1、第七章 平面向量【考试内容】1.向量的概念;向量的运算.2.轴上向量的坐标及其运算;平面向量的直角坐标运算.3.两个向量平行(共线)的条件;两个向量垂直的条件.4.向量的平移公式;中点坐标公式;两点间距离公式.【考纲要求】【考纲要求】1.理解向量的概念、向量的长度(模)和单位向量、理解相等向量、负向量、平行(共线)向量的意义.2.掌握向量的加法与减法运算及其运算法则.3.理解数乘向量的运算及其运算法则.掌握两个向量平行(共线)的条件.4.理解向量的数量积(内积)及其运算法则.掌握两个向量垂直的条件.5.理解平面向量坐标的概念、掌握平面向量的坐标运算.6.掌握向量的平移公式、中点坐标公式和两点间
2、距离公式.【知识结构】【知识结构】7.1 向量的概念及向量的加、减法运算 【复习目标】1.理解向量的概念.2.掌握向量的加法、减法运算;能熟练地用三角形法则和平行四边形法则作图和计算.3.能准确运用以上知识解实际生活中与向量有关的问题.【知识回顾】1.向量的概念(1)向量的定义:既有大小,又有方向的量叫向量.向量的两个要素:大小、方向.(2)向量的表示:用有向线段表示,如图 ,记为向量 或向量a.有向线段的长度表示向量的大小,箭头指向表示向量的方向.(3)向量的长度(模):表示向量的有向线段的长叫向量的长度(或模),记作|或|a|.向量的长度(模),反映的是向量的大小.(4)几个概念:零向量:
3、长度等于0的向量叫零向量.单位向量:长度等于“1 个单位”的向量叫单位向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.相反向量:长度相等且方向相反的向量叫相反向量.平行向量(共线向量):表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则称这些向量为平行向量(也叫共线向量).【说明】零向量的方向是任意的;零向量与任何向量都是平行向量;任何一个向量a的相反向量都可以记为-a;表示平行向量的有向线段所在的直线平行或重合,即平行向量的方向只能相同或相反;相等向量、相反向量一定是平行向量,反之,不成立;零向量与单位向量只体现向量的长度特征;平行向量只体现向量之间的方向关系;相等向量、相反向量同时体现
4、向量之间的长度与方向关系.2.向量的运算(1)向量的加法 三角形法则:已知向量a、b,作?=a,?=b,则?=?+?=a+b(如图 1)图 1 图 2 平行四边形法则:已知向量a、b,作?=a,?=b,以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则?=?+?=a+b(如图 2);【说明】向量加法的运算律:交换律a+b=b+a;结合律(a+b)+c=a+(b+c);?+?=?,是一个向量加法的恒等式,它体现了向量加法的三角形法则,但?、?、?三者并不一定构成一个三角形,如?时,三者在一条直线上;三角形法则适用于若干个向量的求和,其关键在于“加向量首尾相连,和向量是第一个加向量的始点指向最后一个加向量
5、的终点”,如?+?+?=?.但多个向量的求和不宜用平行四边形法则;根据三角形法则,可以得出|a|-|b|a+b|a|+|b|.(2)向量的减法 已知向量a、b,作?=a,?=b,则?=?-?=a-b 【说明】?-?=?是一个向量减法的恒等式,它是根据向量加法的三角形法则而得到,因此,三个向量也不一定构成一个三角形;两个向量相减,始点相连,差向量是减向量的终点指向被减向量的终点;减去一个向量等于加上这个向量的相反向量,即a-b=a+(-b),因此,向量的减法运算也可以转化成加法运算;根据向量的减法,可以得出|a|-|b|a-b|a|+|b|.【例题精解】【例 1】如图,设 O 是正六边形 ABC
6、DEF 的中心,完成下列问题(1)写出?的相等向量;(2)写出?的相反向量;(3)写出?的平行向量.【解】(1)?=?=?=?(2)?的相反向量:?、?、?、?(3)?的平行向量:?、?、?、?、?、?、?、?、?【点评】向量的相等既要求大小相等,同时要求方向相同,二者缺一不可,如?;相反向量要求大小相等,同时方向相反,二者缺一不可,如?不是?的相反向量;平行向量只要求向量所在的直线平行(或重合),与长度无关,它们的方向相同或相反.【例【例 2 2】如图如图?+?=,?+?=,?-?=,?-?=.【解】?+?=?;?+?=?;?-?=?;?-?=?【点评】首尾连接的两个向量的和向量等于第一个向
7、量的始点指向第二个向量的终点;始点连接的两个向量的差向量等于减向量的终点指向被减向量的终点.【例3】根据已知向量根据已知向量a、b,求作a+b、a-b.(1)【解】略【点评】向量加法的三角形法则,并不是说a、b、a+b三者一定构成一个三角形.当a与b平行时,则a、b、a+b三者在同一条直线上【同步训练】【答案】B 一、选择题 1.?+?+?+?等于()A.?B.?C.?D.?【答案】C 2 2.?-?-?=()A A.?B B.?C C.?D D.?【答案】【答案】D 3.?+?-?=()A.?B.?C.?D.?【答案】B 4 4.下列等式中,正确的个数是()a+b=b+a a-b=b-a?-
8、a=-a-(-a)=a a+(-a)=?A A.5 5 B B.4 4 C C.3 3 D D.2 2【答案】B 5 5.在ABC中,?=a,?=b,则?等于()A A.a+b B B.-(a+b)C C.a-b D D.b-a 【答案】B 6.a、b满足何条件时,等式|a+b|=|a|+|b|成立()A.对任意向量a、b B.a与b同向 C.a与b反向 D.a与b共线【答案】C 7 7.a、b满足何条件时,等式|a-b|=|a|-|b|成立()A A.b必等于?B B.a与b同向 C C.a与b同向,且|a|b|D D.a与b反向【答案】D 8.a、b满足何条件时,等式|a+b|=|a|-|
9、b|成立()A.a与b同向 B.a与b反向 C.a与b同向,且|a|b|D.a与b反向,且|a|b|【答案】B 9.下列命题正确的是()A.单位向量都相等 B.平行向量所在的直线一定平行或重合 C.共线向量所在的直线一定重合 D.方向相反的向量互为相反向量【答案】B 10.下列说法正确的是()A.?没有方向 B.?方向是任意的 C.?=0 D.|.|?|=1 二、填空题 11.如图?+?=,?-?=,?-?=,?+?=.12.设a、b为非零向量,若|a+b|=|a|+|b|,则a的方向与b的方向必定 .13.设a表示“向东走 3km”,b表示“向北走 3km”,则a+b表示 .?相同 向东北走
10、 3?km 二、填空题二、填空题 14.在单位正方形在单位正方形ABCD中中,设设?=a,?=b,?=c,则则|a+b|=,|a+b+c|=,|a+c-b|=.15.如图如图,已知一点已知一点O到平行四边形三个顶点到平行四边形三个顶点A、B、C的向的向量分别为量分别为a、b、c,则则,用用a、b、c表示表示?=.?2?2 a+c-b 三、解答题三、解答题 16.根据所给向量,求作和(或差):(1)分别求作a+b、a-b (2)求作a+b-c 17.某人先向东走了3米,接着向西走了5米,求此人所走的路程及位移.【解】设向量?:向东走 3米,向量?,向西走 5米,如图.则?+?=?,其中|?|=5-3=2,?方向为向西.|?|+|?|=3+5=8 即此人所走的路程为 8米,位移为向西走 2米.18.一艘轮船先向南航行20海里,再向东航行20海里,求这艘轮船实际航行的路程及位移.【解】设a:向南航行 20海里,b:向东航行 20海里.则实际航行的路程为|a|+|b|=20+20=40(海里)位移为a+b,其中|a+b|=|?|?+|?|?=20?(海里)方向为向南偏东 45.
