1、2023-2-3二次函数（试题部分）二次函数（试题部分）考点一考点一 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质A组 2014-2018年广东中考题组五年中考1.(2018深圳,11,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论正确的是()A.abc0B.2a+b0C.3a+c0D.ax2+bx+c-3=0(a0)有两个不相等的实数根答案答案C由该抛物线的开口向下可知a0,由对称轴-=1,得出b=-2a,即2a+b=0,故B选项错误;a0,当x=0时,函数值y=c,由函数图象与y轴交于正半轴可知c0,a0,c0,abc0,故A选项错误;当x=-1时,由函数图象可知,其函数值
2、y0,即a-b+c0,把b=-2a代入得a-(-2a)+c0,即3a+c0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值-3C.图象的顶点坐标为(-2,-7)D.图象与x轴有两个交点14答案答案BA.由题可知,该二次函数的图象开口向下,对称轴为x=2.因此,当x2时,y随x的增大而减小,所以A错;B.当x=2时,y有最大值-3,所以B正确;C.该二次函数图象的顶点坐标为(2,-3),所以C错;D.=12-4(-4)=-3x1时,有y2y1;它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0);当0 x0.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.421x22x答案答案C二次函数y=-x2+2
3、x的图象如图所示,对称轴为x=1,与x轴的交点为(0,0),(2,0),所以正确.当0 x0,所以正确.由图象可知,当x2x1时,y1与y2的大小不能确定,所以错误,故选C.思路分析思路分析作出函数的图象,观察可知正确,利用函数图象的增减性,可判断不正确.4.(2014深圳,11,3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,下列说法,正确的个数为()bc0;2a-3c0;ax2+bx+c=0有两个解x1,x2,当x1x2时,x10,x20;当x1时,y随x增大而减小.A.2B.3C.4D.5答案答案B由题图知,a0,b0,c0,正确;a0,c0,-3c0,2a-3c0,不正确;-0,-b0,
4、正确;抛物线与x轴有两个交点,且分别在y轴两侧,正确;抛物线上的点(1,a+b+c)在x轴下方,a+b+c1时,y随x的增大而增大,不正确.故选B.2ba5.(2014广东,10,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图所示,关于该二次函数,下列说法的是()A.函数有最小值B.对称轴是直线x=C.当x时,y随x的增大而减少D.当-1x0错误1212答案答案D抛物线的开口向上,函数有最小值,故A项正确;抛物线与x轴交于(-1,0)、(2,0)两点,抛物线的对称轴是直线x=,故B项正确;抛物线的开口向上,对称轴为直线x=,当x时,y随x的增大而减少,故C项正确;当-1x2时,y0时
5、,y随x的增大而(填“增大”或“减小”).答案答案增大解析解析二次函数y=x2的图象开口向上,对称轴为y轴,所以当x0时,y随x的增大而增大.7.(2017广州,13,3分)当x=时,二次函数y=x2-2x+6有最小值.答案答案1;5解析解析y=x2-2x+6=x2-2x+1+5=(x-1)2+5,抛物线开口向上,函数在顶点处取得最小值,当x=1时,y最小=5.8.(2016梅州,14,4分)如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P在抛物线上,且PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为.答案答案(12,2)2解析解析PCD是以CD为底的等腰三角形,CD的垂直平
6、分线与抛物线的交点即为点P,点D(0,1),点C(0,3),点P的纵坐标为2,把y=2代入抛物线的解析式得-x2+2x+3=2,解得x=1,点P的坐标为(1,2).229.(2018广东,23,9分)如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a0)与x轴交于A、B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值;(2)求函数y=ax2+b(a0)的解析式;(3)抛物线上是否存在点M,使得MCB=15?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)直线y=x+m过点C(0,-3),-3=0+m,解得m=-3.(2)点B是直线y=x-3与x轴的交点,点B的坐标为(3,0
7、),依题意,得解得故抛物线的解析式为y=x2-3.(3)存在.90,03,abb 1,33,ab 13设点M的坐标为,则MCO=30或60,tanMCO=或,而tanMCO=,x=3或.故点M的坐标为(3,6)或(,-2).21,33xx3332013(3)3xx 3x3333思路分析思路分析(1)直接把点C的坐标代入直线y=x+m的解析式就可求出m.(2)先求出点B的坐标,再把点C、B的坐标代入抛物线y=ax2+b(a0)中求出a、b的值,即可得到抛物线的解析式.(3)由条件MCB=15,易得MCO=30或60,再利用特殊角的三角函数值求出点M的坐标.解题关键解题关键本题是几何图形问题与函数
8、问题结合的综合应用题,能考虑到(3)的分类情况,并利用特殊角的三角函数值求解是解题的关键.考点二考点二 二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程的联系1.(2017广州,23,12分)已知抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.(1)求y1的解析式;(2)若y2随x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式.解析解析(1)y1的对称轴与y2的交点为A(-1,5),y2的对称轴为x=-=-=-1,m=-2,y1=-x2-2x+n=-(x2+2x+1)+n+1=-(x+1)2+n+1,顶点
9、坐标为B(-1,n+1).点A到顶点B的距离是4,|AB|=4,|n-4|=4,n1=0,n2=8.y1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8.(2)当y1=-x2-2x=-x(x+2)时,抛物线y1=-x2-2x与x轴的交点为(0,0),(-2,0).y2随x的增大而增大,k0.(i)当直线y2=kx+b经过点A(-1,5),(0,0)时,2ba2(1)m 2m22 1(1)(1 5)n 2(4)n有解得y2=-5x(舍去).(ii)当直线y2=kx+b经过点A(-1,5),(-2,0)时,有解得y2=5x+10.当y1=-x2-2x+8时,令y1=0,即-x2-2x+8=0,解得x1=2,
10、x2=-4,抛物线y1=-x2-2x+8与x轴交于点(2,0),(-4,0).(i)当直线y2=kx+b经过点A(-1,5),(2,0)时,有解得y2=-x+(舍去).5,0,kbb 5,0.kb 5,02,kbkb 5,10.kb5,02,kbkb 5,310.3kb 53103(ii)当直线y2=kx+b经过点A(-1,5),(-4,0)时,有解得y2=x+.综上,y2=5x+10或y2=x+.5,04,kbkb 5,320.3kb5320353203评析评析本题主要考查了二次函数与一次函数的性质以及用待定系数法求函数解析式等知识,也考查了学生的推理能力、计算能力和分类讨论能力.易错警示易
11、错警示只考虑了A点在顶点B的上方(或者下方),造成漏解.2.(2016梅州,24,10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A、B、C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,-3),动点P在抛物线上.(1)b=,c=,点B的坐标为;(直接填写结果)(2)是否存在点P,使得ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF.当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.解析解析(1)-2;-3;(-1,0).(3分)(每空1分)(2)存在
12、.(4分)当以点C为直角顶点时,过点C作CP1AC,交抛物线于点P1,过点P1作y轴的垂线,垂足为点M.OA=OC,AOC=90,OCA=OAC=45,ACP1=90,MCP1=90-45=45=CP1M,MC=MP1.(5分)由(1)可得抛物线解析式为y=x2-2x-3.设P1(m,m2-2m-3),则m=-3-(m2-2m-3),解得m1=0(舍去),m2=1,m2-2m-3=-4.则点P1的坐标是(1,-4).(6分)当以点A为直角顶点时,过点A作AP2AC,交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足为点N,AP2交y轴于点F,P2Nx轴.CAO=45,OAP2=45,FP2N=45,
13、OFA=P2FN=45,AO=OF=3,P2N=NF.设P2(n,n2-2n-3),则-n=(n2-2n-3)-3.解得n1=3(舍去),n2=-2.n2-2n-3=5,则点P2的坐标是(-2,5).综上所述,点P的坐标是(1,-4)或(-2,5).(7分)(3)连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.根据垂线段最短,可知当ODAC时,OD最短,即EF最短.(8分)设点P的坐标为(x,x2-2x-3),在RtAOC中,OC=OA=3,ODAC,点D是AC的中点,又DFOC,点F是AO的中点,DF=OC=.点P的纵坐标是-.(9分)则x2-2x-3=-,解得x=.1232323
14、22102当EF最短时,点P的坐标是或.(10分)2103,222103,223.(2015广州,25,14分)已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1x20)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位.当平移后的直线与P有公共点时,求2n2-5n的最小值.解析解析(1)C1(0,3),C2(0,-3).(2)当直线y2=-3x+t经过点C1(0,3)时,解得t=3,因此y2=-3x+3,与x轴的交点为A(1,0),则x1=1,x1x20,|x1|+|x2|=
15、4,x2=-3,B(-3,0).当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围有如下两种解法:解法一:由于抛物线过点A(1,0),B(-3,0),C1(0,3),则可设抛物线的解析式为y1=a(x-1)(x+3),a(0-1)(0+3)=3,a=-1,y1=-(x-1)(x+3)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,当x-1时,y1随x的增大而增大.解法二:抛物线过点A(1,0),B(-3,0),C1(0,3),其对称轴为直线x=-1,抛物线开口向下,当x-1时,y1随x的增大而增大.当直线y2=-3x+t经过点C2(0,-3)时,解得t=-3,因此y2=-3x-3,1 32与x轴的交点为
16、A(-1,0),则x1=-1,x1x21时,y1随x的增大而增大.(3)当抛物线y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4向左平移n个单位时,其顶点变为(-1-n,4),直线y2=-3x+3向下平移n个单位后的解析式为y=-3x+3-n,当平移后的直线y=-3x+3-n经过点(-1-n,4)时,-3(-1-n)+3-n=4,n=-1.n0,n=-1舍去;当抛物线y1=x2-2x-3=(x-1)2-4向左平移n个单位时,其顶点变为(1-n,-4),直线y2=-3x-3向下平移n个单位后的解析式为y=-3x-3-n,当平移后的直线y=-3x-3-n经过点(1-n,-4)时,-3(1-n)-3-n=
17、-4,n=1.根据图象分析,当n1时,平移后的直线与平移后的抛物线中y随着x的增大而增大的那部分图象有公共点,此时2n2-5n=2-的最小值为-.254n258258考点三考点三 二次函数的应用二次函数的应用1.(2018广州,24,14分)已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m0).(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在P上.试判断:无论m取何正数,P是否经过y轴上某个定点.若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;若点C关于直线x=-的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,D
18、E,BDE的周长记为l,P的半径记为r,求的值.2mlr解析解析(1)证明:当y=0时,x2+mx-2m-4=0,=m2-4(-2m-4)=(m+4)2,m0,(m+4)20,方程有两个不相等的实数根,即抛物线总与x轴有两个不同的交点.(2)是.如图,设圆P经过y轴上的定点M.连接MA,BC.当y=0时,x2+mx-2m-4=0,解得x1=2,x2=-m-2.A(2,0),B(-m-2,0).当x=0时,y=-2m-4,C(0,-2m-4).BCO=MAO,BOC=MOA,BOCMOA,=,MO=AO=1.圆P经过y轴上的定点(0,1).连接AD,因为AB为圆P的一条弦,所以圆心P在抛物线的对
19、称轴上,根据抛物线与圆的对称性可知,E在圆上,连接EC.ECD=90,DE为圆P的一条直径,DE=2r.MOAOBOCO|2|24|mm1212BED=OAD,EBD=DOA=90,EBDAOD,BD BE DE=DO OA AD=1 2.ED=2r,BD=r,BE=r.l=BD+BE+DE=r,=.52 554 55106 55lr106 55思路分析思路分析(1)将根的判别式进行配方即可得到结论.(2)判断P经过y轴上除C点以外的点是不是定点,也就是判断OM的长是不是与m无关.通过MOA与BOC相似,得到对应线段成比例,求出OM=1.先说明DE是P的直径,得DE=2r,再通过EBD与AOD
20、相似可把BD、BE用r表示出来,则EBD的周长也可用r表示出来,最后求出.lr2.(2017深圳,23,9分)如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(4,0),交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);(2)点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D,使SABD=SABC,若存在,请直接给出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45得到BE,与抛物线交于另一点E,求BE的长.32解析解析(1)由题意得解得y=-x2+x+2.(2)依题意知AB=5,OC=2,SABC=ABOC=52=5,SABD=SABC,SABD=5=.设D(m0).S
21、ABD=AB|yD|=,5=,解得m=1或m=2或m=-2(舍去)或m=5,20,16420,abab1,23,2ab 123212123232152213,222mmm1215212213222mm152D1(1,3),D2(2,3),D3(5,-3).(3)过点C作CFBC,交BE于点F,过点F作y轴的垂线,交y轴于点H,CBF=45,BCF=90,CF=CB,BCF=90,FHC=90,HCF+BCO=90,HCF+HFC=90,HFC=BCO,CHF BOC(AAS).HF=OC=2,HC=BO=4,F(2,6),易求得直线BF:y=-3x+12,联立解得故E(5,-3).,CHFCO
22、BHFCBCOFCCB 2132,22312,yxxyx 115,3,xy 224,0,xyBE=.22(54)(30)10一题多解一题多解(3)AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,AC=,BC=2,AC2+BC2=AB2,ABC为直角三角形,即BCAC,如图,设直线AC与直线BE交于点F,过F作FMx轴于点M,由题意可知FBC=45,CFB=45,CF=BC=2,COFM,=,即=,解得OM=2,=,即=,22125222455AOOMACCF1OM52 5OCFMACAF2FM53 5解得FM=6,F(2,6),设直线BE的解析式为y=kx+m,则解得直线BE的解析式为y=-3x+12
23、,联立直线BE和抛物线方程解得或E(5,-3),BE=.26,40,kmkm3,12,km 2312,132,22yxyxx 4,0 xy5,3,xy 22(54)(3)103.(2017广东,23,9分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,求sinOCB的值.解析解析(1)把A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b得解得抛物线的解析式为y=-x2+4
24、x-3.(2)当点P是线段BC的中点时,易得点P的横坐标为,当x=时,y=,点P的坐标为.(3)由(2)得点C的坐标为,OC=,又OB=3,BC=.sinOCB=.01,093,abab 4,3.ab 3232343 3,2 430,23222OCOB3 52OBBC33 522 55思路分析思路分析(1)将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式,求解即可;(2)利用三角形中位线的性质得点P的横坐标,因为点P在抛物线上,将其横坐标代入抛物线的解析式,得点P的纵坐标;(3)由(2)可得点C的坐标,进而可得OC的长,再利用勾股定理求BC的长,进而求得sinOCB的值.4.(2016茂名,25,8分)如
25、图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;(2分)(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;(3分)(3)在(2)的条件下,过点P作PFx轴于点F,G为抛物线上一动点,M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标.(3分)解析解析(1)抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,解得(1分)抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.(2分)(2)如图1
26、,连接PC,PE.图1-=-=1,当x=1时,y=-1+2+3=4,点D的坐标为(1,4).(3分)设直线BD的表达式为y=mx+n(m0),将B,D的坐标分别代入表达式,得则直线BD的表达式为y=-2x+6.(4分)10,930,bcbc 2,3.bc2ba22(1)2,6,mn 设点P的坐标为(x,-2x+6),易知C的坐标为(0,3).由勾股定理可得PC2=x2+(3+2x-6)2,PE2=(x-1)2+(-2x+6)2,x2+(3+2x-6)2=(x-1)2+(-2x+6)2,解得x=2,则-2x+6=-22+6=2.点P的坐标为(2,2).(5分)(也可证DCB,DEB为直角三角形,
27、则P为斜边BD中点;或先求CE垂直平分线的函数关系式,则点P是CE垂直平分线与BD的交点)(3)依题意可设M的坐标为(a,0),则G的坐标为(a,-a2+2a+3),如图2,以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时,必有FM=MG,即|2-a|=|-a2+2a+3|.(6分)图22-a=-(-a2+2a+3),解得x=,2-a=-a2+2a+3,解得x=,(7分)M点的坐标为,.(8分)12123132121,02121,02313,02313,02思路分析思路分析(1)用待定系数法求抛物线的函数表达式;(2)建立P的横坐标与PC、PE的函数关系,然后构造方程求解;(3)利用点G的坐标表示正方
28、形的边长,然后由正方形的邻边相等构造方程求解.解题关键解题关键(2)(3)问的关键是利用点的坐标表示相关线段,然后根据线段的相等关系构建方程.5.(2015梅州,21,9分)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:销售该运动服每件的利润是元;月销量是件;(直接填写结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?售价(元/件)100110120130月销量(件)200180160140解析解析(1)(x-60);(-2x+400).(2)解法
29、一:依题意,可得y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520 x-24000=-2(x-130)2+98009800.当x=130时,y取得最大值9800.售价为每件130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.解法二:依题意,可得y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520 x-24000.a=-20,当x=-=130时,y取得最大值,ymax=9800.售价为每件130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.2ba244acba6.(2015茂名,23,8分)某公司生产的某种产品每件成本为40元,经市场调查整理出如下信息:该产品90天内日销量(m件)与时间(第x天)
30、满足一次函数关系,部分数据如下表:该产品90天内销售价格(元/件)与时间(第x天)的关系如下表:时间(第x天)13610日销量(m件)198194188180时间(第x天)1x5050 x90销售价格(元/件)x+60100(1)求m关于x的一次函数表达式;(2)设销售该产品每天利润为y元,请写出y关于x的函数表达式,并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大?最大利润是多少?【提示:每天利润=日销售量(销售价格-每件成本)】(3)在该产品销售过程中,共有多少天销售利润不低于5400元,请直接写出结果.解析解析(1)m与x满足一次函数关系,设m=kx+b(k0),将x=1,m=198;x=3,m
31、=194代入,得解得(2分)m关于x的一次函数表达式为m=-2x+200.(3分)(2)y关于x的函数表达式为y=(4分)当1x50时,y=-2(x-40)2+7200,-20,当x=40时,y有最大值,最大值是7200.当50 x90时,y=-120 x+12000,-1200,y随x增大而减小,即当x=50时,y的值最大,最大值是6000.(5分)综上所述,当x=40时,y的值最大,最大值是7200,即在90天内该产品第40天的销售利润最大,最大利润是7200元.(6分)198,3194,kbkb2,200.kb 221604000(150),12012000(5090),xxxxx(3)
32、共有46天的销售利润不低于5400元.(8分)思路分析思路分析(1)利用待定系数法求m与x的关系式;(2)求出y与x之间的函数关系式,分类讨论,求出y的最大值;(3)利用(2)的关系式,写出结果.解题关键解题关键正确求出有关函数的表达式.7.(2014广州,24,14分)已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)、B(4,0),抛物线y=ax2+bx-2(a0)过点A、B,顶点为C,点P(m,n)(n,当APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C、P,是否存在t,使得首尾依次连接A、B、P、C所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向
33、;若不存在,请说明理由.32502t 解析解析(1)抛物线过A、B两点,解得抛物线的解析式为y=x2-x-2.解析式转化为顶点式为y=-,顶点C的坐标为.(2)由题意知点P在x轴的下方,设抛物线和y轴的交点为D,则D(0,-2),连接AD、BD.当点P与点D重合时,AD=,BD=2,AB=5,故AD2+BD2=AB2,即ADB=90.由抛物线的对称性可得,点D关于抛物线对称轴的对称点E(3,-2)满足AEB=90,以AB为直径作圆,则D、E均在圆上,抛物线上点A到D及E到B之间的部分在圆内,当P在这两个范围内运动时,满足APB为钝角,m的取值范围为-1m0或3m,P的坐标为(3,-2),将BP
34、沿PC方向平移,使得P与C重合,B落在B处,作直线y=-,则C在这条直线上,以y=-这条直线为对称轴,作B的对称点B,连接AB,AB与CP(CP)为定值,当C为AB与直线y=-的交点时,所求周长有最小值,根据平移性质可得,B的坐标为,B的坐标为,3225825825859,28541,28设直线AB的解析式为y=kx+b(k0),解得y=-x-,当y=-时,x=,-=.t=,抛物线应该向左平移.0,541,28kbkb 41,2841,28kb 41284128258938232938215411541考点一考点一 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质B组 2014-2018年全国中考题组
35、1.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3答案答案D因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选项B错误;当x-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=-3,选项D正确.故选D.思路分析思路分析根据题中的函数解析式以及二次函数的性质,可以判断各个选项中的结论是否成立,从而解答本题.解题关键解题关键解答本题的关键是理解
36、二次函数的性质,会用配方法求二次函数的最值.2.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2答案答案Dy=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).当0ay2B.y1y2C.y1y2D.y1y2答案答案Dy2-
37、y1=2x2-4x+2=2(x-1)2,无论x取何值,(x-1)20,y2y1,故选D.一题多解一题多解根据函数图象可以看出对于同一个x的值,都有y1y2.4.(2016天津,12,3分)已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1x3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或3答案答案B当h3时,二次函数在x=3处取最小值,此时(3-h)2+1=5,解得h1=5,h2=1(舍去).当1h3时,二次函数在x=h处取最小值1,不符合题意.当h1时,二次函数在x=1处取最小值,此时(1-h)2+1=5,解得h1=-1,
38、h2=3(舍去).h=-1或5.故选B.5.(2017新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0),且对称轴为直线x=1,有下列结论:abc0;抛物线经过点(4,y1)与点(-3,y2),则y1y2;无论a,b,c取何值,抛物线都经过同一个点;am2+bm+a0.其中所有正确的结论是.,0ca答案答案解析解析因为图象开口向上,所以a0;因为对称轴为直线x=1,所以-=1,得b=-2a0;因为抛物线与y轴的交点在负半轴上,所以c0,错误;由题图可知抛物线与x轴交于点(-1,0),且对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),所以当x=3时,y=0,即9
39、a+3b+c=0,所以10a+3b+c=a0,正确;由抛物线的对称性可知,点(-3,y2)关于对称轴的对称点是(5,y2),当x1时,y随x的增大而增大,因为45,所以y1y2,错误;由题意知抛物线的解析式可以为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,结合y=ax2+bx+c可知c=-3a,即-=3.当x=3时,y=a32-2a3-3a=0,所以抛物线一定过点(3,0),即过点,正确;因为b=-2a,所以am2+bm+a=am2-2am+a=a(m-1)20,正确.综上所述,正确.2baca,0ca6.(2016河南,13,3分)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx
40、+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.答案答案(1,4)解析解析把A(0,3),B(2,3)分别代入y=-x2+bx+c中,得解得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.y=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,该抛物线的顶点坐标为(1,4).3,342,cbc 3,2,cb7.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.2答案答案y2y1y3解析解析解法一:A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上,y1=3,y2=5-4,y3=15.5-431
41、5,y2y1y3.解法二:设A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3.y=(x-2)2-1,对称轴为直线x=2,d1=2,d2=2-,d3=4,2-20,y2y1y3.222228.(2014浙江宁波,23,10分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.解析解析(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)
42、三点,(2分)a=,b=-,c=-1,二次函数的解析式为y=x2-x-1.(4分)(2)当y=0时,有x2-x-1=0,(5分)x1=2,x2=-1,(6分)点D的坐标为(-1,0).(7分)(3)图象如图.(8分)420,1,1645,abccabc 121212121212所求的x的取值范围为-1x4.(10分)考点二考点二 二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程的联系1.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:抛物线经过点(1,0);方程ax2+bx+c=2有两个不相等
43、的实数根;-3a+b0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b3.故正确.故选C.2ba思路分析思路分析抛物线经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,由对称性可以判断错误;由条件得抛物线开口向下,作直线y=2,直线与抛物线有两个交点,可判断正确;根据抛物线所经过的点及对称轴的位置,可判断正确,从而得结论.解后反思解后反思本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系,二次函数与一元二次方程的关系,不等式的性质等知识,a的符号决定抛物线的开口方向,-的符号决定抛物线对称轴的位置,c的值决定
44、了抛物线与y轴的交点坐标.2ba2.(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.3x11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16答案答案C由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一个近似根是1.2,故选C.3.(2015江苏苏州,8,3分)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为()A.x1=0,x2=4B.x1=1,
45、x2=5C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=5答案答案D设二次函数y=x2+bx的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2,则x1+x2=-b,由题意知函数图象的对称轴为直线x=2,则=2,所以x1+x2=4,得b=-4.代入方程得x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,故选D.122xx4.(2016宁夏,10,3分)若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是.答案答案m0,解得m1.所以m的取值范围是m0,所以直线l与该抛物线总有两个交点.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1),易知x1
46、+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2,所以OAB的面积S=OC|x1-x2|=12=.21212226.(2017新疆,23,13分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.(1)求点A,B,C的坐标;(2)将ABC绕AB中点M旋转180,得到BAD.求点D的坐标;判断四边形ADBC的形状,并说明理由;(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使BMP与BAD相似?若存在,请直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.1232解析解析(1)令y=-x2+x+2=0,解得x1=-1,x2=4,所以点A的坐标为(-1
47、,0),点B的坐标为(4,0),当x=0时,y=2,所以点C的坐标为(0,2).(2)过点D作DEx轴于点E,将ABC绕AB中点M旋转180,得到BAD,AOC BED,DE=OC=2,AO=BE=1,OB=4,OE=4-1=3,点D的坐标为(3,-2).1232将ABC绕AB中点M旋转180,得到BAD,AC=BD,AD=BC,四边形ADBC是平行四边形,AC=,BC=2,AB=5,AC2+BC2=AB2,ACB是直角三角形,且ACB=90,四边形ADBC是矩形.(3)点P的坐标为(1.5,1.25),(1.5,-1.25),(1.5,5)或(1.5,-5).详解:点A的坐标为(-1,0),
48、点B的坐标为(4,0),点M为AB的中点,OM=1.5,MB=2.5.由(2)得AC=BD=,AD=BC=2.当BMPADB时,=,221252224555BMMPADBD21=,PM=1.25,点P的坐标为(1.5,1.25)或(1.5,-1.25).当BMPBDA时,=,=,PM=5,点P的坐标为(1.5,5)或(1.5,-5).综上所述,点P的坐标为(1.5,1.25),(1.5,-1.25),(1.5,5)或(1.5,-5).2.5MP21BMMPBDAD122.5MP12思路分析思路分析(1)令y=-x2+x+2=0,所得的解即为点A,B的横坐标,抛物线与y轴交点C的纵坐标,可通过代
49、入x=0求得;(2)过点D作DEx轴于点E,根据AOC BED得出BE=OA=1,OC=DE=2,进而得出D点坐标;利用矩形的判定定理得出四边形ADBC的形状;(3)分情况讨论:BMPADB;BMPBDA.1232易错警示易错警示求点P的坐标时,除了注意BM可与AD或BD对应之外,点P也可以在x轴的上下两侧,不要漏解.7.(2016河南,23,11分)如图1,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BDPD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式
50、;(2)当BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;(3)如图2,将BDP绕点B逆时针旋转,得到BDP,且旋转角PBP=OAC,当点P的对应点P落在坐标轴上时,请点P的坐标.图14323直接写出解析解析(1)由直线y=-x+n过点C(0,4),得n=4,直线的解析式为y=-x+4.当y=0时,0=-x+4,解得x=3,A(3,0).(1分)抛物线y=x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-2),抛物线的解析式为y=x2-x-2.(3分)(2)点P的横坐标为m,P,D(m,-2).(4分)若BDP为等腰直角三角形,则PD=BD.当点P在直线BD上方时,PD=m2-m.(i)若点P在y轴左侧,
