1、要点梳理要点梳理1.1.二项式定理二项式定理 .这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（多项式叫做（a a+b b）n n的二项展开式，其中的系数的二项展开式，其中的系数 （r r=0=0，1 1，2 2，n n）叫做）叫做 .式中的式中的 叫做二项展开式的叫做二项展开式的 ，用，用T Tr r+1+1表示，即展开式的表示，即展开式的第第 项；项；T Tr r+1+1=.10.3 10.3 二项式定理及其应用二项式定理及其应用rrnrnnnnnnnnbababaabaCCCC)(2221110)N(CnbnnnrnC二项式系数二项式系数r
2、rnrnbaC通项通项r r+1+1rrnrnbaC基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.二项展开式形式上的特点二项展开式形式上的特点 （1 1）项数为）项数为 .（2 2）各项的次数都等于二项式的幂指数）各项的次数都等于二项式的幂指数n n，即，即a a与与b b的指数的和为的指数的和为 .（3 3）字母）字母a a按按 排列，从第一项开始，次数由排列，从第一项开始，次数由n n逐逐项减项减1 1直到零；字母直到零；字母b b按按 排列，从第一项起，次排列，从第一项起，次数由零逐项增数由零逐项增1 1直到直到n n.（4 4）二项式的系数从）二项式的系数从 ，一直到，一直到 ，.n n+
3、1+1n n降幂降幂升幂升幂0Cn1Cn1CnnnnC3.3.二项式系数的性质二项式系数的性质 （1 1）对称性：与首末两端）对称性：与首末两端 的两个二项式的两个二项式系数相等，即系数相等，即 （2 2）增减性与最大值：二项式系数）增减性与最大值：二项式系数 ，当，当 时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递增的；当 时，二项时，二项式系数是递减的式系数是递减的.当当n n是偶数时，是偶数时，中间的一项中间的一项 取得最大值取得最大值.当当n n是奇数时，中间两项是奇数时，中间两项 和和 相等，且相等，且同时取得最大值同时取得最大值.“等距离等距离”.CCmnnmnknC21nk21nk
4、21Cnn21Cnn2Cnn（3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和（a a+b b）n n的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于2 2n n，即，即 =2=2n n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 奇数奇数项的二项式系数的和，即项的二项式系数的和，即 =.nnrnnnnCCCCC210531CCCnnn20CCnn4Cn12n等于等于基础自测基础自测1.1.二项式（二项式（a a+2+2b b）n n展开式中的第二项的系数是展开式中的第二项的系数是8 8，则，则它的第三项的二项式系数为它的第三项的二项式系数为（）A.24
5、A.24B.18B.18 C.16 C.16 D.6D.6 解析解析 T T2 2=所以所以2 2n n=8=8，n n=4,=4,所以所以 =6.=6.D,2C)2(C11111babannnn2Cn24C2.2.（20092009浙江理，浙江理，4 4）在二项式在二项式 的展开式中，的展开式中，含含x x4 4的项的系数是的项的系数是（）A.-10A.-10B.10B.10 C.-5 D.5 C.-5 D.5 解析解析 的展开式的通项为的展开式的通项为 令令10-310-3r r=4,=4,得得r r=2,=2,x x4 4项的系数为项的系数为 =10.=10.B52)1(xx 52)1(
6、xx 25C.C)1()1(C3105)5(25rrrrrrrxxx3.3.若对于任意实数若对于任意实数x x,有有x x3 3=a a0 0+a a1 1(x x-2)+-2)+a a2 2(x x-2)-2)2 2+a a3 3(x x-2)2)3 3,则则a a2 2的值为的值为（）A.3A.3B.6B.6C.9C.9D.12D.12 解析解析 x x3 3=2+2+（x x-2-2）3 3，展开式中含（展开式中含（x x-2-2）2 2项的系数为项的系数为 a a2 2=T T2+12+1=2 23-23-2=3=32=6.2=6.B23C4.4.在在 的展开式中，常数项为的展开式中，
7、常数项为1515，则，则n n的一个值的一个值 可以是可以是（）A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6 解析解析 通项通项T Tr r+1+1=常数项是常数项是1515，则，则2 2n n=3=3r r,且且 =15=15，验证，验证n n=6=6时，时，r r=4=4合题意合题意.DrnC,C)1()1()(C322rnrnrrrnrnxxxnxx)1(25.5.（20092009北京理，北京理，6 6）若（若（1+1+）5 5=a a+b b (a a、b b为为有理数有理数)，则，则a a+b b=（）A.45A.45B.55B.55C.70C.70D.80D.80 解析解析
8、(1+)(1+)5 5=1+5 +20+20 +20+4=1+5 +20+20 +20+4 =41+29 =41+29 =a a+b b ,a a=41,=41,b b=29.=29.22C222222又又a a、b b为有理数为有理数,a a+b b=41+29=70.=41+29=70.题型一题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数求展开式中的特定项或特定项的系数【例例1 1】在二项式】在二项式 的展开式中，前三项的的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项数最大的项.利用已知条件前三项的系数成等差数利用已知条件前
9、三项的系数成等差数列求出列求出n n,再用通项公式求有理项再用通项公式求有理项.解解 二项展开式的前三项的系数分别是二项展开式的前三项的系数分别是1 1，n n（n n-1-1），），2 =1+2 =1+n n（n n-1-1），），解得解得n n=8=8或或n n=1=1（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），思维启迪思维启迪2n812n81nxx)21(4题型分类题型分类 深度剖析深度剖析当当4-4-k kZ Z时，时，T Tk k+1+1为有理项，为有理项，00k k88且且k kZ Z,k k=0=0，4 4，8 8符合要求符合要求.故有理项有故有理项有3 3项，分别是项，分别是T T
10、1 1=x x4 4，T T5 5=x x，T T9 9=x x-2-2.n n=8=8，展开式中共展开式中共9 9项，项，中间一项即第中间一项即第5 5项的二项式系数最大且为项的二项式系数最大且为T T5 5=x x.求二项展开式中的指定项，一般是利用求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数数为整数等），解出项数k k+1+1，代回通项公式即可，代回通项公式即可.438352561835探究提高探究提高
11、,2C)21(C434842881kkkkkkkxxxT知能迁移知能迁移1 1 已知已知 的展开式的二项式系数的展开式的二项式系数和比（和比（3 3x x-1-1）n n的展开式的二项式系数和大的展开式的二项式系数和大992.992.求求 的展开式中，的展开式中，（1 1）二项式系数最大的项；）二项式系数最大的项；（2 2）系数的绝对值最大的项）系数的绝对值最大的项.解解 由题意知，由题意知，2 22 2n n-2-2n n=992,=992,即即(2(2n n-32)(2-32)(2n n+31)=0,2+31)=0,2n n=32,=32,解得解得n n=5.=5.（1 1）由二项式系数的
12、性质知，）由二项式系数的性质知，的展开式中的展开式中第第6 6项的二项式系数最大，即项的二项式系数最大，即 =252.=252.nxx223)(nxx2)12(10)12(xx510C.80462C)1()2(C5510555106xxT（2 2）设第）设第r r+1+1项的系数的绝对值最大，项的系数的绝对值最大，r rZ Z，r r=3.=3.故系数的绝对值最大的是第故系数的绝对值最大的是第4 4项，项，T T4 4=-2=-27 7x x4 4=-15 360=-15 360 x x4 4.310C110110101011011010102101010101012C2C2C2C,2C)1(
13、)1()2(CrrrrrrrrrrrrrrrrxxxT,10)1(2211,CC2C2C1101011010rrrrrrrr即得,31138 r解得题型二题型二 求展开式中各项系数之和求展开式中各项系数之和【例例2 2】已知】已知(1-2(1-2x x)7 7=a a0 0+a a1 1x x+a a2 2x x2 2+a a7 7x x7 7.求求:(1):(1)a a1 1+a a2 2+a a7 7;(2)(2)a a1 1+a a3 3+a a5 5+a a7 7;(3)(3)a a0 0+a a2 2+a a4 4+a a6 6;(4)|(4)|a a0 0|+|+|a a1 1|+
14、|+|a a2 2|+|+|a a7 7|.|.因为求的是展开式的系数和因为求的是展开式的系数和,所以可用所以可用赋值法求解赋值法求解.解解 令令x x=1,=1,则则a a0 0+a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5+a a6 6+a a7 7=-1 =-1 令令x x=-1,=-1,则则a a0 0-a a1 1+a a2 2-a a3 3+a a4 4-a a5 5+a a6 6-a a7 7=3=37 7 思维启迪思维启迪(1)(1)a a0 0=1,=1,a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a7 7=-2.=-2.(2)(2)(-)2,2,得
15、得a a1 1+a a3 3+a a5 5+a a7 7=-1 094.=-1 094.(3)(3)(+)2,2,得得a a0 0+a a2 2+a a4 4+a a6 6=1 093.=1 093.(4)(1-2(4)(1-2x x)7 7展开式中展开式中,a a0 0,a a2 2,a a4 4,a a6 6都大于零都大于零,而而a a1 1,a a3 3,a a5 5,a a7 7都小于零都小于零,|a a0 0|+|+|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|a a7 7|=(=(a a0 0+a a2 2+a a4 4+a a6 6)-()-(a a1 1+a a3 3+a a5
16、 5+a a7 7),),=1093-=1093-（-1094-1094）=2 187=2 18707C23172317 探究提高探究提高 本题采用的是本题采用的是“赋值法赋值法”，它普遍适，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，经常要用到这种方法经常要用到这种方法.对形如（对形如（axax+b b）n n、（、（axax2 2+bxbx+c c）m m （a a，b b，c cR R,m m,n nN N*）的式子求其展开式的各项系数之）的式子求其展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令和，常用赋值法，只需令x x=1=1即可；
17、对（即可；对（axax+byby）n n （a a，b bR R，n nN N*）的式子求其展开式各项系数）的式子求其展开式各项系数之和，只需令之和，只需令x x=y y=1=1即可即可.一般地，若一般地，若f f（x x）=a a0 0+a a1 1x x+a a2 2x x2 2+a an nx xn n，则，则f f（x x）展开式中各项系数之和为展开式中各项系数之和为f f（1 1），奇数项系数之和），奇数项系数之和为为a a0 0+a a2 2+a a4 4+=+=，偶数项系数之和为，偶数项系数之和为a a1 1+a a3 3+a a5 5+=+=2)1()1(ff.2)1()1(f
18、f知能迁移知能迁移2 2 设（设（2-2-x x）100100=a a0 0+a a1 1x x+a a2 2x x2 2+a a100100 x x100100,求下列各式的值：求下列各式的值：(1)(1)a a0 0;(2)(2)a a1 1+a a3 3+a a5 5+a a9999;(3)(3)(a a0 0+a a2 2+a a4 4+a a100100)2 2-(-(a a1 1+a a3 3+a a9999)2 2;(4)|(4)|a a0 0|+|+|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|a a100100|.|.解解 （1 1）方法一方法一 由（由（2-2-x x）10
19、0100展开式中的常展开式中的常 数项为数项为 22100100，得，得a a0 0=2=2100100.方法二方法二 令令x x=0=0，则展开式可化为，则展开式可化为a a0 0=2=2100100.（2 2）令）令x x=1,=1,得得a a0 0+a a1 1+a a2 2+a a9999+a a100100=(2-)=(2-)100100 令令x x=-1,=-1,可得可得a a0 0-a a1 1+a a2 2-a a3 3+a a100100=(2+)=(2+)100100330100C33联立联立得得a a1 1+a a3 3+a a9999=(3)(3)原式原式=（a a0
20、0+a a2 2+a a100100）+（a a1 1+a a3 3+a a9999）（a a0 0+a a2 2+a a100100）-（a a1 1+a a3 3+a a9999）=（a a0 0+a a1 1+a a2 2+a a100100）(a a0 0-a a1 1+a a2 2-a a3 3+a a9898-a a9999+a a100100)=(2-)=(2-)100100(2+)(2+)100100=1.=1.(4)(4)展开式中，展开式中，a a0 0,a a2 2,a a4 4,a a100100大于零，而大于零，而a a1 1,a a3 3,a a9999小于零，小于零
21、，原式原式=a a0 0-a a1 1+a a2 2-a a3 3+a a9898-a a9999+a a100100=(2+)=(2+)100100.2)32()32(100100333题型三题型三 二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用【例例3 3】（1212分）（分）（1 1）求证：）求证：4 46 6n n+5+5n n+1+1-9-9是是2020的倍的倍数（数（n nN N*）；）；（2 2）今天是星期一，再过）今天是星期一，再过3 3100100天是星期几？天是星期几？（1 1）将）将6 6n n化为（化为（5+15+1）n n，5 5n n+1+1化为化为5(4+1)5(4+1
22、)n n利用二项式定理展开，提取公因数利用二项式定理展开，提取公因数20.20.（2 2）3 3100100被被7 7除余几？关键是如何产生除余几？关键是如何产生7.7.3 3100100=9=95050=（7+27+2）5050；2 25050=4=48 81616=4=4（7+17+1）1616.（1 1）证明证明 （运用二项式定理证）（运用二项式定理证）4646n n+5+5n n+1+1-9=4(5+1)-9=4(5+1)n n+5+5（4+14+1）n n-9 3-9 3分分 =4=4 -9 -9思维启迪思维启迪11011104C4(C5)15C5C5(Cnnnnnnnnnn)14C
23、1nn解题示范解题示范 故结论成立故结论成立.6.6分分（2 2）解解 33100100=9=95050=（7+27+2）5050=7=75050220 0+7+74949221 1+72+724949+7+70 0225050=7=7MMn n+2+25050，(MMn nN N*），），99分分 又又2 25050=2=23 316+216+2=4=48 81616=4(1+7)=4(1+7)1616=4(+7 +7=4(+7 +72 2 +7+716 16 )=4+7=4+7N Nn n(N Nn nN N*),),33100100被被7 7除余数是除余数是4 4，故再过，故再过3 31
24、00100天是星期五天是星期五.12.12分分 050C150C4950C5050C016C116C216C1616C)C4C4(C)C5C5(C2012110412110nnnnnnnnnnn 探究提高探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了（或者是前面）一、二项就可以了.同时，要注意余数的范围，同时，要注意余数的范围，a a=crcr+b b，其中余数，
25、其中余数b b0 0，r r），），r r是除数，利用二项式定理展开变形后，是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换若剩余部分是负数要注意转换.知能迁移知能迁移3 3 求证：（求证：（1 1）3 32 2n n+2+2-8-8n n-9-9能被能被6464整除整除（n nN N*）；）；（2 2）3 3n n(n n+2)2+2)2n n-1-1 （n nN N*，n n22）.证明证明 （1 1）332 2n n+2+2-8-8n n-9=3-9=32 2332 2n n-8-8n n-9-9 =99 =99n n-8-8n n-9=9-9=9（8+18+1）n n-8-
26、8n n-9-9 =9 =9（8 8n n+8+8n n-1-1+8+1+8+1）-8-8n n-9-9 =9 =9（8 8n n+8+8n n-1-1+8+82 2）+98+98n n+9-8+9-8n n-9-9 =9 =98 82 2（8 8n n-2-2+8+8n n-3-3+）+64+64n n =64 =649 9（8 8n n-2-2+8+8n n-3-3+）+n n，显然括号内是正整数，显然括号内是正整数，原式能被原式能被6464整除整除.0Cn1Cn1CnnnnC1Cn2Cnn1Cn2Cnn1Cn2Cnn（2 2）利用二项式定理）利用二项式定理3 3n n=(2+1)=(2+
27、1)n n展开证明展开证明.因为因为n nN N*，且，且n n2,2,所以所以3 3n n=(2+1)=(2+1)n n展开后至少有展开后至少有4 4项项.（2+12+1）n n=2=2n n+2+2n n-1-1+2+12+2+12n n+n n22n n-1-1+2+2n n+12+12n n+n n22n n-1-1=(=(n n+2)2+2)2n n-1-1,故故3 3n n(n n+2)2+2)2n n-1-1.1Cn1Cnn方法与技巧方法与技巧1.1.通项公式最常用，是解题的基础通项公式最常用，是解题的基础.2.2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特对三项或三项以上的展开
28、问题，应根据式子的特 点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性和简捷性.3.3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项公式讨论对项公式讨论对r r的限制；求有理项时要注意到指数的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性及项数的整数性.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高4.4.性质性质1 1是组合数公式是组合数公式 的再现，性质的再现，性质2 2是从是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质函数的角度研究
29、的二项式系数的单调性，性质3 3是是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和和.5.5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法式各项系数和的一种重要方法.6.6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用到二项展开式
30、中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用要的方法，同时注意二项式定理的逆用.rnnrn CC失误与防范失误与防范1.1.要把要把“二项式系数的和二项式系数的和”与与“各项系数和各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严严格地区别开来格地区别开来.2.2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生
31、易出错生易出错.3.3.通项公式是第通项公式是第r r+1+1项而不是第项而不是第r r项项.一、选择题一、选择题1.1.（20092009重庆理，重庆理，3 3）(x x2 2+)+)8 8的展开式中的展开式中x x4 4的系的系数是数是（）A.16A.16B.70 B.70 C.560C.560D.1 120D.1 120 解析解析 设二项式展开式的第设二项式展开式的第r r+1+1项含有项含有x x4 4,则则T Tr r+1+1=(x x2 2)8-8-r r（）r r.16-2 16-2r r-r r=4,=4,r r=4.=4.x x4 4的系数为的系数为 224 4=1 120.
32、=1 120.Dx2x2r8C48C定时检测定时检测2.2.在在 的展开式中，的展开式中，x x的幂的指数是整数的项共的幂的指数是整数的项共 有有（）A.3A.3项项B.4B.4项项C.5C.5项项D.6D.6项项 解析解析 T Tr r+1+1=故当故当r r=0,6,12,18,24=0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共时，幂指数为整数，共5 5项项.C243)1(xx,C)1()(C65122432424rrrrrxxx3.3.在在 的展开式中，只有第的展开式中，只有第5 5项的二项式系数项的二项式系数最大，则展开式中常数项是最大，则展开式中常数项是（）A.-7A.-7B.7B.
33、7 C.-28 C.-28D.28D.28 解析解析 只有第只有第5 5项的二项式系数最大，则展开式共项的二项式系数最大，则展开式共9 9项，即项，即n n=8=8，当当r r=6=6时为常数项，时为常数项，T T7 7=7.=7.Bnxx)12(3,)21()1(C)1()2(C438883881rrrrrrrrxxxT4.4.展开式的第三项为展开式的第三项为1010，则，则y y关于关于x x的函数的函数图象的大致形状为图象的大致形状为（）53)(xy 解析解析 T T3 3=10=10 xyxy=10=10，得得y y=，且，且x x0,0,故选故选D.D.答案答案 D5.5.已知已知
34、展开式中常数项为展开式中常数项为1 1201 120，其中实数，其中实数a a为为常数，则展开式中各项系数的和为常数，则展开式中各项系数的和为（）A.2A.28 8B.3B.38 8 C.1 C.1或或3 38 8D.1D.1或或2 28 823325)()(Cxyx18)(xax 解析解析 T Tk k+1+1=为常数项为常数项,k k=4=4且且 （-a a）4 4=1 120=1 120，a a4 4=16=16，a a=2,2,当当a a=2=2时，令时，令x x=1,=1,得各项系数和为得各项系数和为(1-)(1-)8 8=1=1；当当a a=-2=-2时，令时，令x x=1=1，得
35、各项系数和为，得各项系数和为(1+)(1+)8 8=3=38 8.答案答案 C Ckkkkkk28888)(C)(Cxaxax48C12126.6.的值为的值为（）A.2A.2n nB.2B.22 2n n-1-1 C.2 C.2n n-1-1D.2D.22 2n n-1-1-1-1 解析解析 （1+1+x x）2 2n n=令令x x=1=1得得 再令再令x x=-1=-1得得 两式相加，再由两式相加，再由 =1=1，得得k224222CCCnnnnn22CD3322221202CCCCxxxnnnn.C222nnnx;2CCCCC222122221202nnnnnnnn1222221202
36、CC)1(CCCnnrnrnnn.0C22nn02Cn.12122CCC122224222nnnnnn二、填空题二、填空题7.7.已知已知n n为正偶数，且（为正偶数，且（x x2 2-）n n的展开式中第的展开式中第4 4项的项的二项式系数最大，则第二项式系数最大，则第4 4项的系数是项的系数是 .（用数（用数字作答）字作答）解析解析 n n为正偶数，且第为正偶数，且第4 4项二项式系数最大，故展开项二项式系数最大，故展开 式共式共7 7项，项，n n=6=6，第，第4 4项系数为项系数为x2125.25)21(C3368.8.在（在（1-1-x x3 3）(1+(1+x x)6 6的展开式
37、中，的展开式中，x x5 5的系数为的系数为 .（用数字作答）（用数字作答）解析解析 因为因为(1+(1+x x)6 6的通项是的通项是T Tr r+1+1=x xr r,令令r r=5=5得得T T6 6=x x5 5;令令r r=2=2得得T T3 3=x x2 2,所以（所以（1-1-x x3 3）(1+(1+x x)6 6展开式展开式中中x x5 5的系数为的系数为 -=-9.-=-9.-9-9r6C56C26C56C26C9.9.（20092009全国全国理，理，1313）（x x-y y）1010的展开式中，的展开式中，x x7 7y y3 3的系数与的系数与x x3 3y y7
38、7的系数之和等于的系数之和等于 .解析解析 (x x-y y)1010的展开式中含的展开式中含x x7 7y y3 3的项为的项为 x x10-310-3y y3 3 (-1)(-1)3 3=-=-x x7 7y y3 3,含含x x3 3y y7 7的项为的项为 x x10-710-7y y7 7(-1)(-1)7 7=由由 =120=120知，知，x x7 7y y3 3与与x x3 3y y7 7的系数之和为的系数之和为-240.-240.-240-240310C310C710C.C73710yx710310CC三、解答题三、解答题10.10.已知在已知在 的展开式中，第的展开式中，第6
39、 6项为常数项项为常数项.（1 1）求）求n n；（2 2）求含）求含x x2 2项的系数；项的系数；（3 3）求展开式中所有的有理项）求展开式中所有的有理项.解解 （1 1）通项公式为）通项公式为T Tr r+1+1=，第第6 6项为常数项，项为常数项，r r=5=5时，有时，有 =0=0，即，即n n=10.=10.nxx)21(3333)21(Crrrnrnxx32)21(Crnrrnx32rn（2 2）令）令 =2,=2,得得r r=(=(n n-6)=2,-6)=2,所求的系数为所求的系数为 Z Z,0 0r10,10,rZ Z,令令 =k k(k kZ Z),),则则10-210-
40、2r r=3=3k k，即，即r r=5-=5-k k.r rZ Z，k k应为偶数应为偶数.k k可取可取2,0,-22,0,-2，即，即r r可取可取2,5,8.2,5,8.第第3 3项，第项，第6 6项与第项与第9 9项为有理项，它们分别为项为有理项，它们分别为（3 3）根据通项公式，由题意得）根据通项公式，由题意得2332rn21.445)21(C22103210r3210r.)21(C,)21(C,)21(C28810551022210 xx11.11.已知已知 展开式的前展开式的前3 3项系数的和为项系数的和为129129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？若没有，这个展开式中是
41、否含有常数项、一次项？若没有，请说明理由；若有，请求出来请说明理由；若有，请求出来.解解 T Tr r+1+1=（r r=0=0，1 1，2 2，n n），），由题意得由题意得 1+21+2n n+2+2（n n-1-1）n n=129=129，n n2 2=64,=64,n n=8.=8.nxxx)2(3rrnrnxxx)2()(C361192Crnrrnx,1292C2C2C22100nnn故故T Tr r+1+1=（r r=0=0，1 1，2 2，8 8）.若展开式存在常数项，则若展开式存在常数项，则 =0=0，72-1172-11r r=0=0，r r=N N，展开式中没有常数项展开式
42、中没有常数项.若展开式存在一次项，则若展开式存在一次项，则 =1,=1,72-1172-11r r=6,=6,r r=6,=6,展开式中存在一次项，它是第展开式中存在一次项，它是第7 7项，项，T T7 7=2=26 6x x=1 792=1 792x x.68C6117282Crrrx61172r61172r117212.12.已知已知f f(x x)=(1+)=(1+x x)m m+(1+2+(1+2x x)n n(m m,n nN N*)的展开式中的展开式中 x x的系数为的系数为11.11.（1 1）求）求x x2 2的系数的最小值；的系数的最小值；（2 2）当）当x x2 2的系数取
43、得最小值时，求的系数取得最小值时，求f f（x x）展开式）展开式 中中x x的奇次幂项的系数之和的奇次幂项的系数之和.解解 （1 1）由已知）由已知 =11=11，m m+2+2n n=11=11，x x2 2的系数为的系数为 +2+2n n（n n-1-1）m mN N*，m m=5=5时，时，x x2 2的系数取最小值的系数取最小值2222，此，此 时时n n=3.=3.11C2Cnm2)1(C2C222mmnm.16351)421()1211)(11(222mmmmm（2 2）由（）由（1 1）知，当）知，当x x2 2的系数取得最小值时，的系数取得最小值时，m m=5=5，n n=3
44、=3，f f（x x）=（1+1+x x）5 5+（1+21+2x x）3 3.设这时设这时f f（x x）的展开式为）的展开式为f f(x x)=)=a a0 0+a a1 1x x+a a2 2x x2 2+a a5 5x x5 5,令令x x=1,=1,a a0 0+a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5=2=25 5+3+33 3,令令x x=-1,=-1,a a0 0-a a1 1+a a2 2-a a3 3+a a4 4-a a5 5=-1,=-1,两式相减得两式相减得2(2(a a1 1+a a3 3+a a5 5)=60,)=60,故展开式中故展开式中x x的奇次幂项的系数之和为的奇次幂项的系数之和为30.30.返回返回
