1、上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先2011-05-101第第6 6章章 波动波动 小结小结教学要求：教学要求：1、掌握掌握波速、波长、波的频率和周期的概念及其相互波速、波长、波的频率和周期的概念及其相互关系。关系。会会由已知平面简谐波波动表达式采用比较法由已知平面简谐波波动表达式采用比较法求波幅、波速、波长、频率、周期等物理量；求波幅、波速、波长、频率、周期等物理量；2、理解理解波动表达式（波函数）的物理意义，波动表达式（波函数）的物理意义，掌握掌握由已由已知质点的振动表达式知质点的振动表达式得出得出平面简谐波波动表达式的平面简谐波波动表达式的方法方法,会由已知质点的振动表达式会由已
2、知质点的振动表达式求出求出平面简谐波波平面简谐波波动表达式。动表达式。3、掌握掌握波的叠加原理和波的相干条件；波的叠加原理和波的相干条件；掌握掌握波的波的干涉干涉相长和干涉相消相长和干涉相消的条件的条件;能应用能应用相位差和波程差相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件并分析、解决相关问题（并分析、解决相关问题（确定干涉加强和干涉减确定干涉加强和干涉减弱的位置）等。弱的位置）等。上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先2一、波的表示方法一、波的表示方法 解析法和波动图（曲）线法。解析法和波动图（曲）线法。xtAxTtAuxtAy2c
3、os2coscosxOuAyx1x2a.可表示振幅可表示振幅A，波长波长；2xxub.波形图中波形图中 两质点的相位差两质点的相位差:d.各质点的振动速度的方向：各质点的振动速度的方向：c c、波形沿传播方向平移；、波形沿传播方向平移；utyxOx1x2uA上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先3二、描述波动特征的物理量：二、描述波动特征的物理量：波幅、频率、周期、角频率、波长、波速、等波幅、频率、周期、角频率、波长、波速、等)(sinuxtAtyvT22uTX X处质点处质点的振动速度，加速度的振动速度，加速度:)(cos222uxtAtya上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先
4、4三、平面简谐波动中，常见的求解问题有三、平面简谐波动中，常见的求解问题有3 3类：类：1 1、根据已知的波形图或者波函数，根据已知的波形图或者波函数，求波长、频率、周期、求波长、频率、周期、角频率等描述波动特征的物理量；角频率等描述波动特征的物理量；此类题将已知的波函数此类题将已知的波函数与波函数的标准形式进行对比，与波函数的标准形式进行对比，从对应各位置的量值关系即可求出要求的量。从对应各位置的量值关系即可求出要求的量。从波形图上直接求出波长、波幅等物理量。从波形图上直接求出波长、波幅等物理量。2 2、求波动方程、求波动方程 波动方程是用数学函数式来描述波动方程是用数学函数式来描述介质中各
5、个质点的位移介质中各个质点的位移是是怎样随着质点的平衡位置和时间而变化的函数式，是全面怎样随着质点的平衡位置和时间而变化的函数式，是全面描述介质中波动现象的一个基本方程，式中有两个独立变描述介质中波动现象的一个基本方程，式中有两个独立变数，它反映了质点位移与质点平衡位置和时间间的关系。数，它反映了质点位移与质点平衡位置和时间间的关系。3 3、求解波的干涉问题、求解波的干涉问题*4 4、求解波的能量问题、求解波的能量问题上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先5求波动方程的一般方法是：求波动方程的一般方法是：1）、先根据题中条件）、先根据题中条件写出写出波传播方向上某点波传播方向上某点A（称
6、为始点，（称为始点，注意注意不一定是波源不一定是波源，也不一定是坐标原点也不一定是坐标原点）的振动方程）的振动方程2）、然后写出）、然后写出波线上波线上任一点任一点P P相对于该点振动滞后（或超前）的相对于该点振动滞后（或超前）的时间，时间，cosyAtAPxtuu cosyAtt注：注：传播速度方向与坐标轴正方向一致传播速度方向与坐标轴正方向一致 ,相对于该点滞后取相对于该点滞后取“”,”,超前取超前取“+”+”。t3 3）将）将 值代入振动方程式值代入振动方程式时间时间中中，即可得到波动方程，即可得到波动方程.上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先64 4）、也可将）、也可将任意任意
7、P P点点相对于相对于A A点落后或超前的点落后或超前的相位相位代入代入A A点的振动方程得出点的振动方程得出任意任意P P点的点的振动方程（波动振动方程（波动方程）方程）22APxcos2cos2xtxytT相位落后取相位落后取“”，超前取，超前取“+”+”。对同一波源：对同一波源：若波源在若波源在 x=x0 处，则处，则uxxtAy0cos上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先75 5、建立平面简谐波表达式、建立平面简谐波表达式,通常有以下几种类型：通常有以下几种类型：1）、已知波线上）、已知波线上某点的振动表达式、波的传播速度和某点的振动表达式、波的传播速度和传播方向。传播方向。可
8、直接套用建立波动表达式的步骤。可直接套用建立波动表达式的步骤。注：建立平面简谐波表达式的关键是注：建立平面简谐波表达式的关键是先求参考点（或先求参考点（或坐标原点）的振动（方程）表达式，坐标原点）的振动（方程）表达式，然后由坐标的然后由坐标的选取及波的传播方向找出，即得波动表达式。选取及波的传播方向找出，即得波动表达式。若传播方向（速度）与坐标轴正方向一致，若传播方向（速度）与坐标轴正方向一致，x处处质点振动相对参考点滞后时间取号。反之取质点振动相对参考点滞后时间取号。反之取+号。号。无论坐标原点如何选取，坐标轴正方向与传播方无论坐标原点如何选取，坐标轴正方向与传播方向相同或相反，向相同或相反
9、，任意点的振动表达式任意点的振动表达式（波动表达式波动表达式）都是不变的都是不变的（即波动表达式不变）。（即波动表达式不变）。上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先82）、）、已知某时刻的波形图、图上某点在该时刻的振已知某时刻的波形图、图上某点在该时刻的振 动方向和波的频率。动方向和波的频率。由波形图得振幅和波长，由某点的振动方向确定由波形图得振幅和波长，由某点的振动方向确定该点的初相位和波的传播方向，再按该点的初相位和波的传播方向，再按一般方法一般方法处理。处理。3）、）、已知某点的振动曲线、波的传播速度和传播已知某点的振动曲线、波的传播速度和传播方向。方向。由振动曲线写出该点的振动表
10、达式，再按由振动曲线写出该点的振动表达式，再按一般一般方法方法处理。处理。上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先91 1、波的叠加原理波的叠加原理 当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动是各个波当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动是各个波单独存在时在该点引起振动的合振动单独存在时在该点引起振动的合振动2 2、波的干涉、波的干涉 两列波的相干条件：频率相同，振动方两列波的相干条件：频率相同，振动方向相同，相位相同或相位差恒定向相同，相位相同或相位差恒定 2)(2)(121020krr干涉相长的条件干涉相长的条件 )12()(2)(121020krr干涉相消的条件干涉相消的条件 ,.3,2
11、,1,0 ,12kkrr ,.3,2,1,0 2)12(12kkrr四、波的叠加、干涉四、波的叠加、干涉对同一波源或对同一波源或 2020 1010=0=0上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先10 决定波的干涉是加强还是减弱，关键在于正确写决定波的干涉是加强还是减弱，关键在于正确写出两相干波在相遇点的波程差或相位差，出两相干波在相遇点的波程差或相位差，当波程差等于波长的整数倍（或相位差为当波程差等于波长的整数倍（或相位差为22的整的整数倍）时，干涉相长；数倍）时，干涉相长；当波程差等于半波长的奇数倍（或相位差为当波程差等于半波长的奇数倍（或相位差为的的奇数倍）时，干涉相消。奇数倍）时，
12、干涉相消。相位差与波程差之间的关系相位差与波程差之间的关系 式中式中为两列波在相遇点时的为两列波在相遇点时的波程差波程差（空气空气中的两点距离中的两点距离）。）。2上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先11一、填空题一、填空题（每小题（每小题4分，共分，共32分）分）一弹簧振子作简谐振动，振幅为一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周，周期为期为T，其运动方程用余弦函数表示，其运动方程用余弦函数表示，（1）振子在负的最大位移处，则初相）振子在负的最大位移处，则初相为为；（2）振子在平衡位置向正方向运动，）振子在平衡位置向正方向运动，则初相为则初相为。22308-09学年大学物理学年大学物理2期
13、中试卷期中试卷上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先122无阻尼自由简谐振动其周期和频率由决定，其振幅和初相由决定。振动系统性质振动系统性质初始条件初始条件上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先133质量为m的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T，当它作振幅为A的自由简谐振动时，其振动能量为E。2222222211221 22/2EkAmAmAmATTcos()xyAtu4一平面简谐波的表达式为其中 表示，表示。xuy波从原点到波从原点到 x处所需时间处所需时间媒质质点的振动位移媒质质点的振动位移上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先145一平面简谐波沿x轴正向传
14、播，波动方程 ，则 处质点的振动方程是 ；该处质点的振动和 处质点的振动的相位差 。cos()4xyAtu11xL22xL 112112cos(),()4yAtLLLuu上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先156两相干波源的振动方程分别是 。距 点3个波长，距 点 个波长，两波在 点引起的两个振动的相位差的绝对值是 。1cosyAt2cos()2yAt1SP2SP214P41 1、先写出两波源分别在、先写出两波源分别在P P点引起的谐振动方程；再求点引起的谐振动方程；再求两位相差。两位相差。2 2、为什么不能利用相位差与波程差的关系式直接求？、为什么不能利用相位差与波程差的关系式直接求
15、？2两波动初相位不同。两波动初相位不同。上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先167*狭义相对论确论，时间和空间的测量值都是，它们与观察者的密切相关。相对的相对的运动状态运动状态上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先178*电子静止质量为 ，当电子以 的速率飞行时，该电子的总能量 。319.11 10kg0.99c_EJ2130225.8 101mEcJvc上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先18二、选择题二、选择题9.一质点以周期T作简谐振动，则从平衡位置到最大位移一半所需的最短时间为（）。（A）（B）（C）（D）2T12T6212TtT4T6T二、选择题二、选择题9.一
16、质点以周期T作简谐振动，则从平衡位置到最大位移一半所需的最短时间为（）。（A）（B）（C）（D）2T12T上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先1910一弹簧振子在光滑的水平面上作简谐振动，一弹簧振子在光滑的水平面上作简谐振动，已知振子的势能最大值为已知振子的势能最大值为 ，当振子在，当振子在最大最大位移一半处位移一半处时，其动能为（时，其动能为（）。）。100J100J75J50J25J（A）；（B）；（C）；（D）222212111 12224 275KPPKPEEEkAAEkxkkAEEEJ上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先20三、计算题（三、计算题（15分，分，14分，
17、分，15分）分）15.一质量为一质量为 的物体作简谐振动，其振幅为的物体作简谐振动，其振幅为 ，周期，周期 为为 ，当时，当时 ，位移为，位移为 ，求：，求：（1）物体的运动方程；）物体的运动方程；（2）时，物体所在的位置；时，物体所在的位置；（3）时，物体所受力的大小与方向。时，物体所受力的大小与方向。0.24m10g4.0s0t 0.24m0.5ts0.5ts0.240.24cos00.24cos2xt34.2 10Fm aN（1 1）x轴方向相反轴方向相反方向与方向与122rad sT解解（1 1）0.24cos(0.5)0.172xm（2 2）220.42axm s （3 3）上上海海
18、第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先2116.质点同时参与振动方程为质点同时参与振动方程为 ，的两个简谐振动，求合成简谐振动的的两个简谐振动，求合成简谐振动的振幅、初位相和振振幅、初位相和振动方程。动方程。14cos3xt cm22cos(3)xtcm221112212cos()2AAAA Acm11221122sinsinarctan0coscosAAAA2cos3xt cm第第1 1解法：解法：公式法：公式法：第第2 2解法：旋转解法：旋转矢量法：矢量法：由旋转矢量法知两振由旋转矢量法知两振动反相，合振动初相动反相，合振动初相位为零。圆频率不变。位为零。圆频率不变。oxMNA1A A2 2
19、A A上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先22 17.一横波沿绳子传播时的表达式为。一横波沿绳子传播时的表达式为。（1）求此波的振幅、波速、频率和波长；）求此波的振幅、波速、频率和波长；（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度；）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度；（3）画出）画出 时的波形。时的波形。0.05cos(104)()ytx SI1ts20.05cos(104)0.05cos10()5xytxt0.05Am5ZH12.5um s0.5um22max49.3aAm s解解（1 1）uxtAycos设：设：1max1.57VAm s（2 2）上上海海第第二二工工业业
20、大大学学刘刘传传先先23 1 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为一弹簧振子，弹簧的劲度系数为0.32 N/m，重物的质量为，重物的质量为0.02 kg，则这个系统的，则这个系统的固有频率为固有频率为_，相应的振动周期为，相应的振动周期为_0.64Hz解解2/Hz 64.0212mkmk5.02T课堂练习：课堂练习：1-14 1-14 题题 课堂未练习完部分，课后看。课堂未练习完部分，课后看。上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先242：14：12：1解解 2 两个简谐振动曲线如图所示，两个两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比简谐振动的频率之比 _，加速，加速度最大值之比度最大值之比
21、a1m：a2m=_，初始速率之，初始速率之比比 _.21:2010:vv1:2:2:1:2121TTAa2mAmvx1xx2to上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先25 3 一质点作周期为一质点作周期为T的简谐运动，质点的简谐运动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为（）所需的最短时间为（）(A）T/2 （B）T/4 (C)T/8 （D）T/12解解 用矢量图法求解用矢量图法求解A/2 AoMNx6/tT/212/Tt上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先26 4 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平一弹簧振子作简谐振动，当其偏
22、离平衡位置的衡位置的位移的大小位移的大小为为振幅的振幅的1/4时时，其动，其动能为振动总能量的（）能为振动总能量的（）(A）7/16 (B）9/16 (C）11/16 (D）13/16 (E）15/16 解解Ax41sum22psumk16151612121EkAkAEEE22p1612121kAkxEE Esum sum 振动总能量振动总能量上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先275 一质点作简谐振动，速度的最大值一质点作简谐振动，速度的最大值 ，振幅，振幅A=2 cm若令速度具有若令速度具有正最大值的那一时刻为正最大值的那一时刻为t=0，求振动表达式，求振动表达式解解t=0255m
23、Av)cos(2txcm)225cos(2tx1mscm 5vo x/cm速度具有正最大值的那一时刻为速度具有正最大值的那一时刻为t=0，得，得2速度具有正最大值的那一时刻为速度具有正最大值的那一时刻为t=0，得，得2上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先286 一质点作简谐运动，其振动方程为一质点作简谐运动，其振动方程为 试用旋转矢量法求试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到出质点由初始状态运动到 x=-0.12 m，v0的的状态所经过的最短时间状态所经过的最短时间 m)3121cos(24.0txto0.24解解13s 323tx/m-0.12上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传
24、先先29(1)的确定的确定(2)的确定的确定32cm)3234cos(2tx3434t)3/2cos(tAx32)cos(tAxx/cmt/s1-1-202-2ox/cm34 t=1-1t=0 解解 用矢量图法求解用矢量图法求解设运动方程为设运动方程为7 已知某简谐运动的运动曲线如图所示，位移的单位为已知某简谐运动的运动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间的单位为秒，厘米，时间的单位为秒，求此简谐运动的方程求此简谐运动的方程上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先30 8 用余弦函数描述一谐振子的运动，若其速度用余弦函数描述一谐振子的运动，若其速度-时间关系曲线如图所示，求运动时间关系曲线
25、如图所示，求运动的初相位的初相位解解)cos(tAx)sin()sin(mttAvvt/s-vm-0.5vmo)s(m-1v/m0.5sinmvv 115sinarcsin2266或因速度反相且增大，因速度反相且增大，则初相为则初相为 /6./6.祥细看下页祥细看下页；上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先3121sin21,0mvvt65or66由矢量图得由矢量图得o)sm/(1mv)sm/(1m-vt=02-mv6 65 t/s-vm-0.5vmo)s(m-1v/解解)cos(tAx)sin()sin(mttAvv讲到此页讲到此页上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先32解解l
26、1.50.451.05 ml21.5 m，左右摆长分别为：左右摆长分别为：9 一单摆的悬线长一单摆的悬线长l=1.5 m，在顶端固定点的铅，在顶端固定点的铅直下方直下方0.45 m处有一小钉，如图设两方摆动均较小，处有一小钉，如图设两方摆动均较小，问单摆的左右两方振幅之比问单摆的左右两方振幅之比 为多少为多少？21AA0.45222211)(21)(21AmAm1221AAlg因单摆的因单摆的84.05.105.12121llAA上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先33解解 10 系统作简谐运动，周期系统作简谐运动，周期T，以余弦函数表达运，以余弦函数表达运动时，初相位为零动时，初相位
27、为零 在在 范围内，系统在范围内，系统在t=_时动能和势能相等时动能和势能相等Tt210tAxcostkAE22ksin21tkAkxE222pcos2121kpEE 83or843or42TTttT1tan1tan2tttkAtkA2222cos21sin21上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先34x/cmo532 33解解)324cos(103)21614cos(103)614sin(1032222tttx)314cos(10521txm)314cos(102221txxx11 一质点同时参与两个同方向的简谐运动，其运动方一质点同时参与两个同方向的简谐运动，其运动方程分别为：程分别
28、为：m)314cos(10521txm)614sin(10322tx 画出两运动的旋转矢量图，并求画出两运动的旋转矢量图，并求合运动的运动方程合运动的运动方程上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先35 习题习题12已知一沿 x 轴正向传播的平面余弦波，t=13 秒时的波形如图，且 T=2 秒，求：（1）写出 O 点振动方程；（2）写出该波的波动方程；（3）写出 C 点振动方程；（4）C 点离 O 点的距离。cmxcmy10105520BCOu上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先36解：解：由图可知：cmxcmy10105520BCOu（1）设波动方程为则 O 点的振动方程为上上海
29、海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先37因为代入振动方程：所以将波形向右平移，O 点处质点将向 y 轴负方向运动：所以振动方程为所以振动方程为上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先38（3）C 点的振动方程为:cmxcmy10105520BCOu由图：代入振动方程：所以（2）波动方程为:上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先39（4）由公式得即上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先40 习题习题13 一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，波的振幅 A=10 cm，波的频率=7 。当 t=1.0 s 时，x=10 cm 处的 a 质点正通过其平衡位置向 y 轴负方向运动。而 x=
30、20 cm 处的 b 质点正通过 y=5.0 cm 点向 y 轴正方向运动。设该波波长 10 cm，求该平面波的表达式。1srad 解：解：设平面简谐波的波长为，坐标原点处质点振动的初相为，则该波的表达式为上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先41时：st0.1所以所以上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先42联立（1）、（2）得代入表达式得上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先43xxxyOQPSa 1u 2u 习题习题14 一平面间谐波使下图中一平面间谐波使下图中 S 点作简谐振点作简谐振动，振幅为动，振幅为 A。当。当 t=0 时，时，S 在在 y=A2 处向下运处向下
31、运动，求动，求 （1）波源在）波源在 Ox 轴负值侧无限远处，波沿轴负值侧无限远处，波沿Ox 轴轴正向传播；正向传播；（2）波源在）波源在 Ox 轴正值侧无限远处，波沿轴正值侧无限远处，波沿Ox 轴轴负向传播；负向传播；两种情况下写出两种情况下写出 P、Q 两点的振动方程。两点的振动方程。上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先44代入方程得所以Oy3解：解：设 S 点的振动规律为由题意：上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先45xxxyOQPSa 1u 方向：沿xu1对 P点：落后O，故有上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先46同理，Q 点超前 O 点，所以xxxyOQPSa 1u上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先47xxxyOQPSa 2u 方向：沿xu2对 P点：超前O，故有上上海海第第二二工工业业大大学学刘刘传传先先48同理，Q 点落后 O 点，所以上述方程即为波动方程。上述方程即为波动方程。xxxyOQPSa 2u
