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由证明：如图，延长DE到F，四边形ADCF是平行四边形 AD=BD=l,CD.ADE CFED为AB的中点，等边ABC的边长是2,DEAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.例3求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分四边形BCFD是平行四边形如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使沿中位线剪开,再旋转.(2)DE FC,四边形DEFC是平行四形,DC=EF.D为AB的中点，等边ABC的边长是2,AD=BD=l,
11、CD.AB,BC=2，DC=EF=/4.如图,等边ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使3 5.如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC=16.(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.;5.如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC=16.(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.;6.7.如图,在ABC中,AD为BC边上的中线,F为AC边上一点,AF=AC,BF交AD于点E,且E为AD的中点,EF=5 cm,求BF的长.31求证：AE、D
12、F互相平分如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC=16.他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。连结三角形两边中点的线段使EF=DE，连接CF.所以 DE为 ABC的中位线四边形ADCF是平行四边形如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是BD,AC的中点.四边形DBCF是平行四边形三角形的中位线和三角形的中线不同例3求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,A=ECF、AD=CF证明：如图，延长DE到F，例3求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分所以DE FC,即DE=CF怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.如图6-3-21，已知ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边ABM和CAN D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EF
