1、16讲：二次函数的图像和性质（一） 中考数学系统班 学习目标 1.掌握二次函数的基本概念不性质. 2. 掌握二次函数图像的开口，对称轴，顶点，最值不 a,b,c的关系. 函数概念 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0) 图像 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 考点1 二次函数的图像、概念与性质 0 0 抛物线开口向上 ，并向上无限延伸 抛物线开口向 下，并向下无限延伸 直线x=- 2 直线x=- 2 (- 2， 42 4 ) (- 2， 42 4 ) 抛物线有最低点，当x=- 2时，y有最 小值，y最小值=4 2 4 抛物线有最高点，当x=- 2时，y有最 小值，y最大
2、值=4 2 4 在对称轴的左侧，即当x- 2时，y随x的增 大而减小；在对称轴的右侧，即当x- 2 时，y随x的增大而增大 ，简记左减右增. 在对称轴的左侧，即当x- 2时，y随x的增 大而增大 ；在对称轴的右侧，即当x- 2 时，y随x的增大而 减小 ，简记左增右减. 2 b a2 b a2 b a 2 4 4 ac a b 2 b a 2 4 4 ac a b 2 b a 2 4 4 ac a b 2 b a 2 4 4 ac a b 2 b a2 b a2 b a2 b a 1.若抛物线 的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ） A B C D 1 0 10 0 . mm m m m B
3、 Q解： 顶点为（ ，），而它在第一象限； 故选 B 1m0m1m 10m 考点1 二次函数的图像、概念与性质 难点突破 2 2 2 89 816 25 425 yxx xx x B 解： （） 故选： B 22 2222 22018?89 47425?47425 yxxya x hk AyxByxCyxDyx （山西）用配方法将二次函数 化为（ ）的形式为（ ） （）（） （）（） 真题精选 2 2 2 0 32 3 3 423 23 23 14 14 14 AByxbxc c bc bc yxx x Q解： （ ， ），（ ， ）是抛物线上两点， 代入得， 解得：， （）， 顶点坐标为（，
4、 ）， 故答案为：（， ） 14（， ） 3.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=x2+bx+c上两点，该抛物线 的顶点坐标是 方法总结 二次函数的顶点坐标既可以通过配方法求得，也可以通过公式 法求取，一般对于二次项系数为1，且一次项为偶数的采用配 方法，对于a, b,c互质的一般通过公式法求取. 考点1 二次函数的图像、概念与性质 考点2 二次函数的图像与字母系数的关系 字母或代数式 字母的符号 图象的特征 a a0 |a| 越 大 开 口 越小 a0 b b=0 ab0(b不a同号) ab0(b不a异号) c c=0 c0 c0 b2-4ac b2-4ac=0 b2-4ac0 b2-
5、4ac0 特殊关系 当x=1时，y=a+b+c 当x=-1时，y=a-b+c 若a+b+c0，即当x=1时，y0 若a+b+c0，即当x=1时，y0 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在y轴 左 侧 对称轴在y轴右侧 经过 原点 不y轴 正半轴相交 不y轴 负 半轴相交 不x轴有唯一交点(顶点) 不x轴有两个丌同交点 不x轴没有交点 1. 二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，下列结论：2ab0， abc0，b24ac0，abc0，4a2bc0，其中正确 的个数是( ) A2 B3 C4 D5 难点突破 考点2 二次函数的图像与字母系数的关系 B 2 1 2 0220 00
6、00 40 10 2 b a abaab ayb ycabc xbac xyyabc xyy 解：对于，由对称轴的位置可知-， 注意到， ，所以 ，所以 ， 故正确； 对于，易得 ，对称轴在 轴的右边，故 ， 抛物线与 轴的交点在原点的上方，则 ，所以 ， 故错误； 对于，抛物线与 轴有两个交点，所以 ， 故正确； 对于，当 时，显然 的值为正，所以 ， 故错误； 对于，当 时，显然 的值为负，所以420abc ， 故正确. 2. 若二次函数yax2bxc（a0）的图象不x轴有两个交点，坐标分别为 （x1，0）、（x2，0），且x1x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方， 则下列判断正确
7、的是（ ） Aa（x0x1）（x0x2）0 Ba0 Cb24ac0 Dx1x0x2 2 12 00102 40 BD xbacC xya xxxx Mxxxya xxxxA 解：根据题意，不能确定二次函数的图象开口朝向，故选项 、 不正确； 函数图象与 轴有两个交点，因此，选项 不正确； 因为函数图象与 轴有两个交点，故可以将解析式整理成：， 因为在图象上且在 轴下方，所以当 时，故选 A 3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，下列说法2a+b=0；当 1x3时，y0；若当(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1x2时， y1y2；9a+3b+c=0，其中正确的是（
8、 ） A. B. C. D. B 1212 ( 10) (3 0)20 2 130 1 30930 . b xab a xy xxyy xyabc B 解：图象与 轴交于，两点，则对称轴x=-，即故正确； 当时，故错误； 当 时， ，故错误； 当时，则有，故正确； 故选 方法总结 1.a的符号决定开口方向，ab的符号决定对称轴的位置，c 的符号决定抛物线不y轴交点的位置，判别式决定抛物线 不x轴交点的个数. 2. 对于形如“9a+3b+c”的式子需要通过代入特殊值的 进行求取. 考点2 二次函数的图像与字母系数的关系 随堂检测 1抛物线y=3（x1）2+1的顶点坐标是（ ） A（1，1） B（
9、1，1） C（1，1） D（1，1） A 2下列对二次函数y=x2x的图象的描述，正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是y轴 C经过原点 D在对称轴右侧部分是下降的 2 1 1 0 22 1 000 2 1 2 b AaABxB a CxyxxCDax xyxDC QQ Q 解： 、 ， 抛物线开口向上，选项 不正确； 、， 抛物线的对称轴为直线，选项 不正确； 、当时， 抛物线经过原点，选项 正确； 、 ，抛物线的对称轴为直线， 当 时， 随 值的增大而减小，选的 不正确故选： C 3如图，函数y=ax22x+1和y=axa（a是常数，且a0）在同一平面直角 坐标系的图象可能是（ ） A B
10、 C. D. B 2 2 2 0 21 0 2 210 2 0 2 210 2 Ayax aa yaxx Byax aa yaxxx a Cyax aa yaxxxx a 解： 、由一次函数 的图象可得： ， 此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； 、由一次函数 的图象可得： ， 此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴 ，故选项正确； 、由一次函数 的图象可得： ， 此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴 ，和 轴的正半轴相交，故选项 2 0 21 . Dyax aa yaxx B 错误； 、由一次函数 的图象可得： ， 此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误 故选 B 4抛物线y=
11、ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，部分图象如图所示，下列判断中： abc0；b24ac0；9a3b+c=0；若点（0.5，y1），（2，y2） 均在抛物线上，则y1y2；5a2b+c0 其中正确的个数有（ ） A2 B3 C4 D5 2 1212 110 10 2 23 000 0 40 3 0 930 0.521.52 52543 x b abc a baca abc abc x bac x abc yyyy abcaaa Q Q Q Q Q Q 解： 抛物线对称轴，经过（， ）， ， ， ， ， ， ， ，故错误， 抛物线与 轴有交点， ，故正确， 抛物线与 轴交于（， ）， ，故正确
12、， 点（， ），（， ）均在抛物线上， ，则 ； 故错误， 20a B ，故正确， 故选： 5如图，抛物线y=ax2+bx+c不x轴交于点A（1，0），顶点坐标（1，n）不y轴的 交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：3a+b0； 1a ；对于任意实数m，a+bam2+bm总成立；关于x的方程 ax2+bx+c=n1有两个丌相等的实数根其中结论正确的个数为（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 D 2 2 2 012 2 3320 233 233 2 1 3 1 1 1 b axba a abaaa cca a a n xn abcambmc abambm n yaxbxc
13、 Q Q Q Q 解： 抛物线开口向下， ，而抛物线的对称轴为直线，即 ， ，所以正确； ，而 ， ， ，所以正确； 抛物线的顶点坐标（， ）， 时，二次函数值有最大值 ， ， 即，所以正确； 抛物线的顶点坐标（， ）， 抛物线与 2 1 1 yn xaxbxcn D 直线有两个交点， 关于 的方程有两个不相等的实数根，所以正确 故选： 6（2018广西）将抛物线y=1 2x 26x+21向左平移2个单位后，得到新抛物 线的解析式为（ ） Ay=1 2（x8） 2+5 By= 1 2（x4） 2+5 Cy= 1 2（x8） 2+3 Dy=1 2（x4） 2+3 2222 2 2 1111 62
14、112216362163 2222 1 632 2 1 43 2 yxxxxxx yx yxD 解：（ ）（） （）， 故（），向左平移 个单位后， 得到新抛物线的解析式为：（）故选： D 真题精选 7将抛物线y=5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长 度，所得到的抛物线为（ ） Ay=5（x+1）21 By=5（x1）21； Cy=5（x+1）2+3 Dy=5（x1）2+3 2 2 2 511 5112 511 yx yx yx A 解：将抛物线向左平移 个单位长度， 得到 （），再向下平移 个单位长度， 所得到的抛物线为： （） 故选： A 课堂小结： 1.掌握二次函数的图像不基本性质，掌握函数的增减性. 2.掌握a，b，c的取值对二次函数图像的影响，能通过代 入特殊值确定某些代数式的值.
